【教學(xué)】《古典概型的應(yīng)用》示范教學(xué) 省賽獲獎

7.2.2古典概型的應(yīng)用第2課時問題1閱讀課本，回答下列問題：整體概覽（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)要研究的問題在數(shù)學(xué)中的地位是怎樣的？（1）本課時是古典概型的應(yīng)用的第2課時，在第1課時古典概型的應(yīng)用的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步拓展，探究互斥事件的概率加法公式．問題1閱讀課本，回答下列問題：整體概覽（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)要研究的問題在數(shù)學(xué)中的地位是怎樣的？（2）本課的重點在把握如何將復(fù)雜的概率計算問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的古典概型，進(jìn)而進(jìn)行概率計算．通過對更復(fù)雜的古典概型概率計算、古典概型在決策問題中的應(yīng)用以及古典概型與統(tǒng)計綜合，分析討論解決復(fù)雜古典概型計數(shù)問題和概率問題的一些方法新課導(dǎo)入問題2在使用古典概型的概率公式時，我們需要注意哪些問題？古典概型中的概率具有的性質(zhì)有哪些？（1）要判斷該概率模型是不是古典概型；（2）要找出隨機事件包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)．假設(shè)古典概型對應(yīng)的樣本空間含n個樣本點，事件A包含m個樣本點，則任何隨機事件A的概率為：

．并且古典概型中的概率滿足0≤P（A）≤1；（1）拋擲一枚均勻的骰子，設(shè)事件A＝{出現(xiàn)的點數(shù)1}，事件B＝{出現(xiàn)的點數(shù)2}，事件C＝{出現(xiàn)的點數(shù)3}，則P（出現(xiàn)點數(shù)不大于3）＝__________．（2）拋擲一枚均勻的硬幣，設(shè)事件A＝{正面朝上}，則P（

）＝__________．課前練習(xí)P（出現(xiàn)點數(shù)不大3）_____P（AC）＝新知探究問題1：(1)在試驗E“拋擲一枚均勻的骰子，觀察骰子擲出的點數(shù)”中，設(shè)事件A表示“擲出的點數(shù)為偶數(shù)”，事件B表示“擲出的點數(shù)為5”，試探究P（A），P（B）與P（AUB）的關(guān)系．新知探究問題1

(2)在試驗E“連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次擲出的點數(shù)”中，設(shè)事件A表示“第一次擲出的點數(shù)為1”，事件B表示“第一次擲出的點數(shù)不是1”，試探究P（A），P（B）與P（AUB）的關(guān)系．新知探究在一個試驗中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P（AUB）＝P（A）＋P（B）．這一公式稱為互斥事件的概率加法公式．特別地，P（A∪

）＝P（A）＋P（

），即P（A）＋P（

）＝1，所以

新知探究一般地，如果事件A1，A2…，An，兩兩互斥，那么有P（A1UA2U··…UAn，）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）互斥事件的概率加法公式和面積、體積、質(zhì)量等的加法公式本質(zhì)上是一樣的，都是同類事物的求和追問：(1)如果A、B不是互斥事件，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）還成立嗎？(2)如果事件A1，A2…，An，兩兩互斥，有P（A1UA2U…UAn）≤1成立嗎？新知探究(3)互斥事件和對立事件的區(qū)別和聯(lián)系是怎樣的呢？不成立成立互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥的例題精講例1先后擲兩個均勻的骰子，觀察朝上的面的點數(shù)，記事件A：兩次出現(xiàn)的點數(shù)均為偶數(shù)點，B：至少出現(xiàn)一個3點，求P（A），P（

