連續(xù)介質(zhì)力學第二講

（優(yōu)選）連續(xù)介質(zhì)力學第二講目前一頁\總數(shù)三十五頁\編于五點目前二頁\總數(shù)三十五頁\編于五點目前三頁\總數(shù)三十五頁\編于五點2．第一類P-K(Piola-Kirchhoff)應力P又稱名義應力即時構(gòu)形中的面元矢量對應于參考構(gòu)形中的面元矢量P稱為第一類P-K應力根據(jù)Nanson公式:令:其中:注意內(nèi)力不是真正作用在面元上.其中:也是兩點張量目前四頁\總數(shù)三十五頁\編于五點3.Kirchhoff應力張量Kirchhoff應力張量與Cauchy應力張量一樣,也是對稱張量根據(jù)定義有:分量形式:同理:定義在即時構(gòu)形中的張量目前五頁\總數(shù)三十五頁\編于五點4．第二類P-K應力T定義:根據(jù)定義:所以:可證如果Cauchy應力（或Kirchhoff應力張量)為對稱張量,則第二類P-K應力也是對稱張量。由于:分量形式目前六頁\總數(shù)三十五頁\編于五點目前七頁\總數(shù)三十五頁\編于五點有:作用于即時構(gòu)形中面元上的內(nèi)力通常有三種表示方法:目前八頁\總數(shù)三十五頁\編于五點目前九頁\總數(shù)三十五頁\編于五點目前十頁\總數(shù)三十五頁\編于五點目前十一頁\總數(shù)三十五頁\編于五點目前十二頁\總數(shù)三十五頁\編于五點目前十三頁\總數(shù)三十五頁\編于五點四、連續(xù)介質(zhì)力學基本方程1、質(zhì)量守恒以

與

各表示初始構(gòu)形與即時構(gòu)形中的質(zhì)量密度根據(jù)質(zhì)量守恒率:所以:其中:對方程兩邊求物質(zhì)導數(shù):可證明:所以:率形式的質(zhì)量守恒律目前十四頁\總數(shù)三十五頁\編于五點證明:引理:設(shè)矩陣a的行列式為:,

元素的代數(shù)余子式記作將行列式看作它的9個元素的函數(shù)，則有:

則有:而:所以:目前十五頁\總數(shù)三十五頁\編于五點現(xiàn)在把J看作其9個元素的函數(shù)，對時間求物質(zhì)導數(shù)

而:所以:目前十六頁\總數(shù)三十五頁\編于五點目前十七頁\總數(shù)三十五頁\編于五點目前十八頁\總數(shù)三十五頁\編于五點目前十九頁\總數(shù)三十五頁\編于五點目前二十頁\總數(shù)三十五頁\編于五點2.

動量方程（Balanceoflinearmomentum

）在即時構(gòu)形中，任意取一個域，體積元記為

對此域運用動量定理:由GREEN公式:由于域是任意的:對于體積力為零的靜力學問題:2.1以前的推導目前二十一頁\總數(shù)三十五頁\編于五點2.2第二種方法引理：在即時構(gòu)型上體積分的物質(zhì)導數(shù)所以：動量矩定理:目前二十二頁\總數(shù)三十五頁\編于五點目前二十三頁\總數(shù)三十五頁\編于五點目前二十四頁\總數(shù)三十五頁\編于五點3.

角動量方程（Balanceofangularmomentum

）所以：目前二十五頁\總數(shù)三十五頁\編于五點4.守恒率的一般形式如果采用歐拉描述，上述三個守恒率可表達為：目前二十六頁\總數(shù)三十五頁\編于五點固體力學常采用拉格朗日描述：其中：拉格朗日描述中，體元體積不變：目前二十七頁\總數(shù)三十五頁\編于五點對物質(zhì)坐標求散度目前二十八頁\總數(shù)三十五頁\編于五點5.能量平衡律在即時構(gòu)型中任意v域內(nèi)的總能量P由動能K與內(nèi)能E組成，即

根據(jù)熱力學第一定律，總能量P的物質(zhì)導數(shù)，即對時間的變化率等于作用于v域的外力功率與每單位時間從v域外部所加的熱：式中h表示熱流矢量（或稱熱通量），即每單位時間每單位面積的熱流，k表示每單位質(zhì)量接受外部的熱（稱為熱源）目前二十九頁\總數(shù)三十五頁\編于五點而其中K為動能.動能其中由質(zhì)量守恒知:的物質(zhì)導數(shù)為零所以:又根據(jù)平衡方程:而所以:目前三十頁\總數(shù)三十五頁\編于五點又:其中:為變形率張量旋率張量反對稱所以:由于上式對任意域成立,所以有:微分形式的熱力學第一定律積分形式的熱力學第一定律其中:為即時構(gòu)形中單位體積的內(nèi)力功率目前三十一頁\總數(shù)三十五頁\編于五點定義變形功率w為

它表示參考構(gòu)形中每單位體積（也就是即時構(gòu)形中單位體積的J倍)的變形功率.引理1:設(shè)a與b為二階張量,則:即:引理2:即:可以推廣于多個二階張量點積的情況，例如

目前三十二頁\總數(shù)三十五頁\編于五點的其它表達形式由于:有:我們稱:和為一對功共軛的應力應變張量.目前三十三頁\總數(shù)三十五頁\編于五點微分形式的熱力學第一定律Reddy書目前三十四頁\總數(shù)三十五頁\編于五點6.熵不等式,熵平衡律(熱力學第二定律）以η表示每單位質(zhì)量的熵,則在即時構(gòu)形中,v域的總熵為:以θ表示溫度（絕對溫度,θ＞0），則由熱