多元線性回歸模型的區(qū)間估計(jì)

參數(shù)估計(jì)量的區(qū)間估計(jì)預(yù)測(cè)值的區(qū)間估計(jì)受約束回歸§2.5單方程線性模型的區(qū)間估計(jì)

IntervalEstimationofMultipleLinearRegressionModel一、參數(shù)估計(jì)量的置信區(qū)間1.問題的提出人們經(jīng)常說(shuō)：“通過(guò)建立生產(chǎn)函數(shù)模型，得到資本的產(chǎn)出彈性是0.5”，“通過(guò)建立消費(fèi)函數(shù)模型，得到收入的邊際消費(fèi)傾向是0.6”，等等。其中，0.5與0.6是具有特定經(jīng)濟(jì)含義的模型參數(shù)估計(jì)值。

這樣的說(shuō)法正確嗎？

應(yīng)該如何表達(dá)才是正確的？線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)量是隨機(jī)變量，利用一次抽樣的樣本觀測(cè)值，估計(jì)得到的只是參數(shù)的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值。如果用參數(shù)估計(jì)量的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值近似代表參數(shù)值，那么，二者的接近程度如何？以多大的概率達(dá)到該接近程度？這就需要構(gòu)造參數(shù)的一個(gè)區(qū)間，以點(diǎn)估計(jì)值為中心的一個(gè)區(qū)間（稱為致信區(qū)間，confidenceinterval），該區(qū)間以一定概率（稱為致信水平，confidencecoefficient）包含該參數(shù)。參數(shù)估計(jì)量的區(qū)間估計(jì)的目的就是求得與α相對(duì)應(yīng)的a值.2.參數(shù)估計(jì)量的區(qū)間估計(jì)DependentVariable:CONSPMethod:LeastSquaresSample(adjusted):19792000Includedobservations:22afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C120.725336.513743.3062990.0037GDPP0.2213590.0609733.6304620.0018CONSP(-1)0.4514080.1703182.6503800.0158R-squared0.995403

Meandependentvar928.4909AdjustedR-squared0.994919

S.D.dependentvar372.6339S.E.ofregression26.56264

Akaikeinfocriterion9.523012Sumsquaredresid13405.90

Schwarzcriterion9.671791Loglikelihood-101.7531

Hannan-Quinncriter.9.558060F-statistic2056.887

Durbin-Watsonstat1.278902Prob(F-statistic)0.000000在消費(fèi)模型中，Eviews軟件估計(jì)結(jié)果

給定α=0.05，查得t0.025(19)=2.093，于是有：P(0.221359-2.093×0.060973<βGDPP<0.221359+2.093×0.060973)=0.95P(0.094<βGDPP<0.349)=0.95

在消費(fèi)模型例中,給定=0.05，查表得臨界值：t0.025(19)=2.093計(jì)算得參數(shù)的置信區(qū)間：

0：(44.302,197.149)

1：(0.094,0.349)

2：(0.095,0.808)從回歸計(jì)算中已得到：3.如何才能縮小置信區(qū)間？增大樣本容量n，因?yàn)樵谕瑯拥臉颖救萘肯?，n越大，t分布表中的臨界值越小，同時(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減小；提高模型的擬合優(yōu)度，因?yàn)闃颖緟?shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。提高樣本觀測(cè)值的分散度,一般情況下，樣本觀測(cè)值越分散，(X'X)-1的分母的|X'X|的值越大，致使區(qū)間縮小。二、預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間1.問題的提出計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的一個(gè)重要應(yīng)用是預(yù)測(cè)，對(duì)模型:它可以是總體均值E(Y0)或個(gè)體Y0的預(yù)測(cè)。嚴(yán)格地說(shuō),這只是被解釋變量的預(yù)測(cè)值的估計(jì)值，而不是預(yù)測(cè)值。為了進(jìn)行科學(xué)預(yù)測(cè)，還需求出預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間,包括E(Y0)和Y0的置信區(qū)間。

如果給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值X0=(1,X10,X20,…,Xk0)，可以得到被解釋變量的預(yù)測(cè)值：2.預(yù)測(cè)值Y0置信區(qū)間的推導(dǎo)如果已經(jīng)知道實(shí)際的預(yù)測(cè)值，那么預(yù)測(cè)誤差為：

容易證明，e0服從正態(tài)分布：

取e0的方差的估計(jì)量：

所以，當(dāng)給定解釋變量值X0后，能得到被解釋變量Y0以(1-)的致信水平處于該區(qū)間的結(jié)論。利用構(gòu)造的t統(tǒng)計(jì)量，得到在給定(1-)的致信水平下，預(yù)測(cè)Y0的致信區(qū)間：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：

DependentVariable:CONSPMethod:LeastSquaresSample(adjusted):19791999Includedobservations:21afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C128.659537.080563.4697310.0027GDPP0.2243760.0607623.6927140.0017CONSP(-1)0.4340620.1703062.5487160.0202R-squared0.994545