），P（B），P（A∪B）．例題精講解：用數(shù)對(x,y)來表示拋擲結(jié)果，則樣本空間可記為Ω＝{(i，j)|i，j＝1，2，3，4，5，6}，則樣本空間中共包含36個樣本點．A＝{(2，4),(2，6),(2，2),(4，2),(4，4),(4，6),(6，2),(6，4),(6，6)}B＝{(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3),(6,3)A包含9個樣本點B包含11個樣本點例題精講所以因為事件A和事件B是互斥事件，所以例題精講例2某網(wǎng)站登錄密碼由四位數(shù)字組成．某同學(xué)注冊時將自己生日的四個數(shù)字0，3，2，5重新編排了一個順序作為密碼．由于長時間未登錄該網(wǎng)站，他忘記了密碼．若登錄時隨機輸入由0，3，2，5組成的一個四位數(shù)字，則該同學(xué)不能順利登錄的概率是多少？例題精講解：用事件A表示“輸入由0，3，2，5組成的一個四位數(shù)字，但不是密碼”．由于事件A比較復(fù)雜，可考慮它的對立事件A，即“輸入由0，3，2，5組成的一個四位數(shù)字，恰是密碼”，顯然它只有一種結(jié)果．四個數(shù)字0，3，2，5隨機編排順序，所有可能結(jié)果可用樹狀圖表示,如圖例題精講從上面的樹狀圖可以看出，將四個數(shù)字0，3，2，5隨機編排順序，共有24種可能的結(jié)果，即樣本空間共含有24個樣本點，且24個樣本點出現(xiàn)的結(jié)果是等可能的，因此可以用古典概型來解決．由，得例題精講例3班級聯(lián)歡時，主持人安排了跳雙人舞、獨唱和獨奏節(jié)目，指定3個男生和2個女生來參與．把五個人分別編號為1，2，3，4，5，其中1，2，3號是男生，4，5號是女生．將每個人的編號分別寫在5張相同的卡片上，放入一個不透明的箱子中，并攪拌均勻，每次從中隨機取出一張卡片，取出誰的編號誰就參與表演節(jié)目．（1）為了選出2人來表演雙人舞，連續(xù)抽取2張卡片，求選出的2人不全是男生的概率．例題精講解：把抽取2張卡片的結(jié)果記為（i，j），其中i表示第一次抽取的卡片號，j表示第二次抽取的卡片號．（1）依題意可知抽取的所有可能結(jié)果為（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）．例題精講共有20種可能的結(jié)果．因為每次都是隨機抽取，所以可以認(rèn)為每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，從而用古典概型來解決．用事件A表示“選出的2人不全是男生”．方法1：依題意知事件A包含的樣本點有（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有14種可能的結(jié)果．因此，事件A“選出的2人不全是男生”的概率是：例題精講方法2：依題意知事件A的對立事件

“取出的2人全是男生”包含的樣本點有（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2），共有6種可能的結(jié)果．因此，例題精講（2）為了確定表演獨唱和獨奏的人選，抽取并觀察第一張卡片后，又放回箱子中，充分混合后再從中抽取第二張卡片．求：①獨唱和獨奏由同一個人表演的概率；②選出的不全是男生的概率例3

班級聯(lián)歡時，主持人安排了跳雙人舞、獨唱和獨奏節(jié)目，指定3個男生和2個女生來參與．把五個人分別編號為1，2，3，4，5，其中1，2，3號是男生，4，5號是女生．將每個人的編號分別寫在5張相同的卡片上，放入一個不透明的箱子中，并攪拌均勻，每次從中隨機取出一張卡片，取出誰的編號誰就參與表演節(jié)目．例題精講解：（2）與（1）中的不放回的抽取不同的是，（2）中的抽取是有放回的抽?。槿〉乃锌赡芙Y(jié)果為（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）共有25種可能的結(jié)果．例題精講因為每次都是隨機抽取，所以可以認(rèn)為每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，從而用古典概型來解決．①設(shè)事件B表示“獨唱和獨奏由同一個人表演”，則事件B所包含的樣本點有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），共有5種可能的結(jié)果．因此，即獨唱和獨奏由同一個人表演的概率為．例題精講②設(shè)事件C表示“選出的不全是男生”，其對立事件C表示“選出的全是男生”，包含的樣本點有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共有9種可能的結(jié)果．因此，即獨唱和獨奏由同一個人表演的概率為．歸納小結(jié)1．古典概型是一種最基本的概型，古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性．用公式P（A）＝時，關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系，從而求出m、n歸納小結(jié)2．解題時，將所有基本事件全部列出是避免重復(fù)或者遺漏的有效方法；對于用直接方法難以解決的問題，可以求其對立事件的概率，進(jìn)而求得其概率，以降低難度．目標(biāo)檢測下列說法正確的是（

