2021屆天津市部分區(qū)高三上學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)試題(解析版)

2021屆天津市部分區(qū)高三上學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先求出，再判斷中元素的個(gè)數(shù)即可.【詳解】，，，中元素的個(gè)數(shù)為：4.故選：C2．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分性和必要性的定義，結(jié)合特例法進(jìn)行判斷即可.【詳解】，能推出，當(dāng)時(shí)，顯然當(dāng)時(shí)成立，但是不成立，不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A3．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】采用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再帶特殊點(diǎn)求函數(shù)值得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A，C；又當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)D.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖像的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖像的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖像的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖像的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖像.4．設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角的余弦公式可得解.【詳解】，故選：D.5．將一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件分析得到：當(dāng)球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球時(shí)，此時(shí)球最大，據(jù)此計(jì)算出對(duì)應(yīng)的表面積.【詳解】由條件可知：球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球時(shí)，此時(shí)球最大，此時(shí)球的半徑為正方體棱長(zhǎng)的即為，所以表面積為：，故選：B.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，（1）當(dāng)球內(nèi)切于正方體時(shí)，；（2）當(dāng)球外接于正方體時(shí)，；（3）當(dāng)球與正方體的每條棱都相切時(shí)，.6．已知單位向量的夾角為，與垂直，則實(shí)數(shù)（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求得的值．【詳解】單位向量的夾角為，，與垂直，，解得，故選：C．7．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出的取值范圍，從而可得結(jié)果.【詳解】，又指數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，，即對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，，即，故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答比較大小問題，常見思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.8．已知兩條平行直線，，則與間的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由兩直線平行，求出，得到，再由兩平行線間的距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得，所以，即，因此與的距離為.故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩平行線間的距離，熟記距離公式，以及直線平行的判定條件即可，屬于?？碱}型.9．已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)，看成函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題，分，，討論求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，對(duì)于直線，，因?yàn)?，所以無交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，令，解得，要使方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則，解得；當(dāng)時(shí)，，令，解得，因?yàn)闀r(shí)，方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則時(shí)，無交點(diǎn)，則，解得,綜上：的取值范圍為故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是由和直線過定點(diǎn)，確定方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解只有一種情況：當(dāng)時(shí)，方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解.二、填空題10．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為___________.【答案】【分析】直接利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，故答案為：11．在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，，則直線和所成的角的余弦值為___________.【答案】【分析】作出示意圖，取中點(diǎn)，連接，然后根據(jù)平行關(guān)系確定出所成角為或其補(bǔ)角，結(jié)合線段長(zhǎng)度計(jì)算出所成角的余弦值.【詳解】取中點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，所以直線和所成的角為或其補(bǔ)角，不妨設(shè)，所以，所以，所以，所以，所以直線和所成的角的余弦值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．12．若向量，則與平行的單位向量是___________.【答案】或【分析】先求得向量的模，然后由求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以與平行的單位向量是或，故答案為：或13．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的長(zhǎng)為___．【答案】【分析】?jī)蓤A方程相減求出公共弦所在直線的解析式，求出第一個(gè)圓心到直線的距離，再由第一個(gè)圓的半徑，利用勾股定理及垂徑定理即可求出公共弦長(zhǎng)．【詳解】圓與圓的方程相減得：，由圓的圓心，半徑r為2，且圓心到直線的距離，則公共弦長(zhǎng)為．故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，求出公共弦所在的直線方程是解本題的關(guān)鍵．14．已知，，且，則的最小值為______.【答案】【分析】由已知結(jié)合基本不等式求出ab的范圍，再結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.令，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，且，即所以的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.三、雙空題15．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則___________通項(xiàng)公式_________________.【答案】【分析】根據(jù)可直接求解出的值；根據(jù)并結(jié)合的情況求解出的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)椋?；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合的情況，所以，故答案為：；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用與的關(guān)系求解數(shù)列通項(xiàng)公式的思路：（1）根據(jù)，先求解出時(shí)的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)條件驗(yàn)證是否滿足的情況；（3）若滿足，則的通項(xiàng)公式不需要分段書寫；若不滿足，則的通項(xiàng)公式需要分段書寫.四、解答題16．已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值.【答案】（1）最小正周期；（2）最小值為.【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，得，可得最小正周期為；（2）由得，可得在上的最小值為．【詳解】（1）由已知，有所以，的最小正周期.（2）當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.所以，函數(shù)在上的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)恒等變換，屬中檔題.通過展開三角函數(shù)關(guān)系式，利用正弦二倍角公式和降冪公式，輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為，由周期公式可得，由的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步得出，進(jìn)而求得的范圍，得出答案.17．設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.（1）求實(shí)數(shù)；（2）求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求解出，然后根據(jù)切線與軸平行得到的值，由此計(jì)算出的值；（2）先將因式分解，然后根據(jù)的取值正負(fù)確定出的單調(diào)區(qū)間.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所?又因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與軸平行，所以，即，即.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.18．如圖，在四棱錐中，底面中，底面滿足，，底面，且，.（1）證明：；（2）求平面與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)平面，得到，再由，利用線面垂直的判定定理證明平面即可.（2）根據(jù)，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，平面的一個(gè)法向量為，再求得平面的一個(gè)法向量，由，求解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以又因?yàn)?，平面，平面且，所以平面，又平?所以.（2）因?yàn)椋?，兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.由（1）知平面，所以平面的一個(gè)法向量為，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即取，則，所以，.即，所以所求二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．19．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意結(jié)合正弦定理可得的值（2）利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，，即，.（2）由（1）可得，從而，，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；20．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列且公比大于0，，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）直角利用已知條件建立等量關(guān)系，求出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.（2）利用分