固體物理中科大

第六章能帶理論能帶論是目前研究固體中的電子狀態(tài)，說(shuō)明固體性質(zhì)最重要的理論基礎(chǔ)。它的出現(xiàn)是量子力學(xué)與量子統(tǒng)計(jì)在固體中的應(yīng)用的最直接、最重要的結(jié)果。能帶論成功地解決了Sommerfeld自由電子論處理金屬問(wèn)題時(shí)所遺留下來(lái)的許多問(wèn)題，并為其后固體物理學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

能帶論的基本出發(fā)點(diǎn)是認(rèn)為固體中的電子不再是完全被束縛在某個(gè)原子周?chē)强梢栽谡麄€(gè)固體中運(yùn)動(dòng)的，稱(chēng)之為共有化電子。但電子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中并也不像自由電子那樣，完全不受任何力的作用，電子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到晶格原子勢(shì)場(chǎng)的作用。能帶論的兩個(gè)基本假設(shè)：

Born－Oppenheimer絕熱近似：所有原子核都周期性

地靜止排列在其格點(diǎn)位置上，因而忽略了電子與聲子

的碰撞。

Hatree－Fock平均場(chǎng)近似：忽略電子與電子間的相互

作用，用平均場(chǎng)代替電子與電子間的相互作用。即假

設(shè)每個(gè)電子所處的勢(shì)場(chǎng)完全相同，電子的勢(shì)能只與該

電子的位置有關(guān)，而與其他電子的位置無(wú)關(guān)。由于以上兩個(gè)基本假設(shè)，每個(gè)電子都處在完全相同的嚴(yán)格周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，因此每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)都可以單獨(dú)考慮，稱(chēng)為單電子近似。所以，能帶論是單電子近似的理論。用這種方法求出的電子能量狀態(tài)將不再是分立的能級(jí)，而是由能量的允帶和禁帶相間組成的能帶，所以這種理論稱(chēng)為能帶論。§6.1Bloch定理一、周期場(chǎng)模型考慮一理想完整晶體，所有的原子實(shí)都周期性地靜止排列在其平衡位置上，每一個(gè)電子都處在除其自身外其他電子的平均勢(shì)場(chǎng)和原子實(shí)的周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，這樣的模型稱(chēng)為周期場(chǎng)模型。二、Bloch定理在周期場(chǎng)中，描述電子運(yùn)動(dòng)的Schr?dinger方程為其中，U(r)=U(r+Rl)為周期性勢(shì)場(chǎng)，Rl=l1a1+l2a2+l3a3為格矢，方程的解為：這里，uk(r)=uk(r+Rl)是以格矢Rl為周期的周期函數(shù)。這個(gè)結(jié)果稱(chēng)為Bloch定理?！狟loch函數(shù)證明：由于勢(shì)場(chǎng)的周期性反映了晶格的平移對(duì)稱(chēng)性，可定義一個(gè)平移算符T，使得對(duì)于任意函數(shù)f(r)有這里，a，＝1,2,3是晶格的三個(gè)基矢。而因?yàn)閒(r)是任意函數(shù)，所以，TT－TT=0，即T和T可對(duì)易。又因?yàn)閒(r)是任意函數(shù)，所以，T與H也可對(duì)易，

即：TH－HT＝0根據(jù)量子力學(xué)可知，T和H有共同本征態(tài)。設(shè)(r)為其共同本征態(tài)，有{＝1,2,3其中是平移算符T的本征值。為了確定平移算符的本征值，引入周期性邊界條件。設(shè)晶體為一平行六面體，其棱邊沿三個(gè)基矢方向，N1，N2和N3分別是沿a1，a2和a3方向的原胞數(shù)，，即晶體的總原胞數(shù)為N＝N1N2N3。（設(shè)為非簡(jiǎn)并）周期性邊界條件：而得h＝整數(shù)，＝1,2,3所以引入矢量這里b1，b2和b3為倒格子基矢，于是有定義一個(gè)新函數(shù)：這表明uk(r)是以格矢Rl為周期的周期函數(shù)。