自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第2章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1系統(tǒng)微分方程的編寫2.2傳遞函數(shù)2.3系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換2.4自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.1系統(tǒng)微分方程的編寫控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。常用的數(shù)學(xué)模型有：微分方程、傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖、信號(hào)流圖等。微分方程是系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)系統(tǒng)的輸入量和輸出量都是時(shí)間t的函數(shù)時(shí)，其微分方程可以確切地描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程。它是由輸出量的各階倒數(shù)和輸入量的各階導(dǎo)數(shù)以及系統(tǒng)的一些參數(shù)構(gòu)成。

1.建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟（1）全面了解系統(tǒng)的工作原理、結(jié)構(gòu)組成和支持系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的物理規(guī)律，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。（2）建立初始微分方程組。即根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的基本物理規(guī)律，分別列寫出相應(yīng)的微分方程，并構(gòu)成微分方程組。（3）消去中間變量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化。即把與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右邊，把與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左邊，各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列。

2.建立系統(tǒng)微分方程舉例【例1】已知一RLC電路如圖2-1所示，試列寫其微分方程。

圖2-1RLC電路解：(1)明確輸入、輸出量。uo(t)為輸出量，ui(t)為輸入量。(2)建立初始微分方程組。

（2-2）

（2-1）

式中i為回路電流，它是一個(gè)中間變量。

(3)消去中間變量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化。由式(2-1)、(2-2)得：（2-3）

【例2】如圖2-2所示為一個(gè)彈簧、質(zhì)量和阻尼器組成的機(jī)械系統(tǒng)，若外力F作用于質(zhì)量為m的物體，x為位移，k為彈性系數(shù)，m為物體的質(zhì)量，f為阻尼系數(shù)。試列寫該系統(tǒng)F與x之間的微分方程。圖2-2彈簧-質(zhì)量-阻尼機(jī)械系統(tǒng)kf解：(1)明確輸入、輸出量。外作用力F為輸入變量，位移x為輸出變量。(2)建立初始微分方程組。設(shè)質(zhì)量m相對(duì)于初始平衡狀態(tài)的位移、速度和加速度分別為x、dx/dt和d2x/dt2。根據(jù)牛頓定律得：(2-4)(2-5)(3)消去中間變量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化。=F2.2傳

遞

函

數(shù)1.傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)是在用拉氏變換求解微分方程的過程中引申出來的概念。微分方程這一數(shù)學(xué)模型不僅計(jì)算麻煩，并且它所表示的輸入、輸出關(guān)系復(fù)雜而不明顯。但是，經(jīng)過拉氏變換的微分方程卻是一個(gè)代數(shù)方程，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，從而可以用簡單的比值關(guān)系描述系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系。據(jù)此，建立了傳遞函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)的定義為：在初始條件為零時(shí)，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。即傳遞函數(shù)G(s)=輸出量的拉氏變換輸入量的拉氏變換(2-6)2.傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式

如果系統(tǒng)的輸入量為r(t)，輸出量為c(t)，并由下列微分方程描述：在初始條件為零時(shí)，對(duì)方程兩邊進(jìn)行拉氏變換，有

ansnC(s)+an-1sn-1C(s)+…+a1sC(s)+a0C(s)=bmsmR(s)+bm-1sm-1R(s)+…+b1sR(s)+b0R(s)即(ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0)C(s)=(bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0)R(s)根據(jù)傳遞函數(shù)的定義有(2-7)3.傳遞函數(shù)的性質(zhì)(1)傳遞函數(shù)是將線性定常系統(tǒng)的微分方程經(jīng)拉氏變換后導(dǎo)出的，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。(2)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式函數(shù)，通常n≥m，且所有的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。(3)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式和大小無關(guān)。(4)傳遞函數(shù)是在零初始條件下求得的。

3.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1）比例環(huán)節(jié)：輸出量與輸入量成比例的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)，如圖2-3所示，其微分方程為c(t)=Kr(t)

(2-8)式中，K為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)。

將式(2-8)兩邊取拉氏變換有：C(s)=KR(s)整理后得該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)G(s)，即圖2-10比例環(huán)節(jié)方框圖及響應(yīng)曲線

(a）比例環(huán)節(jié)方框圖；(b）比例環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)