）1A．一枚骰子擲一次得到2點的概率為

，這說明一枚骰子擲6次會出現(xiàn)一次2點B．某地氣象臺預(yù)報說，明天本地降水的概率為70%，這說明明天本地有70%的區(qū)域下雨，30%的區(qū)域不下雨C．某中學(xué)高二年級有12個班，要從中選2個班參加活動，由于某種原因，一班必須參加，另外再從二至十二班中選一個班，有人提議用如下方法：擲兩枚骰子得到的點數(shù)是幾，就選幾班，這是很公平的方法D．在一場乒乓球賽前，裁判一般用擲硬幣猜正反面來決定誰先打球，這應(yīng)該說是公平的目標(biāo)檢測選項B降水概率為70%，這說明明天本地有70%可能性降水，不是降水區(qū)域面積．選項C兩枚骰子的和，每個數(shù)字出現(xiàn)的概率不相等，所以不公平．選項D硬幣兩面出現(xiàn)正反的概率相等，因此是公平的．所以選D選項A，出現(xiàn)2點的概率為

，指的是出現(xiàn)概率，不是擲6次會出現(xiàn)一次2點，A錯．目標(biāo)檢測下列說法正確的是（

）1A．一枚骰子擲一次得到2點的概率為

，這說明一枚骰子擲6次會出現(xiàn)一次2點B．某地氣象臺預(yù)報說，明天本地降水的概率為70%，這說明明天本地有70%的區(qū)域下雨，30%的區(qū)域不下雨C．某中學(xué)高二年級有12個班，要從中選2個班參加活動，由于某種原因，一班必須參加，另外再從二至十二班中選一個班，有人提議用如下方法：擲兩枚骰子得到的點數(shù)是幾，就選幾班，這是很公平的方法D．在一場乒乓球賽前，裁判一般用擲硬幣猜正反面來決定誰先打球，這應(yīng)該說是公平的D目標(biāo)檢測在數(shù)字1，2，3，4，5中任取兩個數(shù)相加，和是偶數(shù)的概率為（

）．２從數(shù)字1，2，3，4，5中任取兩個數(shù)的所有可能有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）故所有情況數(shù)n＝10A．B．C．D．目標(biāo)檢測在數(shù)字1，2，3，4，5中任取兩個數(shù)相加，和是偶數(shù)的概率為（

）．２C其中兩個相加其和是偶數(shù)的有（1，3），（1，5），（3，5），（2，4）四種，即m＝4，A．B．C．D．和為偶數(shù)的概率為

，應(yīng)選答案C．目標(biāo)檢測設(shè)a是甲拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，則方程x2＋ax＋2＝0有兩個不相等的實數(shù)根的概率為________．3解：由方程x2＋ax＋2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，得Δ＝a2－8＞0，故a＝3，4，5，6．根據(jù)古典概型的概率計算公式有P＝＝．目標(biāo)檢測田忌和齊王賽馬是歷史上有名的故事，設(shè)齊王的三匹馬分別為A，B，C，田忌的三匹馬分別為a，b，c，三匹馬各比賽一次，勝兩場者獲勝．若這六匹馬的優(yōu)劣程度可以用以下不等式表示：A＞a＞B＞b＞C＞c．4（1）正常情況下，求田忌獲勝的概率；（2）為了得到更大的獲勝機會，田忌打探到齊王第一場必出上等馬A，于是田忌采用了最恰當(dāng)?shù)膽?yīng)對策略，求這時田忌獲勝的概率．目標(biāo)檢測（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cc），（Ab，Bc，Ca），（Ac，Ba，Cb），（Ac，Bb，Ca）．解：（1）比賽配對的所有情況共有6種：經(jīng)分析：僅有配對為（Ac，Ba，Cb）時，田忌獲勝，則田忌獲勝的概率為

．目標(biāo)檢測（2）田忌的策略是首場安排c出賽，此時比賽配對的所有情況有2種：（Ac，Ba，Cb），（Ac，Bb，Ca），配對為（Ac，Ba，Cb）時田忌獲勝，則田忌獲勝的概率為

．目標(biāo)檢測從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．5目標(biāo)檢測解：每次取出一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個，即（a1，a2）和（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）．其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第