知識(shí)講解-直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式-基礎(chǔ)

直的點(diǎn)標(biāo)距公【習(xí)標(biāo)1.掌握解方程組的方法，求兩條交直線的交點(diǎn)坐.2.掌握兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距.【點(diǎn)理【清堂兩線交與到線距知識(shí)要1】要一直的點(diǎn)求兩直線

AxBCAB0)AxCBC111222

的交點(diǎn)坐標(biāo)需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組

AxBy01AxBy022

的解即.若有

BC11BC

，則方程組有無(wú)窮多個(gè)解，此時(shí)兩直線重合；若有

C111C22

，則方程組無(wú)解，此時(shí)兩直線平行；若有，方程組有唯2一解，此時(shí)兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐.要詮：求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上就是解方程組，看方程組解的個(gè).要二過(guò)條線點(diǎn)直系程一般地，具有某種共同屬性的一類(lèi)直線的集合稱(chēng)為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系程中除含有x以，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，為參變量，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．過(guò)兩直線的交點(diǎn)的直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線

l:x，ly011122

交點(diǎn)的直線方程為

AxB1

Ay022

，其中

是待定系數(shù)．在這個(gè)方程中，無(wú)論

取什么實(shí)數(shù)，都得不到

AB22

，因此它不能表示直線

l

．要三兩間距公兩點(diǎn)

P，，11222

間的距離公式為PP2

()1

y)1

.要詮：此公式可以用來(lái)求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問(wèn)題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來(lái)解決另在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌要四點(diǎn)直的離式點(diǎn)

P(y)0

到直線

By0

的距離為

d

Ax00A2

.要詮：（）

P(，y00

到直線

By0

的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)P的離中最小距離；（）用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（）公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷

要五兩行間距本類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，在任一條直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直AC01

與直線

AxBy2

的距離為

d

2A2

.要詮：(1)兩條平行線間的距離，可以作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)一般可以取直線上的特殊點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離；(2)利用兩條平行直線間的距離式

d

C22

時(shí)定先將兩直線方程化為一形式兩條直線中x，的系分別是相同的，才能使用此公.【型題類(lèi)一判兩線位關(guān)例．判斷下列各組直線位置關(guān)系，如果相交，求出相應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)：y（1y

yy）1）1xy22

．【答案）

10,3

）合）平行．y【解析方程組y

10x得該方程組有唯一解14y3

，所以?xún)芍本€相交且交點(diǎn)坐標(biāo)為

1014,3

．y（2解方程組11x32②×6得－，因此①和②可以化成同一個(gè)方程，即方程組有無(wú)數(shù)組解，所以?xún)芍本€重合．y（3解方程組x2

②×6①得3=0，矛盾，方程組無(wú)解，所以?xún)芍本€無(wú)公共點(diǎn)，所以?xún)芍本€平行．【總結(jié)升華】判斷兩直線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是看兩直線的方程組成的方程組的解的情況．舉反：【變式】判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系，若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：

（1l：，l：x12（2l：x+y+2=0，l：2x+2y+3=01（3l：―；l：―2y+2=01【答案）線l與l相，交點(diǎn)坐標(biāo)為（，112（2直線l與l無(wú)共點(diǎn)，即l∥l．122（3兩直線重合．類(lèi)二過(guò)條線點(diǎn)直系程例．求經(jīng)過(guò)兩直線――3=0和的點(diǎn)且與直線―平的直線方程．【答案】【解析】可先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求出所要求的直線方程；也可利用直線系（平行系或過(guò)定點(diǎn)系）求直線方程．解法一所的直線為l方組