2）積分環(huán)節(jié)：輸出量與輸入量對(duì)時(shí)間的積分成正比的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，如圖2-4(a)所示，其微分方程為：(2-9)式(2-9)經(jīng)拉氏變換，并整理可得該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為(2-10)式中，T為積分時(shí)間常數(shù)。圖2-4積分環(huán)節(jié)方框圖及響應(yīng)曲線

(a）積分環(huán)節(jié)方框圖；(b）積分環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)

3）微分環(huán)節(jié)：輸出量與輸入量的導(dǎo)數(shù)成正比的環(huán)節(jié)稱為微分環(huán)節(jié)，如圖2-5(a)所示，其微分方程為(2-11)式中，T為微分時(shí)間常數(shù)。經(jīng)拉氏變換，得該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為(2-12)圖2-5微分環(huán)節(jié)方框圖及響應(yīng)曲線

(a）微分環(huán)節(jié)方框圖；(b）微分環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)4）黨慣性毀環(huán)節(jié)磨：含沙有一更個(gè)儲(chǔ)忠能元鬧件和觀一個(gè)購耗能卵元件倆的環(huán)誤節(jié)，延其裝輸出貴量與伏輸入鐘量的吵微分伙方程呼為式中煩，T為慣底性環(huán)最節(jié)的涌時(shí)間請(qǐng)常數(shù)塘；K為慣熄性環(huán)旱節(jié)的屠放大橋系數(shù)戚。(2帆-臥1蘿3)對(duì)式倒(2傳-1氣3)平作拉艘氏變孝換并綠整理承，喪得慣后性環(huán)善節(jié)的鳳傳遞招函數(shù)G(s)為慣性例環(huán)節(jié)丈的方由框圖蠢如圖娛2圈-6賢(a)所債示。(2勤-獎(jiǎng)1晚4)圖心2-脹6賀慣性巴環(huán)節(jié)紅方框思圖及欺響應(yīng)處曲線采(a）視慣性攔環(huán)節(jié)虛方框疏圖；球(b）烘慣性等環(huán)節(jié)康單位鉛階躍臉響應(yīng)5）政振蕩桐環(huán)節(jié)毫：也脈稱二得階環(huán)響節(jié)，門它的猴微分暢方程臟通常責(zé)表達(dá)經(jīng)為(2塑-1補(bǔ)5)式中另，T為振鉤蕩環(huán)紡節(jié)的券時(shí)間美常數(shù)肅；ζ加為振嶺蕩環(huán)幣節(jié)的年阻尼比（街又稱床阻尼持系數(shù)炊）。對(duì)式漏(2幫-1障5)張作拉擁氏變劈燕換，祖可收得T2s2C(s)+壞2ζT氣sC(s)+C(s)=R(s)濱移項(xiàng)訓(xùn)整理顫有(2狡-1精6)令T=1員/ωn,ωn為該盾環(huán)節(jié)援的無燈阻尼兆自然無振蕩繁頻率駱,徑則式貢(2-55捆)可蓬改寫蘭成如妄下形純式:(2恐-1耗7)振蕩穩(wěn)環(huán)節(jié)把的方鏈框圖味如圖噸2縮慧-7頌(a)所郊示。圖攻2-乖7文振堂蕩環(huán)裳節(jié)方企框圖至及單余位階曬躍響粘應(yīng)曲躲線(a）征振蕩粱環(huán)節(jié)桂方框裂圖；豈(b）趕振蕩爸環(huán)節(jié)植單位峽階躍尸響應(yīng)2.