證畢二、幾點(diǎn)討論1.關(guān)于布里淵區(qū)波矢量k是對(duì)應(yīng)于平移算符本征值的量子數(shù)，其物理意義表示不同原胞間電子波函數(shù)的位相變化。如1反映的是沿a1方向，相鄰兩個(gè)原胞中周期對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間電子波函數(shù)的位相變化。不同的波矢量k表示原胞間的位相差不同，即描述晶體中電子不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。但是，如果兩個(gè)波矢量k和k’相差一個(gè)倒格矢Gn，可以證明，這兩個(gè)波矢所對(duì)應(yīng)的平移算符本征值相同。對(duì)于k：對(duì)于k’＝k+Gn：＝1,2,3這表明，這兩個(gè)波矢量k和k’＝k＋Gn所描述的電子在晶體中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同。因此，為了使k和平移算符的本征值一一對(duì)應(yīng)，k必須限制在一定范圍內(nèi)，使之既能概括所有不同的的取值，同時(shí)又沒(méi)有兩個(gè)波矢k相差一個(gè)倒格矢Gn。與討論晶格振動(dòng)的情況相似，通常將k取在由各個(gè)倒格矢的垂直平分面所圍成的包含原點(diǎn)在內(nèi)的最小封閉體積，即簡(jiǎn)約區(qū)或第一布里淵區(qū)中。若將k限制在簡(jiǎn)約區(qū)中取值，則稱(chēng)為簡(jiǎn)約波矢，若k在整個(gè)k空間中取值，則稱(chēng)為廣延波矢。由于h1，h2和h3為整數(shù)，所以，k的取值不連續(xù)，在k空間中，k的取值構(gòu)成一個(gè)空間點(diǎn)陣，稱(chēng)為態(tài)空間點(diǎn)陣。每一個(gè)量子態(tài)k在k空間中所占的體積為在k空間中，波矢k的分布密度為在簡(jiǎn)約區(qū)中，波矢k的取值總數(shù)為2.Bloch函數(shù)的性質(zhì)Bloch函數(shù)行進(jìn)波因子表明在晶體中運(yùn)動(dòng)的電子已不再局域于某個(gè)原子周?chē)?，而是可以在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)的，這種電子稱(chēng)為共有化電子。它的運(yùn)動(dòng)具有類(lèi)似行進(jìn)平面波的形式。那么，周期函數(shù)的作用則是對(duì)這個(gè)波的振幅進(jìn)行調(diào)制，使它從一個(gè)原胞到下一個(gè)原胞作周期性振蕩，但這并不影響態(tài)函數(shù)具有行進(jìn)波的特性。晶體中電子：自由電子：孤立原子：可以看出，在晶體中運(yùn)動(dòng)電子的波函數(shù)介于自由電子與孤立原子之間，是兩者的組合。如果晶體中電子的運(yùn)動(dòng)完全自由，則；若電子完全被束縛在某個(gè)原子周?chē)?，則。但實(shí)際上晶體中的電子既不是完全自由的，也不是完全被束縛在某個(gè)原子周?chē)虼?，其波函?shù)就具有

的形式。周期函數(shù)的性質(zhì)就反映了電子與晶格相互作用的強(qiáng)弱。可以認(rèn)為，Bloch函數(shù)中，行進(jìn)波因子描述晶體中電子的共有化運(yùn)動(dòng)，即電子可以在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)；而周期函數(shù)因子則描述電子的原子內(nèi)運(yùn)動(dòng)，取決于原子內(nèi)電子的勢(shì)場(chǎng)。從能量的角度看，如果電子只有原子內(nèi)運(yùn)動(dòng)（孤立原子情況），電子的能量取分立的能級(jí)；若電子只有共有化運(yùn)動(dòng)（自由電子情況），電子的能量連續(xù)取值。由于晶體中電子的運(yùn)動(dòng)介于自由電子與孤立原子之間，既有共有化運(yùn)動(dòng)也有原子內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因此，電子的能量取值就表現(xiàn)為由能量的允帶和禁帶相間組成的能帶結(jié)構(gòu)。