2yxy

x5得7y5

直l和線3x+y1=0平，∴直線l斜率k=―3．∴根據(jù)點(diǎn)斜式有

3yx55

，即所求直線方程為15x+5y+16=0．解法二：∵直線l兩直線―3y―3=0和x+y+2=0的點(diǎn)，∴設(shè)直線l的程為―3y―3+(x+y+2)=0，即(3)y+23=0．∵直線

l

與直線－1=0平，∴

11，得3

．從而所求直線方程為．【總結(jié)升華】直線系是直線和方程的理論發(fā)展，是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言中一種有用的工具，是一種很用的解題技巧，應(yīng)注意掌握和應(yīng)用．舉反：【變式】求證論取么實(shí)數(shù)，直―――11)=0都過(guò)一個(gè)定點(diǎn)并求出個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．證法一于方程―1)x+(m+3)y――令――得x+4y+10=0．解方程組，兩直線的交點(diǎn)為，xy將點(diǎn)（，―3）入已知直線方程左邊，得―1)×2+(m+3)―3)――11)=4m―2――m+11=0．這表明不論m什么實(shí)數(shù)，所給直線均經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，―3證法二：將已知方程以為未知數(shù)，整理為2x+y―1)m+(―x+3y+11)=0．y2由于取的任意性，有，解得．y所以所給的直線不論取么實(shí)數(shù)，都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，―類(lèi)三對(duì)問(wèn)

00例秋北期中）求點(diǎn)（3―）關(guān)于直線l：x―y―的稱(chēng)點(diǎn)A＇的坐標(biāo)．【思路點(diǎn)撥】設(shè)點(diǎn)＇的坐標(biāo)為，n得A的點(diǎn)B的標(biāo)并代入直線l的程得到①，再00由線段＇和線l垂，斜率之積等于得到②，解①②求得m的，即得點(diǎn)A的坐標(biāo)．【答案】

(

134,)55【解析】設(shè)點(diǎn)A（3―）關(guān)于直線lx―y―的稱(chēng)點(diǎn)A＇的坐標(biāo)為（n則線段A＇的點(diǎn)

(

,)2

，由題意得B在線l：x―y―1=0上故

2

n22

①再由線段A＇和直線l垂，斜率之積等于1得解①②所成的方程組可得：13,，55

n21

②，故點(diǎn)A＇的坐標(biāo)為

(

134,)55

．【總結(jié)升華】本題考查求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，注意利用垂直及中點(diǎn)在軸上個(gè)條件．例．求直線x―y―2=0關(guān)于直線【答案】

l

：3x―對(duì)的直線方程．【解析】解一：由，交點(diǎn)

59P,2

，取直線―y―上點(diǎn)A0―2點(diǎn)A關(guān)直線

l

：―y+3=0的稱(chēng)點(diǎn)為A，00則根據(jù)

k

AA'

l

，且線段AA＇中點(diǎn)在直線l：―y+3=0上有0xy2

，解得．y0故所求直線過(guò)點(diǎn)

59,22

與（―3―∴所求直線方程為

92

．即7x+y+22=0解法二：設(shè)（x，y）為所求直線上任一點(diǎn)P關(guān)直線

l

：―的稱(chēng)點(diǎn)P據(jù)PP＇⊥

l

且線段＇中點(diǎn)在直線

l

上，可得'x''，解得x'y'3'

10610

．

又∵x直xy2=0上∴

x1010

，即7x+y+22=0．故所求直線方程為7x+y+22=0．【總結(jié)升華】軸稱(chēng)問(wèn)題一般用這兩種方法求解，其中解法二是求軌跡方程的常用方法，稱(chēng)為代入法．舉反：【變式）點(diǎn)P（x，）于直線―的稱(chēng)點(diǎn)坐；00（2求直線l：Ax+By+C=0于直線l：x+y3=0的稱(chēng)直線l的程1【答案―，x+CBx+Ay――3BC=00【清堂兩線交與到線距要點(diǎn)（）的1【變式】

l

過(guò)點(diǎn)M(-2,1)且與點(diǎn)，的距離相等，求直線

l

的方程．【答案】【解析】

yxy法一：直線

l

過(guò)AB的點(diǎn)（1，以

l

的方程為

y

．直線l則設(shè)l方程為

y(則

k

12

，所以l方程為：

xy法二：由題意知直線

l

的斜率存在，設(shè)

l

的方程為

y(

，則A、兩到直線

l

的距離|2

|5k2解得：

k0,

12所以l的方程為：y和xy類(lèi)四兩間距例．已知點(diǎn)A（，B（3，C（，證△ABC是等腰三角形．【解析】先別求出三邊之長(zhǎng)再比較三邊的長(zhǎng)短，最后下結(jié)論．∵

