高等數(shù)學(xué)數(shù)列的極限

關(guān)于高等數(shù)學(xué)數(shù)列的極限第1頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、概念的引入二、數(shù)列的定義三、數(shù)列極限的性質(zhì)

1.3數(shù)列的極限第2頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：播放——?jiǎng)⒒找?、概念的引入?頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積第4頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”第5頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)列的定義稱為一個(gè)數(shù)列,

記為{xn}.1.定義

數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一項(xiàng)xn=f(n)

稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)

數(shù)列也稱為序列第6頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月介紹幾個(gè)數(shù)列xn0242nx1x2……x???????????????……例1第7頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月…xnx2x1x0x3…??????????第8頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月01–1x所有的奇數(shù)項(xiàng)所有的偶數(shù)項(xiàng)第9頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月x1M3x1xx4x2??????????0所有奇數(shù)項(xiàng)第10頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1xnx3x2x1x0………??????????…第11頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)第12頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月001二、數(shù)列的極限第13頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月播放第14頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題:當(dāng)無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問(wèn)題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:第15頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第16頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月預(yù)先任意給定一個(gè)正數(shù)>0,不論它的值多么小,當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),數(shù)列{xn}總會(huì)從某一項(xiàng)開(kāi)始,以后的所有項(xiàng)都落在U(1,)中.（在U(1,)外面只有有限項(xiàng)）第17頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其中,是描述點(diǎn)xn與點(diǎn)0無(wú)限接近的度量標(biāo)準(zhǔn),它是預(yù)先任意給定的,與{xn}的極限存在與否無(wú)關(guān).不存在.

1n)1(e<--N-11+第18頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由N存在與否判斷數(shù)列的極限是否存在.

n>N描述n.通過(guò)目標(biāo)不等式來(lái)尋找N

>0,N=N().不等式稱為目標(biāo)不等式.第19頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一般地,

如果數(shù)列{xn}當(dāng)n時(shí),

列{xn}當(dāng)n時(shí)以a為極限,記為xn可以無(wú)限地趨近某個(gè)常數(shù)a,

則稱數(shù)此時(shí),也稱數(shù)列是收斂的.第20頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若{xn}當(dāng)n時(shí)沒(méi)有極限,則稱{xn}發(fā)散.若時(shí),使當(dāng)記為或此時(shí),

也稱數(shù)列{xn}是收斂的.

極限描述的是變量的變化趨勢(shì)

數(shù)列的項(xiàng)不一定取到它的極限值.數(shù)列極限的定義：第21頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意：第22頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幾何解釋:其中因此：數(shù)列的收斂性及其極限與它前面的有限項(xiàng)無(wú)關(guān)，改變數(shù)列的前有限項(xiàng)，不改變其收斂性和極限第23頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.證所以,注意：例2第24頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證所以,說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.例3第25頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證作為公式用例4第26頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(P36-6)證例5第27頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.-N語(yǔ)言證明(關(guān)鍵:技巧是適當(dāng)?shù)胤糯蟛坏仁?說(shuō)明:-N語(yǔ)言的應(yīng)用有以下兩個(gè)方面:練習(xí)P36-3及作業(yè)的填空題（練Ｎ的選?。┑?8頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.用“-N”語(yǔ)言,由一個(gè)已知極限存在的數(shù)列,證明另一個(gè)數(shù)列的極限.方法:

對(duì)已知極限存在的數(shù)列應(yīng)用“-N”語(yǔ)言,再?gòu)闹凶冃纬伤C明的數(shù)列極限的“-N”語(yǔ)言形式.(如例4)練習(xí)P36-5，6，7，8第29頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性例如,有界無(wú)界第30頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理1

收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件,但不是充分條件.推論

無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.

該定理的逆命題不真,即有界數(shù)列不一定收斂.

例如,{(－1)n}.第31頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.唯一性定理2想想,如何證明它？若數(shù)列{xn}收斂,則其極限值必唯一.第32頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)數(shù)列{xn}收斂,但其極限不唯一,不妨設(shè)有：證運(yùn)用反證法任意性常數(shù)由的任意性,上式矛盾,故a=b.第33頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.唯一性定理的推論的任何一個(gè)子數(shù)列都收斂,且均以a為極限.

充分必要條件何謂子數(shù)列？第34頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

子數(shù)列的概念

在數(shù)列{xn}:x1,x2,,xn,中,保持各項(xiàng)原來(lái)的先后次序不變,自左往右任意選取無(wú)窮多項(xiàng)所構(gòu)成的新的數(shù)列,稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列,記為

唯一性定理的推論往往用來(lái)證明或判斷數(shù)列極限不存在．第35頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6解取子數(shù)列：第36頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7解利用函數(shù)的周期性,在{xn}中取兩個(gè)子數(shù)列:第37頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四.小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性、唯一性.重點(diǎn)：-N語(yǔ)言應(yīng)用第38頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月思考題證明要使只要使從而由得取當(dāng)時(shí)，必有成立第39頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月思考題解答~（等價(jià)）證明中所采用的實(shí)際上就是不等式即證明中沒(méi)有采用“適當(dāng)放大”的值第40頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從而時(shí)，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為第41頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由均值不等式

或用后面講的夾逼準(zhǔn)則證明第42頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題第43頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒找?、概念的引入?4頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒找?、概念的引入?5頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入?6頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入?7頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入?8頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入?9頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找弧⒏拍畹囊氲?0頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入?1頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入?2頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、數(shù)列的極限第53頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、數(shù)列的極限第54頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、數(shù)列的極限第55頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、數(shù)列的極限第56頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、數(shù)列的極限第57頁(yè)，課件共65頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、數(shù)列的極限第5