理解傅里葉級數(shù)

理解傅里葉級數(shù)演示文稿目前一頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點（優(yōu)選）理解傅里葉級數(shù).目前二頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點10.5傅里葉級數(shù)*10.5.6小結(jié)10.5.1三角級數(shù)與三角函數(shù)系的正交性10.5.2以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)10.5.3區(qū)間上函數(shù)的傅里葉級數(shù)10.5.4正弦級數(shù)和余弦級數(shù)10.5.5以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)目前三頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點10.5.1三角級數(shù)與三角函數(shù)系的正交性函數(shù)項級數(shù)

稱為三角級數(shù)，其中

是常數(shù)．

稱函數(shù)族

為三角函數(shù)系．目前四頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點三角函數(shù)系的正交性是指：

三角函數(shù)系中

任何兩個不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間

上

的積分等于零

即

目前五頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點10.5.2以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)通常，由下述公式確定的

稱為函數(shù)

的傅里葉系數(shù)．目前六頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點將傅里葉系數(shù)值代入展開式的右端

得到的三角級數(shù)

稱為函數(shù)

的傅里葉級數(shù)．目前七頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點定理1（收斂定理，狄利克雷充分條件）設(shè)

是周期為

的周期函數(shù)

如果它滿足

在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷

點

在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點

則

的傅里葉級數(shù)收斂

并且：

(1)當(dāng)

是

的連續(xù)點時

級數(shù)收斂于

(2)當(dāng)

是

的間斷點時

級數(shù)收斂于

目前八頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點例1設(shè)

是周期為

的周期函數(shù)

它在

上的表達式為

將

展開成傅里葉級數(shù)．

解所給函數(shù)

滿足收斂定理的條件，函數(shù)在點

處不連續(xù)

在其它點處連續(xù)，

從而由收斂定理知道

的傅里葉級數(shù)收斂，并且當(dāng)

時收斂于

目前九頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點當(dāng)

時級數(shù)收斂于

傅里葉系數(shù)計算如下

目前十頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點于是

的傅里葉級數(shù)展開式為

目前十一頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點10.5.3區(qū)間上函數(shù)的傅里葉級數(shù)例2將函數(shù)

展開成

傅里葉級數(shù)．

解將函數(shù)

延拓成以

為周期的函數(shù)

易知，函數(shù)

滿足收斂定理的條

件，傅里葉系數(shù)為

目前十二頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點所以，函數(shù)

的傅里葉級數(shù)展開式為

目前十三頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點10.5.4正弦級數(shù)和余弦級數(shù)一、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)定理2對于周期為

的奇函數(shù)

其傅里葉

級數(shù)為正弦級數(shù)，即傅里葉系數(shù)為

周期為

的偶函數(shù)

其傅里葉級數(shù)為

余弦級數(shù)，即傅里葉系數(shù)為

目前十四頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點例3將周期函數(shù)

展開成傅里葉級數(shù)，其中

為正常數(shù)．

解不妨將

看成是

為周期的函數(shù)，

滿足

收斂定理，先計算傅里葉系數(shù)

目前十五頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點從而函數(shù)

的傅里葉級數(shù)是一個余弦級數(shù)

目前十六頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點二、區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉級數(shù)將一個定義在上的函數(shù)進行拓展這樣構(gòu)造的函數(shù)

在

上是一個奇

函數(shù)，按這種方式拓展函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓。目前十七頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點同理，構(gòu)造函數(shù)為按這種方式拓展函數(shù)定義域的過程稱為偶延拓．例4將函數(shù)

分別展開成

正弦級數(shù)和余弦級數(shù)．

解先展開成正弦級數(shù)．

對函數(shù)

作奇延拓，

再作周期延拓，滿足收斂定理的條件．

按公式計算傅里葉系數(shù)

目前十八頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點從而可得正弦級數(shù)

目前十九頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點其中在端點

處，級數(shù)的和為0．

再把函數(shù)展開成余弦級數(shù)．

對函數(shù)

作奇

延拓，再作周期延拓，滿足收斂定理的條件．

按公式計算傅里葉系數(shù)目前二十頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點從而可得余弦級數(shù)

目前二十一頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點10.5.5以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)定理3設(shè)周期為

的周期函數(shù)

滿足收斂

定理條件，則它的傅里葉級數(shù)當(dāng)

是

的連

續(xù)點時，有

其中

目前二十二頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點例5設(shè)

是周期為4的周期函數(shù)

它在

上的表達式為

將

展開成傅里葉級數(shù)，其中

為非零

常數(shù)．

解這里

目前二十三頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點于是

且在點

處

的傅里葉級數(shù)

收斂于

目前二十四頁\總數(shù)二十六頁\編于十四點例6將函數(shù)

展開成

（1）正弦級數(shù)；（2）余弦級數(shù)．

解（1）將