需要指出的是，在固體物理中，能帶論是從周期性勢(shì)場(chǎng)中推導(dǎo)出來(lái)的，這是由于人們對(duì)固體性質(zhì)的研究首先是從晶態(tài)固體開(kāi)始的。而周期性勢(shì)場(chǎng)的引入也使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，從而使理論研究工作容易進(jìn)行。所以，晶態(tài)固體一直是固體物理的主要研究對(duì)象。然而，周期性勢(shì)場(chǎng)并不是電子具有能帶結(jié)構(gòu)的必要條件，現(xiàn)已證實(shí)，在非晶固體中，電子同樣有能帶結(jié)構(gòu)。

電子能帶的形成是由于當(dāng)原子與原子結(jié)合成固體時(shí)，原子之間存在相互作用的結(jié)果，而并不取決于原子聚集在一起是晶態(tài)還是非晶態(tài)，即原子的排列是否具有平移對(duì)稱(chēng)性并不是形成能帶的必要條件。

§6墓.2一維評(píng)周期跪場(chǎng)中寺電子凳運(yùn)動(dòng)抬的近吵自由疾電子貌近似一、近自惜由電排子近可似在周冰期場(chǎng)到中，搭若電體子的昌勢(shì)能蜻隨位學(xué)置的處變化廉（起閥伏）戶(hù)比較與小，煎而電牲子的元平均竄動(dòng)能干要比浸其勢(shì)暗能的堅(jiān)絕對(duì)巨值大鳥(niǎo)得多蜘，這椅樣，士電子朝的運(yùn)瀉動(dòng)幾另乎是錄自由店的。語(yǔ)因此蘋(píng)，我筋們可井以把位自由障電子壁看成陜是它犁的零伐級(jí)近起似，丸而將餃周期被場(chǎng)的哨影響鑄看成礦小的摩微擾揪。二、到運(yùn)動(dòng)度方程劇與微秋擾計(jì)會(huì)算Sc淚hr?d妙in蓮ge醒r方程蘿：周期尺性勢(shì)遭場(chǎng)：a為晶艦格常秧數(shù)作F香ou濟(jì)ri傻er閥展開(kāi)憶：其中——至勢(shì)退能平域均值根據(jù)勿近自譽(yù)由電孤子模投型，Un為微邁小量喘。電子州勢(shì)能稍為實(shí)敢數(shù)，U(x)=U*(x)，盡得Un*=U-n灶。1.份非烘簡(jiǎn)并暢微擾這里零級(jí)點(diǎn)近似微擾帖項(xiàng)分別依對(duì)電獻(xiàn)子能奮量E(k)和影波函扶數(shù)(k)展童開(kāi)將以繳上各胖展開(kāi)堅(jiān)式代更入S驕ch謎r?d妄in詞ge老r方程萄中，夕得零級(jí)喬近似側(cè)方程侄：能量好本征罵值：相應(yīng)歸一化波函數(shù)：正交歸一性：一級(jí)微擾方程：令代入歌上式兩邊攪同左豪乘補(bǔ)并處積分倡得當(dāng)k’蔽=k時(shí)，當(dāng)k’k時(shí)，由于澡一級(jí)嚼微擾攻能量Ek(1驗(yàn))＝0濟(jì)，所武以還喝需用籃二級(jí)邀微擾娃方程抓來(lái)求練出二興級(jí)微酷擾能質(zhì)量，弄方法外同上活。令代入二級(jí)微擾方程中可求得二級(jí)撞微擾醉能量貿(mào)：這里＝{Un當(dāng)k’＝k+2n/a0當(dāng)k’k+2n/a于是誓，求慈得電管子的缺能量賢為電子孫波函勞數(shù)為其中容易洗證明uk(x)＝uk(x+狹a)，拼是以a為周則期的殼周期蘿函數(shù)圾?？傻V見(jiàn)，個(gè)將勢(shì)服能隨僑位置過(guò)變化戒的部滿分當(dāng)失作微光擾而娘求出斃的近傷似波貨函數(shù)客的確喪滿足雖Bl扎oc榜h定姜理。序這種物波函胳數(shù)由桃兩部治分組成：謹(jǐn)?shù)谝恢鸩糠指笔遣ń輸?shù)為k的行啦進(jìn)平貫面波第二花部分胞是該螺平面造波受四周期公場(chǎng)的俱影響珍而產(chǎn)貞生的散射釣波。因子是波保數(shù)為k’＝k+2n/a的散靠射波預(yù)的振臥幅。在一渴般情堆況下識(shí)，由駁各原孟子產(chǎn)亮生的猶散射秋波的牙位相億各不采相同（k'≠k），因筍而彼蓄此相重互抵遼消，鍬周期楚場(chǎng)對(duì)銀行進(jìn)守平面灶波的諷影響棵不大彎，散彈射波估中各神成分顯的振托幅均助較小取，可惕以用雄微擾熱法處絡(luò)理。但是仁，如尿果由城相鄰瞧原子流所產(chǎn)峽生的滿散射煙波（刊即反王射波野）成偵分有貴相同秧的位域相，趣如行進(jìn)稍平面江波的波浙長(zhǎng)＝斷2唐/壁k番正好燃滿足往條件急2a＝n時(shí)保，相乏鄰兩倦原子剪的反它射波經(jīng)就會(huì)弱有相紋同的查位相兔，它泊們將軌相互伏加強(qiáng)乞，從蒸而使祥行進(jìn)賢的平跟面波貨受到磚很大洽干涉卵。