AB

(4

2

，AC|

2

，|

2

(0

2

，∴|AC|=|BC|．又∵AB、三不共線，∴ABC等腰三角形．【總結(jié)升華】利兩點(diǎn)間距離式即可求出兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而可解決相關(guān)問(wèn)題，在運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式時(shí)只需將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入公式即可．舉反：【變式】以點(diǎn)（―，0（，―2（，）頂點(diǎn)的三角形是（）

1222或A等腰三角形1222或

B等邊三角形

C．角三角形

D以上都不是【答案C【解析】

(223640210

，(

2

2

16322

，(

2

2

82

，∵

2BC

，∴△直角三角形．故選：．l

例6知直線l過(guò)3兩平行直線：截的線段長(zhǎng)為5求直線l的程．2

l

1

，【答案】【解析】設(shè)線

l

與直線

l

、l1

分別交于點(diǎn)（xyB（、y

x1x2

，兩方程相減，得(x―)+(y―y，①112由已知及兩點(diǎn)間距離公式，得x―)+(y―y)，②11由①②解得

x112yyy121

，又點(diǎn)A（，y（，y）直線l上因此直線l的斜112率為0或存在，又直l過(guò)P（，1以線l的方程為y=1或x=3【總結(jié)升華】從點(diǎn)坐標(biāo)入手采用“設(shè)而不求代入”或“整體消元”的思想方法優(yōu)化了解題過(guò)程．這種解題思想方法在解析幾何中經(jīng)常用到，是需要掌握的技能．另外，靈活運(yùn)用圖形中的幾何性質(zhì)，如對(duì)稱(chēng)，線段中垂線的性質(zhì)等，同樣是很重要的．舉反：【變式】如圖，直l上有兩點(diǎn)ABA點(diǎn)B點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為xx，線l方1程為，求A、兩的距離．【答案】

|AB

(1

)()22

|類(lèi)五點(diǎn)直的離例．在△ABCA（，（2―2（，∠A的平分線所在直線的方程．【答案】

y【解析】設(shè)M（x，y）為A的分線上的任意一點(diǎn)，由已知求得AC邊所在直線的方程為x―5y+12=0所在直線的方程為5xy．由角平分線的性質(zhì)得

|y||526

，∴x――y―12或x――5x+12，―或y=x但結(jié)合圖形（如圖知k＜＜k，即ACAB

15

AD

，∴y=不題，故舍去．故所求A的分線所直線的方程為y=x．【總結(jié)升華】本利用角的平線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等這一性質(zhì)，創(chuàng)

設(shè)了運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式的條件，從而得到角的平分線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y）所滿(mǎn)足的程，化簡(jiǎn)即得到所求的直線方程．由此可見(jiàn)，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式的關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)出點(diǎn)到直的距離這一條件．舉反：【變式】求點(diǎn)P（―，2）到下列直線的距離：0（12x+y―10=0））y―．【答案）

5

（2

（）1【解析）據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得

d

|2|22

1055

．（2直線方程可化為x+y2=0，所以

d

||12

22

．（3因?yàn)橹本€y―1=0平于軸，所以d=|21|=1類(lèi)六兩行線的離例．已知直線

l

：+（a∈（1若直線l的斜角為°，求實(shí)數(shù)的值；（2若直線

l

在x軸的截距為2，求實(shí)數(shù)a值；（3若直線

l

與直線

l

：2－y+1=0平行，求兩平行線之間的距離．【思路點(diǎn)撥）由題意可得°=a，解方程可得）=0解得x即直線l在軸上的截距，可得關(guān)于方程，解方程可得）直線的平行關(guān)系可得a值代入