相3純系統(tǒng)鍛的動(dòng)態(tài)態(tài)結(jié)拐構(gòu)圖宗及其伴等效湖變換在求罷導(dǎo)微怎分方呆程和旅傳遞風(fēng)函數(shù)蚊時(shí)，糠都需候要用乖消元蠟法消臥去中旅間變牛量，面消元節(jié)后只驚剩下佩系統(tǒng)率的輸妹入和趴輸出陜兩個(gè)男變量咽，不懸能直急觀地尖顯示丘出系聾統(tǒng)中仗其他裹變量砌間的哨關(guān)系勁以及溜信號(hào)梨在系蜘統(tǒng)中叉的傳講遞過辨程。文動(dòng)態(tài)納結(jié)構(gòu)夾圖則鈴可以雹表示掩出系啟統(tǒng)中囑各變漲量之匹間的扎數(shù)學(xué)蠶關(guān)系我及信應(yīng)號(hào)的早傳遞女過程典，還久可以恒根據(jù)厭等效障變換蝕原則宋方便灑地求珍出系威統(tǒng)的竟傳遞杰函數(shù)奪。一、餅動(dòng)糊態(tài)結(jié)吊構(gòu)圖斬的概棟念動(dòng)態(tài)公結(jié)構(gòu)釘圖又她稱方奏框圖燭，是知系統(tǒng)綁中各湖環(huán)節(jié)菊函數(shù)另功能濃和信瓣號(hào)流螺向的印圖形窯表示移，判由方辯框、事信所號(hào)線惜、穿引出嶺點(diǎn)、綜合飯點(diǎn)（皆比較職點(diǎn)）等組堂成（鎮(zhèn)如圖昌2-胸8所瓶示）脆。(1軍)鏡信號(hào)枯線：撓如圖宴2-辛8(a)所山示，雄表示訊輸入麥、解輸出泡通道襖，章箭頭睛代表咳信號(hào)畝的傳妙遞方急向。(2朗)直方框枯（環(huán)朋節(jié)）導(dǎo)：如撤圖2詳-8握(b)所蒸示，雞方框梁內(nèi)為箭具體耐環(huán)節(jié)繭的傳蒸遞函己數(shù)。(3常)杰綜合暢點(diǎn)（擊比較匹點(diǎn)）關(guān)：如膚圖2筒-8底(c失)所加示）太，表鑼示幾悟個(gè)信夏號(hào)相鑰加減鑰。(4愧)崇信號(hào)改分支始點(diǎn)（次引出盾點(diǎn)，貼如俱圖2廟-8掩(d窩)所屢示）植：深表示愁同一鑰信號(hào)晨輸出鑒到幾注個(gè)地?fù)尫?。圖2砌-8追動(dòng)態(tài)喝結(jié)構(gòu)庸圖的鼻基本付組成萄部分二、哨系統(tǒng)貫動(dòng)態(tài)銳結(jié)構(gòu)違圖的酸繪制系統(tǒng)氧動(dòng)態(tài)糠結(jié)構(gòu)覽圖的逗繪制帥步驟庫如下拘：(1何)演根據(jù)發(fā)信號(hào)具傳遞筆過程漂，將烤系統(tǒng)蓋劃分符為若鼠干個(gè)鉤環(huán)節(jié)復(fù)或部涼件，列出活各環(huán)點(diǎn)節(jié)的燃微分壞方程。(2刪)江確定奪各環(huán)洞節(jié)的視輸入劑量與止輸出薪量，尸求皂出各把環(huán)節(jié)凈的傳震遞函廳數(shù)。(3對(duì))祖繪出總各環(huán)陪節(jié)的柱動(dòng)態(tài)羨結(jié)構(gòu)吵圖。(4提)余將各稿環(huán)節(jié)舍相同風(fēng)的量刻依次剝連接礎(chǔ)，闊得到概系統(tǒng)強(qiáng)動(dòng)態(tài)由結(jié)構(gòu)塊圖。【例注3】貸試?yán)L帶制圖防2-味9所寫示RC電路瞧的動(dòng)說態(tài)結(jié)茂構(gòu)圖醫(yī)。圖齒2-伯9RC電路解烈(轟1)駕根榮據(jù)信驕號(hào)傳殃遞過緩程，閱將紙系統(tǒng)凳劃分柔為四香個(gè)部深件：R1、C1、R2、C2。(2誦)雙確定皮各環(huán)均節(jié)的補(bǔ)輸入欠量與配輸出和量，幻玉求輕出各械環(huán)節(jié)翻的傳皮遞函店數(shù)。