這鄙時(shí)，貧周期潑場(chǎng)的性影響墻就不夫能當(dāng)懶作微長(zhǎng)擾了當(dāng)時(shí)，即散射輩波中殊，這諒種成躍分的粉振幅鏡變得失無(wú)限獅大，牽一級(jí)賴(lài)修正召項(xiàng)太大以，微剪擾不匹適用健了。課由上裝式可罰求得或這實(shí)膠際上輔是B供ra泥gg刻反射都條件裂2asi鍬n＝n久在正餅入射悼情況喬（si毯n＝1細(xì)）映的結(jié)棕果。2.漆簡(jiǎn)衡并微昨擾當(dāng)時(shí)，非簡(jiǎn)并微擾已不適用。這正架是布殿里淵杏區(qū)邊休界方透程。布也就詠是說(shuō)辛，在現(xiàn)布里景淵區(qū)待邊界擦上這時(shí)猜，這元兩個(gè)厭態(tài)的弓能量陰相等瓣，為沫簡(jiǎn)并耽態(tài)。梯必須傷用簡(jiǎn)轟并微少擾來(lái)湖處理乎?？山镆哉J(rèn)璃為和互為儀行進(jìn)選波和摧反射厚波，良因此纖零級(jí)拼近似控的波綠函數(shù)坊是這路兩個(gè)剃波的尼線性炊組合萄。實(shí)膚際上灶，在k和k’接嗽近布領(lǐng)里淵媽區(qū)邊接界時(shí)暈，即{時(shí)，卡散射本波已腹經(jīng)相致當(dāng)強(qiáng)擠了，法因此稻，零市級(jí)近襖似的膠波函斃數(shù)也癥必須軋寫(xiě)成代入針Sc屯hr?d綢in臘ge彎r方程利用和得{由于{上式電分別父左乘k(0愉)*或k’(0薦)*，并透積分評(píng)得解得這里方程燦組有仙非零棚解的來(lái)?xiàng)l件襪，即踐久期兔方程遮為(1)這表服示k和k’離很布里拜淵區(qū)柜邊界絮還較某遠(yuǎn)，挺因而k態(tài)和k’態(tài)姓的能遲量還旅有較遼大的具差別脆，這腹時(shí)將語(yǔ)上式熊作T預(yù)ay樓lo異r展遷開(kāi)得能：{（設(shè)>0）對(duì)應(yīng)繡于Ek’(0腹)>Ek(0漫)的情圍況，娘上式旦的結(jié)擠果與具前面露所討宇論的村非簡(jiǎn)疲并微嶺擾計(jì)需算的鍛結(jié)果必相似化，只欲不過(guò)蒜當(dāng)行忘進(jìn)波內(nèi)為k態(tài)時(shí)危，在輛所產(chǎn)走生的押散射宜波中咐只保冒留了k’態(tài)且的影松響；隔而當(dāng)至行進(jìn)蕩波為k’態(tài)朵時(shí)，運(yùn)只保恰留了k態(tài)的狡影響枝。即責(zé)只考飽慮k和k’在嗎微擾滅中的旺相互折影響位，而凝將影唱響小偏的其舉他散節(jié)射波壞忽略效不計(jì)娛了。捉影響擠的結(jié)菜果是立使原講來(lái)能永量較喜高的k’態(tài)臺(tái)能量逐升高餅，而纏能量較低包的k態(tài)的似能量莊降低尺，即叉微擾端的結(jié)懶果使k態(tài)和k’態(tài)的匠能量匪差進(jìn)探一步犁加大唐。(2)這表播示k和k’很接久近布精里淵斑區(qū)邊駱界的國(guó)情況杜，將E±展開(kāi)碑得由和其中欲為味在布六里淵捎區(qū)邊桿界處自由輛電子案的動(dòng)舅能。得{以上障的結(jié)雪果表彎明，爽兩個(gè)決相互趁影響餃的態(tài)k和k’，儉微擾互后的藥能量銀分別該為E＋和E－，當(dāng)爬>尚0時(shí)歷，k’態(tài)己的能采量比k態(tài)高效，微椒擾后敘使k’態(tài)蜜的能眾量升倉(cāng)高，棟而k態(tài)的擺能量羞降低烏。當(dāng)榆0哲時(shí)，E分別便以拋題物線給的方河式趨李于TnUn。對(duì)于話<碰0，k態(tài)的少能量和比k’態(tài)高陸，微持?jǐn)_的恐結(jié)果旅使k態(tài)的堂能量疏升高博，而k’態(tài)的脖能量辦降低家。從以駱上的昨分析邊說(shuō)明燒，由菌于周樂(lè)期場(chǎng)賄的微格擾，冰E(吩k)懷函數(shù)怒將在撤布里蛾淵區(qū)吃邊界k=n/a處出復(fù)現(xiàn)不品連續(xù)巧，能勿量的乘突變寸為這個(gè)耀能量膛突變怕稱(chēng)為帝能隙奪，即桶禁帶開(kāi)寬度錘，這六是周蠢期場(chǎng)貍作用刃的結(jié)圖果。袖而在律離布搬里淵渣區(qū)邊胡界較利遠(yuǎn)處湯，電奶子的西能量祥近似市等于覺(jué)自由犧電子虜?shù)哪苎?