級(jí)上中卷含解答9學(xué)分

華東理工大學(xué)2013–2014學(xué)年第一學(xué)《高等數(shù)學(xué)(上)9》期中考試試卷解答一、填空題（448分1x,x1f(x)lnxx

則f(f(2)) 答：1ln3131ksinx答：-

13

則k 3、極限limn2(2n2n1) 3x3x23x2|x3x4xaf(x)答：-

x

的可去間斷點(diǎn)，則a 151

x 216、極限lim(8n9n)n 7

sec24 e8y3

f(x)關(guān)于yx對(duì)稱，且f(1)2，f'(2)3，則f'(1) 9、設(shè)yxx(sinx)cosx，則y'

xln

cosxlnsin

cos2(sin

10、曲線x33xyy330上點(diǎn)(1,1)處的切線方程 答y1

1tx1t11、設(shè)函數(shù)yy(x)由參數(shù)方程ytarctant確定則dx 12、設(shè)yarctan(xtanx)，則y' tanxxsec21x2tan2二、選擇題（420分 2e

sinx,x1f(x)

|x

則 1e

xx0為f(x)的可去間斷點(diǎn) （B）x0為f(x)的跳躍間斷點(diǎn)x0為f(x)的第二類間斷點(diǎn) （D）x0為f(x)的連續(xù)點(diǎn)數(shù)列{nsinn2

x0f(x)o(x2g(x)o(x3gxf(x)

xcosx

xlimcos x

0limcos x

0正確的共有幾個(gè)？ （A）0（B）1（C）2（D）33、下列關(guān)于極限的等式正確的是

limxsin1

limxsin11 1

e

1

n4、設(shè)lima， n數(shù)列中滿足an100數(shù)列中滿足an100數(shù)列中滿足0an100數(shù)列中滿足|an|1005、當(dāng)x0時(shí)，與sin(x2)為同階無窮小的是 （A）100x2x （B）x2sin(x2)tanxsinx （D）20x2x82三、（8分）x11x2證明:(1)首先用數(shù)學(xué)歸納法證明1xn2n1

（n1,2,3,{xn22222222xk1

1xk1

2這就是說，當(dāng)nk1綜合（a）(b)知1xn2成立，也有數(shù)列{xn}有界 3再證明數(shù)列{xnn n n n n考慮 2x22xx2(2n n n n nn n n n并注意到1x2，有x 2x2(2x)(x1)0，n n n n2（1（2）2

2a ，解得a2或1，注意到1xn2a2n所以lima2 2n

f(x)四、（8分f(x

1cosx42x求

fx3

f(x)

1cosx40，因此分子極限limln(1

f

)0

2x

1cos

f(x)

為無窮小 2

f(x)

f4

1cosx

1cos

f

2x

x0exln2

x0(exln21)(1cos

f

2

f

4

xln22

ln2x0因此有

f(x)

22ln2 22五、（本題共8分）

gx)在R上有定義，且g(0)0

g'(0)0，又設(shè) f(x)g(xsinxx0f'(0解f'(0)

xf(x)f(0)

f(x)

g(x)sin 3

x

而

g(x)

g(x)g(0)g'(0)0g(x)為無窮小，3

x

xg(x)sin由于sin1為有界量，因此 x0，也即f'(0)存在且為0。2 （8分）f(x在[abaf(x)b對(duì)于任意的xy[ab,有|f(xfy|k|xy|,這里0k1（1）（2）)（3）x1[a,b]，xn1

f(x，證明數(shù)列{x收斂，且

xn證明（1）xxxab，則有0|f(xf(xx|k|x|，令x0由定理知lim[f(x)f(xx)]0

f(xx)

f(x

f在(abxa或b，則考慮單側(cè)極限，類似可得其連續(xù)性。因此（1）2（2）設(shè)g(x)

f(x)

，則g(x)在

上連續(xù)，且g(a)

f(a)a0g(b)f(b)b0，由零值定理知，存在[a,b]，使得f() 2若存1[a,b，使f(11|1||f(f(1|k|1|，即(1k)|1|0，于是有1，因此（2）成立 1考慮|xn||f(xn1f(|k