R1：往輸傳入量脆為ui-u1，羨輸出戒量為i1；鴨傳遞都函數(shù)框?yàn)镃1：尋輸入腐量為i1-i2，翅輸出掠量為u1；厘傳遞殺函數(shù)陷為R2：江輸入勢量為u1-uo，犬輸出杯量為i2；愿傳遞限函數(shù)均為C2：模輸入夠量為i2，境輸出職量為uo；奶傳遞錦函數(shù)倘為圖稻2-判10RC電路隊(duì)各部換件的禿動(dòng)態(tài)鑄結(jié)構(gòu)扣圖(3臣)動(dòng)繪出拳各環(huán)蒸節(jié)的嬸動(dòng)態(tài)璃結(jié)構(gòu)縮慧圖（棄如圖撓2-罷10磁所示向）圖生2-亞11RC電路碗的動(dòng)緊態(tài)結(jié)腹構(gòu)圖(4踢)晴將各別環(huán)節(jié)溉相同啞的量杜依次族連接腦，蜓得到風(fēng)系統(tǒng)猜動(dòng)態(tài)忘結(jié)構(gòu)晴圖（伙如圖染2-運(yùn)11蠅所示逃）。三、春結(jié)構(gòu)巾圖的木等效圍變換圖礦2-測12兼交叉初反饋湖系統(tǒng)藍(lán)的化辨簡【例窩4】輩化俱簡圖租2悄-1喚2(透a)麥中的極交叉蚊反饋旋系統(tǒng)徐，怠并求載出它得的傳暈遞函吸數(shù)。圖賽2-殲13愿動(dòng)棵態(tài)結(jié)破構(gòu)圖概的等若效變痕換過羨程【例股5】四、宰梅遜訪公式利用耕梅遜期公式僑，不鍛需等最效變雁換而恨直接援可以裝根據(jù)羞控制察系統(tǒng)渣的結(jié)讓構(gòu)圖姥計(jì)算橫系統(tǒng)踢的傳盈遞函洲數(shù)。梅遜準(zhǔn)公式?jīng)r為1)特征甘式式中烤特征火式后對(duì)三項(xiàng)的分別償為：聾各回共路傳嘆遞函珠數(shù)之揉和；龜兩兩漂互不環(huán)相接妥觸回逼路的良傳遞打函數(shù)租乘積遲之和扶；所鳥有三僵個(gè)互攪不相縱接觸匹回路斃的傳鹿遞函豪數(shù)乘飯積之瓜和。2）究為第k條前陵向通悼道的床傳遞究函數(shù)嘆。3）班為在值中效除去慎與第k條前輪向通撕路相炸接觸緞的有少關(guān)回短路所縱在項(xiàng)跪后的抽余下壓部分彈，稱諸為第k條前搶向通栗路特研征式袖的余戚因子冬。2.童4忠自動(dòng)母控制宣系統(tǒng)從的傳大遞函檢數(shù)圖亮2-腿14武閉飼環(huán)控相制系街統(tǒng)的容典型尋動(dòng)態(tài)雷結(jié)構(gòu)傭圖一、殺系統(tǒng)疑的開儲(chǔ)環(huán)傳尸遞函冠數(shù)在圖計(jì)2-如14鑼中，辟將反晃饋環(huán)然節(jié)H(s)的膚輸出蘇端切我斷，四斷開汪系統(tǒng)藝的反投饋通宇道。安則反趙饋信曾號(hào)B(s)與小輸入板信號(hào)R(s)的哲比值勝，稿稱為牽系統(tǒng)沃的開告環(huán)傳取遞函眨數(shù)：（2招-1耳8）閉環(huán)熱控制吸系統(tǒng)滑的開得環(huán)傳猛遞函林?jǐn)?shù)等改于前掘向通岡道的減傳遞礦函數(shù)屑與反融饋通廉道的渴傳遞出函數(shù)刺的乘席積，陰一般鼓用Gk(s)表該示。二、調(diào)系統(tǒng)鹿的閉婚環(huán)傳衛(wèi)遞函悔數(shù)1.非給項(xiàng)定輸里入信插號(hào)r(t)作求用下陣的閉且環(huán)傳喉遞函仇數(shù)由于蠶只考朗慮r(t)的坦作用成，現(xiàn)因此寸可設(shè)n(t)=金0。（2父-1讓9）稱Φr(s)為r(t)作壯用下短的閉屠環(huán)傳賢遞函嘉數(shù)。前而介輸出攻量為（2性-2回0）2.蹄擾德動(dòng)信日號(hào)n(t)作隸用下躺的閉注環(huán)傳餓遞函夏數(shù)由于根只考獅慮n(t)的嗽作用遠(yuǎn)，執(zhí)因此艦可設(shè)r(t)=稅0。膏輸出配量c(t)與共擾動(dòng)特信號(hào)n(t)之冷間的施閉環(huán)神傳遞念函數(shù)摩為（2何-2煉1）稱Φn(s)為n(t)作悟用下逗的閉飽環(huán)傳替遞函弦數(shù)。永而乳輸出塊量為（2沖-2起2）3.累系慘統(tǒng)的羽總輸雅出根據(jù)紙線性狠系統(tǒng)郵的疊脖