，悟且是k的連企續(xù)函糟數(shù)，級(jí)這時(shí)勁周期邀場(chǎng)對(duì)聰電子扶運(yùn)動(dòng)箏的影彎響很報(bào)小，帖電子殖的運(yùn)州動(dòng)性扮質(zhì)與翁自由柱電子展基本竟相同權(quán)。Ek’(0混)Ek(0妖)E－E＋TnTn§6注.3三維丑周期幼場(chǎng)中薄電子谷運(yùn)動(dòng)專(zhuān)的近著自由瞇電子堅(jiān)近似一、否方程妹與微辭擾計(jì)恰算方程：周期場(chǎng)：為格矢Fourier展開(kāi)：勢(shì)能函數(shù)的平均值微小量零級(jí)近似：微擾項(xiàng)：可由溉自由輝電子餅求出檢零級(jí)流近似蠅的歸朗一化拜波函潮數(shù)和蜓能量歌本征挺值與一啄維情銳況類(lèi)震似，華一級(jí)撞微擾真能量侵為一級(jí)漏修正更的波梯函數(shù)升和二秤級(jí)微糞擾能叮量分捕別為其中＝{當(dāng)k’＝k＋Gn當(dāng)k’k＋Gn當(dāng)k離布柿里淵傲區(qū)邊鑼界較耳遠(yuǎn)時(shí)黨，由毯于周塔期場(chǎng)乓的影卡響而鳥(niǎo)產(chǎn)生聞的各愿散射廉波成彼分的透振幅椅都很恨小，法可以浩看成雷小的構(gòu)微擾球。但詢(xún)是，鹿在布炊里淵進(jìn)區(qū)邊屈界面家上或弊其附擾近時(shí)排，即度當(dāng)k2(k+Gn)2時(shí)，扮這時(shí)渡相應(yīng)佩的散詢(xún)射波俊成分詞的振族幅變僵得很煮大，政不能踐當(dāng)作毛小的鼻微擾剖來(lái)處羨理，退而要龜用簡(jiǎn)錢(qián)并微絲式擾來(lái)為處理頭。零級(jí)稼近似償?shù)牟ㄋ瘮?shù)紗由相志互作疾用強(qiáng)耕的幾鑒個(gè)態(tài)值的線憐性組爭(zhēng)合來(lái)皇組成殃，由貌此可姑解得臂在布糧里淵各區(qū)邊撤界面傲上簡(jiǎn)摟并分劍裂后薄的能故量為需要足指出革的是漿，在賢三維愚情況架下，序在布揚(yáng)里淵咳區(qū)邊撐界面案上的舍一般摟位置旁，電負(fù)子的穩(wěn)能量懸是二煩重簡(jiǎn)歲并的夫，即堅(jiān)有兩區(qū)個(gè)態(tài)母的相拳互作陳用強(qiáng)顫，其占零級(jí)培近似雷的波趁函數(shù)咸就由布這兩乎個(gè)態(tài)謹(jǐn)?shù)木€閃性組系合組敵成；愈而在補(bǔ)布里節(jié)淵區(qū)級(jí)邊界鐵的棱蜜邊上暑或頂庫(kù)點(diǎn)上哨，則磁可能柴出現(xiàn)蟻能量科多重?fù)尯?jiǎn)并挑的情獲況。春對(duì)于勝g重拋簡(jiǎn)并范，即贏有g(shù)欠個(gè)態(tài)蛾的相雖互作殊用強(qiáng)禿，因犁而，鋼其零唇級(jí)近沒(méi)似的碌波函突數(shù)就塑需由表這g筒個(gè)相味互作甲用強(qiáng)傅的態(tài)貍的線叫性組拆合組乖成，雪由此軋解出品簡(jiǎn)并違分裂貨后的陡g個(gè)衛(wèi)能量秒值。kk1k2k3kk3k2k1k4k5k6k7kxky二、膠布里罰淵區(qū)唉與能敞帶引入初周期越性邊芝界條墨件后五，在k空間榨中，裁波矢k的取寇值不迷連續(xù)國(guó)，k的取漲值密總度為V為晶蹦體體昌積而簡(jiǎn)吼約區(qū)莊的體劈燕積＝積倒格稿子原哄胞體固積＝b簡(jiǎn)約渾區(qū)中k的取付值總科數(shù)＝(k)彈b＝N緊＝晶歲體原悶胞數(shù)每一踏個(gè)k確定膽一個(gè)候電子音能級(jí)海，根乒據(jù)P拉au程li憑原理餡，每興一個(gè)尋能級(jí)讀可以菠填充健自旋憐相反常的兩綁個(gè)電蠻子。敵因此塌，簡(jiǎn)嫌約區(qū)訊中共收可填距充2猴N個(gè)偉電子蠟。由于年每一拿個(gè)布漢里淵擺區(qū)的攜體積慌都等猶于倒洪格子門(mén)原胞疫體積b，所當(dāng)以，磨每一逐個(gè)布場(chǎng)里淵籠區(qū)都貍可以龜填充籍2N僑個(gè)電識(shí)子。1.En(k)函令數(shù)的關(guān)三種憑圖象在k空間警中，軍電子善能量En(k)函亭數(shù)有融三種搭不同丙的表厲示方聽(tīng)式，主稱(chēng)為能三種織布里姐淵區(qū)徐圖象丹。這己三種造表示肝方法蒼是等裂價(jià)的蹈，可懲根據(jù)父所考嗎慮問(wèn)濃題的糾方便糧選擇涂不同某的表傍示方稈法。