Meandependentvar892.1905AdjustedR-squared0.993939

S.D.dependentvar339.6461S.E.ofregression26.44299

Akaikeinfocriterion9.519423Sumsquaredresid12586.17

Schwarzcriterion9.668641Loglikelihood-96.95394

Hannan-Quinncriter.9.551807F-statistic1640.803

Durbin-Watsonstat1.303297Prob(F-statistic)0.000000在消費(fèi)模型中，Eviews軟件估計(jì)結(jié)果(1978~1999):在消費(fèi)模型中，1999年的CONSP=1564.4,給出2000年的GDPP=3789.7,再由模型：CONSP=128.6595+0.2244*GDPP+0.4341*CONSP(-1)計(jì)算得2000年CONSP的預(yù)測(cè)值為:1658,2000年人均消費(fèi)的實(shí)際值為:1690.8。給定α=0.01，查得t0.005(18)=2.878，于是有：P(1658.2?2.878*30.271<CONSP(2000)<1658.2+2.878*30.271)=0.99P(1033.21<CONSP(2000)<2283.19)=0.99結(jié)論：2000年人均消費(fèi)支出的預(yù)測(cè)值1658是以0.99的概率落在了區(qū)間(1033.21，2283.19)中。均值E(Y|X0)的(1-α)預(yù)測(cè)區(qū)間:

3.一點(diǎn)啟示計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型用于預(yù)測(cè)時(shí)，必學(xué)嚴(yán)格科學(xué)地描述預(yù)測(cè)結(jié)果。如果要求給出一個(gè)準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)值，那個(gè)真實(shí)值與該預(yù)測(cè)值相同的概率為0。如果要以100%的概率給出區(qū)間,那么該區(qū)間是∞。模型研究者的任務(wù)是要盡可能地縮小致信區(qū)間。4.如何縮小致信區(qū)間

增大樣本容量n，因?yàn)樵谕瑯拥臉颖救萘肯?，n越大，t分布表中的臨界值越小，同時(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減?。?/p>

提高模型的擬合優(yōu)度，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。

提高樣本觀測(cè)值的分散度。三、林受約術(shù)束回男歸(r密es系tr草ic鍬te舅d王re懇gr并es執(zhí)si粥on扮)1.問題忙的提丙出在建梳立計(jì)波量經(jīng)仁濟(jì)學(xué)侮模型后時(shí)，批根據(jù)斧經(jīng)濟(jì)雙理論覺有時(shí)者需要?jiǎng)駥?duì)模真型中珍變量耍的參縫數(shù)施井加一醬定的粱約束侵條件斬。能否喊對(duì)某閑一具辦體問雄題施醋加約怖束條助件，獻(xiàn)需要名進(jìn)行F檢驗(yàn)盡。F檢驗(yàn)?zāi)坏乃计耄簶?gòu)蠢造一混個(gè)統(tǒng)匪計(jì)量產(chǎn)，對(duì)背施加祥約束配條件宇前后宵的模散型進(jìn)跪行回峽歸，屆用二邀者殘漂差平融方和之大小閃的差料異程績(jī)度來(lái)和檢驗(yàn)嘗約束愛條件唯的真亡實(shí)性摔。在相曉同樣辦本條抹件下阿，無(wú)顛約束讀樣本漏回歸繩模型轎：受約可束樣順本回報(bào)歸模雙型：則，看受約熄束樣腦本回讀歸模定型的啞殘差北表示刮：得受拉約束咽樣本襲回歸樂模型RS浮SR為：則有仔：2.構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)武量kR與kU分別遠(yuǎn)是受俱約束蟲與無(wú)吐約束技回歸爐模型辮的不賺包括外常數(shù)優(yōu)項(xiàng)的妨解釋框變量貝的個(gè)憶數(shù)。F檢驗(yàn)進(jìn)適用體于所例有關(guān)扁于參役數(shù)線泄性約躺束的銳檢驗(yàn)。由于深，例:中國(guó)費(fèi)城鎮(zhèn)州居民肉食品珠消費(fèi)豈需求蒙函數(shù)爽模型計(jì)。食品境消費(fèi)孝需求亭函數(shù)邀：Q：人奔均食今品消薯費(fèi)支秋出；X：城籮鎮(zhèn)居消民人泥均消吉費(fèi)支星出；P0：城歐鎮(zhèn)居畏民消對(duì)費(fèi)支徑出價(jià)瞇格縮絲式減指坦數(shù)；P1：城木鎮(zhèn)居騾民食發(fā)品消租費(fèi)支遼出價(jià)爺格縮旺減指據(jù)數(shù)；約束條件：(*)(**)對(duì)無(wú)約擇束的食化品消漿費(fèi)需鴨求模固型的貧估計(jì)駐結(jié)果(1銷98辣1~憑19禾94今):DependentVariable:LOG(Q)Method:LeastSquaresSample:19811994Includedobservations:14VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C3.6337740.4023679.0310010.0000LOG(X)1.0554180.04162825.353810.0000LOG(P1)-0.0800350.035033-2.2845560.0454LOG(P0)-0.9249270.125921-7.3452990.0000R-squared0.998711

Meandependentvar6.308220AdjustedR-squared0.998325

S.D.dependentvar0.439774S.E.ofregression0.018000

Akaikeinfocriterion-4.961921Sumsquaredresid0.003240

Schwarzcriterion-4.779333Loglikelihood38.73345

Hannan-Quinncriter.-4.978823F-statistic2583.276

Durbin-Watsonstat1.504910Prob(F-statistic)0.000000β1+β2+β3=0摧.0武5對(duì)受約免束的食芽品消鹽費(fèi)需析求模霞型的謙估計(jì)脆結(jié)果(1遼98絲式1~鼻19希94世):DependentVariable:LOG(Q)Method:LeastSquaresSample:19811994Includedobservations:14VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C3.8252530.05042675.859140.0000LOG(X/P0)1.0726350.02036852.662290.0000LOG(P1/P0)-0.0912250.025218-3.6173720.0040R-squared0.998682

Meandependentvar6.3