若波剛矢量k在整伸個(gè)k空間峰中取括值，蛙這時(shí)促每一梢個(gè)布投里淵們區(qū)中熄有一良個(gè)能怪帶，疊第n絨個(gè)能劃帶在偵第n備個(gè)布儲(chǔ)里淵長(zhǎng)區(qū)中肆，這遙種表仙示法餐稱(chēng)為塵擴(kuò)展監(jiān)的布少里淵六區(qū)圖粱象。ⅠⅡⅡⅢⅢ若將猛波矢惡量k限制趣在簡(jiǎn)尤約區(qū)啞中，警由于k和k+Gl所對(duì)插應(yīng)的滿平移牌算符悼本征坦值相裳同，掏也就質(zhì)是說(shuō)煌，所k和k+Gl標(biāo)志父的原萍胞間乎電子維波函恢?jǐn)?shù)的敢位相惑變化哥相同躺。在鉛這個(gè)奶意義址上，溫可以傍認(rèn)為k和k+Gl是等游價(jià)的升。因阿此，焦可以服將k限制酸在簡(jiǎn)意約區(qū)寸中。獲但是由于柔電子惡的能謠量分影為若潔干個(gè)壇能帶剝，如繪將所示有能洞帶都產(chǎn)表示孔在簡(jiǎn)威約區(qū)今中，柔那么敏，對(duì)論于一乎個(gè)簡(jiǎn)慢約波內(nèi)矢k，就返有若糾干個(gè)悶分立項(xiàng)的能畏量值語(yǔ)與之早對(duì)應(yīng)撲。我滿們用幟n來(lái)規(guī)區(qū)分?jǐn)D不同宏的能攀帶En(k)。螞對(duì)于另給定黃的能怕帶n尤，En(k)是k的連構(gòu)續(xù)函碰數(shù)。ⅠⅡⅡⅢⅢEn(k)的菜這種連表示最法稱(chēng)姓為簡(jiǎn)跡約布建里淵隨區(qū)圖閥象。辛實(shí)際儉上，若由于刷我們鐘認(rèn)為k和k+Gl等價(jià)究，因位而，En(k)的善簡(jiǎn)約啦布里焦淵區(qū)久圖象朗中的軋第n敲個(gè)能蠅帶，畢實(shí)際趕上是圣由擴(kuò)報(bào)展布萬(wàn)里淵抗區(qū)圖順象中屆從第伸n個(gè)律布里滋淵區(qū)苗中平域移一妥個(gè)倒證格矢Gl而得狼來(lái)的盡。由于譯認(rèn)為k和k+Gl等價(jià)求，因稈而可驅(qū)以認(rèn)芬為En(k)是k空間礎(chǔ)中以腸倒格裂矢Gl為周荷期的垃周期臥函數(shù)釀，即En(k)＝En(k＋Gl)。膽而簡(jiǎn)磨約布狠里淵僵區(qū)是隙倒易予空間狐的原乏胞，酷以此倍原胞南為重拔復(fù)單元進(jìn)杠行平亂移操巨作可市以得番到整課個(gè)k空間拘，這腿些單悶元都禍?zhǔn)堑葦纼r(jià)的蹄。因降此，對(duì)于網(wǎng)同一遷能帶有En(k)＝En(k＋Gl)En(k)的靠這種容表示獄法稱(chēng)丑為周寺期布弱里淵苗區(qū)圖悟象。擴(kuò)展作布里院淵區(qū)還圖象馳：不村同的歉能帶撈在k空間政中不謠同的亭布里夸淵區(qū)胸中給叨出；簡(jiǎn)約猾布里推淵區(qū)挪圖象幼：所帽有能頌帶都離在簡(jiǎn)容約區(qū)圍中給歐出；周期鹽布里腐淵區(qū)鬧圖象屠：在差每一透?jìng)€(gè)布份里淵古區(qū)中女給出魯所有柏能帶臥。2.溉能陶帶重波疊的犁條件我們?nèi)币炎C攤明，向在布貞里淵怠區(qū)內(nèi)趟部，輕電子病能量輔是連廳續(xù)的舉（嚴(yán)粥格應(yīng)患為準(zhǔn)印連續(xù)銅），排而在淘布里霜淵區(qū)偷邊界富上，巨電子鋒能量外不連恨續(xù)，堵會(huì)發(fā)暮生能戒量的晉突變還。在許一維凱情況袋下，陣布里義淵區(qū)環(huán)邊界亂上能犧量的榮突變辛為：E＝E＋－E－＝2伏Un況這就眾是禁或帶的尖寬度撿（能苗隙）轟。但在暈三維風(fēng)情況壤下，撒在布狂里淵驚區(qū)邊捷界上養(yǎng)電子的能量高的突宮變并央不意慈味著中能帶娃間一桂定有內(nèi)禁帶勝的存逼在，征而且許還可弱能發(fā)層生能講帶與害能帶舒的交裕疊。晶這是輕由于紫在三鄙維情每況下賊，在仍布里竟淵區(qū)斥邊界恭上沿貧不同東的k方向讓上，鋒電子賣(mài)能量煮的不處連續(xù)途可能屯出現(xiàn)隊(duì)的不袖同的筑能量仍范圍犁。因聯(lián)此，蘿在某殖些k言方向串上不根允許訪有某凳些能蓄量值點(diǎn)，而浩在其秀他k筍方向錫上仍名有可網(wǎng)能允腔許有窗這種尤能量蝕，所御以，舟在布惜里淵鉤區(qū)邊寺界面村上能姥量的鏈不連傅續(xù)并憑不一蛛定意研味著蕩有禁趴帶。頌這是株三維摩情況棵與一摩維情糊況的計(jì)一個(gè)瘡重要繭區(qū)別病?！?夏.4緊束日縛近安似（轟TB黃A）近自矩由電縣子近趟似方匹法認(rèn)蕉為原摸子實(shí)鞭對(duì)電考子的程作用梅很弱逃，因久而電連子的衰運(yùn)動(dòng)羽基本值上是序自由按的。炊其結(jié)查果主斜要適蔽用于沖金屬朝的價(jià)元電子曬，但棄對(duì)其繼他晶嚇體中基的電曉子，供即使罪是金拐屬的客內(nèi)層趟電子育也并宵不適素用。在大凡多數(shù)就晶體桑中，元電子床并不祥是那潛么自嗓由的楊，即浴使是貢金屬藥和半亂導(dǎo)體此中，亡其內(nèi)臉層電插子也棚要受糊到原刊子實(shí)棟較強(qiáng)暮的束吳縛作幣用。薄在本銅節(jié)，介我們晴將討笨論另究一種滿極端疲情況掙：當(dāng)晶悅體中腐原子笛的間漫距較號(hào)大，鮮因而畝原子依實(shí)對(duì)丹電子舊有相壺當(dāng)強(qiáng)歷的束斥縛作守用。恥因此新，當(dāng)金電子普距某齡個(gè)原躍子實(shí)棋比較雙近時(shí)泛，電翁子的撤運(yùn)動(dòng)技主要斤受該撫原子儀勢(shì)場(chǎng)截的影鴿響，良這時(shí)勿電子青的行挑為同股孤立區(qū)原子場(chǎng)中電織子的偽行為綱相似伯。這干時(shí)，鉤可將兇孤立同原子石看成寄零級(jí)慶近似理，而翁將其甲他原阿子勢(shì)久場(chǎng)的首影響監(jiān)看成兼小的丘微擾燥。這輸種方鼠法稱(chēng)去為緊沙束縛夾近似腎(燦Ti磨gh葬t(yī)淹Bi許nd碰in秀g育Ap躍pr刻ox閥im勸at景io框n)喉。緊束躲縛近揀似方穗法的凍一個(gè)賽突出剪優(yōu)點(diǎn)滿是它貿(mào)可以撫把晶逗體中駱電子竿的能色帶結(jié)夕構(gòu)與逮構(gòu)成鞋這種甚晶體宇的原李子在果孤立注狀態(tài)宣下的傘電子怨能級(jí)移聯(lián)系寬起來(lái)圾。一、辭模型傾與微勤擾計(jì)漁算Rlr-Rlr0如果株不考窮慮原善子間嘗的相攏互影焦響，滲在某話個(gè)格崗點(diǎn)Rl附近求的電桶子將以幟原子茅束縛蝦態(tài)j(r-Rl)的刮形式環(huán)繞Rl點(diǎn)運(yùn)督動(dòng)（專(zhuān)設(shè)簡(jiǎn)醋單晶格，每個(gè)劉原胞傻中只潔有一及個(gè)原南子）j表示物孤立壟原子瞎波動(dòng)湖方程的一蓬個(gè)本畏征態(tài)損。第l個(gè)孤痰立原宏子的生波動(dòng)闊方程：V(r－Rl)是Rl格點(diǎn)得的原榆子勢(shì)傭場(chǎng)，j為某千原子于能級(jí)撇，設(shè)退為非娛簡(jiǎn)并元。在專(zhuān)晶體販中，涼電子勻運(yùn)動(dòng)而的波描動(dòng)方酬程為?。褐芷谏﹫?chǎng)U(r)是包晶體飯中各齒原子霸勢(shì)場(chǎng)需之和，在畢緊束病縛近街似中屆，我抵們將孤城立原宗子看弦成零懼級(jí)近征似，典而將朵其他歐原子寺勢(shì)場(chǎng)狠[U(r)-V(r-Rl)]酸的影徐響看算成微泰擾。由于跌電子促可以充環(huán)繞撈不同存的格替點(diǎn)運(yùn)滲動(dòng)，含而環(huán)扣繞不曉同的真格點(diǎn)嘆可得節(jié)到N究個(gè)類(lèi)臭似的育原子洽波函洞數(shù)，哲它們具有木相同歐的能螞量j，即仔這N嫁個(gè)態(tài)低的能量是盛簡(jiǎn)并相的。所以級(jí)，把倚原子拴間的豈相互洗影響公當(dāng)作糊微擾治是一癥種簡(jiǎn)晨并微膏擾法型。微擾句后的掀狀態(tài)部是由抹這N鍛個(gè)簡(jiǎn)籌并態(tài)眠的線脖性組捕合組目成，悉即用原晨子軌源道j(r-Rl)的淡線性許組合較來(lái)構(gòu)蹤蝶成晶遣體中甘電子缸共有慮化運(yùn)航動(dòng)的退軌道(r)。所以余，這漆種方業(yè)法也顧稱(chēng)為筋原子毒軌道極的線智性組石合法奏，簡(jiǎn)反稱(chēng)L葬CA氣O（臣Li悟ne講ar蛙C潮om衛(wèi)bi猴na蓮ti偵on寺o踩f(wàn)艙At什om浸ic橫O曬rb稿it愿al嘉s）代入褲晶體松中電盟子的講波動(dòng)棵方程備，并脅利用霸原子壩波動(dòng)女方程虎得在緊墓束縛床近似隆中，鮮認(rèn)為企原子鍵間距雀較大中，因腳此可晉以認(rèn)散為不班同格皂點(diǎn)的j重疊參很少瞎，可冠以近體似看然成正縮慧交。以j*(r-Rn)同叮時(shí)左六乘方任程兩沾邊，燙積分搜得令＝r－Rl，并行根據(jù)U(r)究＝U(r＋Rl)百，將曉上式漢積分郵化為這表待明，老積分幻玉值僅召與兩特格點(diǎn)競(jìng)的相稠對(duì)位稍置(Rn－Rl)有題關(guān)，于是播有這是眼關(guān)于電未知蜂數(shù)al(l=嫩1,潑2座,…,勺N)戶(hù)的線經(jīng)性齊狹次方蓬程組旋。由蒼于方捆程組游中的的系數(shù)霉由(Rn-Rl)決炸定，棟所以職，方勁程組仇有如蹤蝶下簡(jiǎn)泊單形處式的南解：其中撲C為霜?dú)w一帆化因軟子。百代入遷方程歲組得由于切上式俯與n或l都無(wú)傅關(guān)，舍這表冶明，者這種屬形式楚的解侮對(duì)所嗎有聯(lián)驢立方呀程組糾都化脖為同申一條尚件。督上式而確定乖了這峰種形因式解我所對(duì)捐應(yīng)的坊能量恥本征拼值。于是渴，對(duì)長(zhǎng)于一夾個(gè)確長(zhǎng)定的k，電難子運(yùn)許動(dòng)的崖波函估數(shù)為容易第驗(yàn)證k(r)為稠Bl橡oc那h函響數(shù)相應(yīng)弄的能強(qiáng)量本茫征值哥為利用捕Bo豎rn句－K顫ar羞ma山n周撿期性德邊界藏條件奏，可任得k的取箱值為h1,h2,h3＝整漂數(shù)由此懸可知仁，在站簡(jiǎn)約鐮區(qū)中斬，波某矢k共有任N個(gè)仍準(zhǔn)連掀續(xù)的導(dǎo)取值垃，即呢可得弦N個(gè)究電子客的本超征態(tài)k(r曉)對(duì)紗應(yīng)于朱N個(gè)揚(yáng)準(zhǔn)連侵續(xù)的k值。似這樣協(xié)，E(k)將亞形成摔一個(gè)侍準(zhǔn)連峽續(xù)的跳能帶骨。以上悲方向疫說(shuō)明游，形成畏固體窗時(shí)，悼一個(gè)砍原子氏能級(jí)懂將展灣寬為炒一個(gè)容相應(yīng)賠的能虜帶，魔其B習(xí)lo區(qū)ch誓函數(shù)蓮是各旁格點(diǎn)微上原接子波摘函數(shù)j(r-Rl)的笨線性渾組合撇。j(r-Rs)和j(r)表萌示相啟距為Rs的格涼點(diǎn)上挑的原酸子波伙函數(shù)雪，顯止然積典分值芝只有秘當(dāng)它餓們有準(zhǔn)一定縱相互伴重疊柱時(shí)，淡才不潛為零折。當(dāng)Rs＝0蠶時(shí)，布兩波教函數(shù)庭完全王重疊榜。其次防，考另慮Rs＝近阻鄰格次矢，技一般滔只需根保留只到近櫻鄰項(xiàng)稀，而拳略去循其他恐影響懶小的粗項(xiàng)，話即可憤得通常狹，能接量本外征值E(k)的脊表達(dá)劫式可值進(jìn)一宴步簡(jiǎn)趟化。例1茶：求速簡(jiǎn)單欺立方侄晶體井中由蠻電子蟲(chóng)的s檔態(tài)所叫形成滑的能鄙帶aa由于臘s態(tài)披的原摧子波例函數(shù)打是球蓬對(duì)稱(chēng)肆的，柴沿各湖個(gè)方喘向的喊重疊償積分捷相同穿。因怒此，濾對(duì)于文不同黨方向付的近畢鄰，脊有對(duì)于蝴簡(jiǎn)單探立方晃：Rs＝(a脾,說(shuō)0,染0),昏(霞0,a群,唯0),懷(紫0,岔0故,a)在簡(jiǎn)喬單立兇方晶卻格的獸簡(jiǎn)約寒區(qū)中點(diǎn)煩：k＝(腥0,伐0腿,皆0)X點(diǎn)而：k＝(/介a,終0撞,必0)R點(diǎn)載：k＝(/薪a,纏島/a栗,妹/撫a)由于部s態(tài)曲波函治數(shù)是稼偶宇旱稱(chēng)，s(r)=s(-r)，礦所師以，逃在近久鄰重焰疊積燦分中東波函漏數(shù)的悶貢獻(xiàn)怠為正啞，即J1>焦0綢。MXRZSTkxkykz點(diǎn)和儉R點(diǎn)能分別攀對(duì)于量能帶毒底和偵能帶與頂，哈所以羞，能泡帶寬設(shè)度J0s}12J1由此柄可見(jiàn)眨，能喘帶的勸寬度兩決定主于J1，而J1的大軋小取蘇決于油近鄰原聰子波燒函數(shù)童間的吼重疊絹，重迷疊越脂多，詢(xún)形成注的能雙帶就旁越寬封。能毛量越架低，奮能帶鹿就越變窄；敲能量卡越高冤，能梨帶就拼越寬珍。這嗽是由跟于能丑量最弦低的澡帶對(duì)深應(yīng)于供最內(nèi)組層的盡電子藝，其黨電子慘軌道圓很小敵，不貫同原制子間梨波函擠數(shù)的毯重疊籍很少摔，因愧而能洗帶較吩窄；艇而能勾量較阻高的擴(kuò)能帶培對(duì)應(yīng)鄙于外斤層電筐子，待不同走原子福間波版函數(shù)候有較汁多的兼重疊展，因