(完整)2019年高考全國2卷理科數(shù)學(xué)及答案

絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝A．(－∞，1）B．(－2，1）C．(－3，－1）D．(3，＋∞）D．第四象限D(zhuǎn)．32．設(shè)z＝－3＋2i，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于A．第一象限uuurB．第二象限uuurC．第三象限uuuruuuruuur3．已知AB＝(2,3），AC＝(3，t），BC＝1，則ABBC＝A．－3B．－2C．24．2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行．L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為M，地月距１２離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓，r滿足方程：運動定律和萬有引力定律M(Rr)2r2M(Rr)M121．R3(1)2設(shè)r334在近似計算，由于的值很小3533，則r的近似值為，因此中RMMB．M2RC．33M2RD．3M2RA．2R2MM3M11115．演講比賽1個最高分、數(shù)字特征共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時中，從9個原始評分，不變?nèi)サ?個最低分，得到7個有效評分．7個有效評分與9個原始評分相比的是A．中位數(shù)6．若a>b，則A．ln(a?b）>0B．平均數(shù)C．方差C．a(chǎn)3?b3>0D．極差D．│a│>│b│B．3a<3b7．設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面x2y21的一個焦點，則p＝8．若拋物線y2＝2px(p>0）的焦點是橢圓3ppA．2B．3C．4D．89．下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，）單調(diào)遞增的是242A．f(x）＝│cos2x│B．f(x）＝│sin2x│C．f(x）＝cos│x│D．f(x）＝sin│x│理科數(shù)學(xué)試題第1頁（共7頁）α∈(0，），2sin2α＝cos2α＋1，則sinα＝210．已知53521A．B．C．D．5553x2y21(a0,b0)的右焦點，O為坐標原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓11．設(shè)F為雙曲線C：a2b2x2y2a2交于P，Q兩點．若PQOF，則C的離心率為A．2B．3C．2D．512．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x1)2f(x)，且當x(0,1]時，f(x)x(x1)．若對任意x(,m]，都有f(x)8，則m的取值范圍是9A．(,9](,]7(,]5(,]8B．C．D．4323二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0．97，有20個車次的正點率為0．98，有10個車次的正點率為0．99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為__________．x0時，f(x)eax．若f(ln2)8，則a__________．f(x)14．已知是奇函數(shù)，且當π15．△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c．若bacB6,2,，則△ABC的面積為3__________．16．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正有________個面，其棱長為_________．（本題第一空2分，第二空3分．）印信的形狀多為長方體、正方體圓或柱半正多面體是由兩種或多面體共三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）證明：⊥平面EB1C1；（2）若AE＝A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．12分）BE理科數(shù)學(xué)試題第2頁（共7頁）18．（12分）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0．5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0．4，各球的結(jié)果相互獨立．在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束．（1）求P（X＝2）；（2）求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．19．（12分）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4a3ab4，4b3ba4．n1nnn1nn（1）證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項公式．20．（12分）已知函數(shù)fxlnxx1．x1（1）討論f(x）的單調(diào)性，并證明f(x）有且僅有兩個零點；（2）設(shè)x0是f(x）的一個零點，證明曲線y＝lnx在點A(x0，lnx0）處的切線也是曲線yex的切線．21．（12分）1已知點A(?2,0），B(2,0），動點M(x,y）滿足直線AM與BM的斜率之積為?．記M的軌跡2為曲線C．（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象，限PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G．（i）證明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面積的最大值．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）0)在曲線C:4sin上，直線l過點A(4,0)且在極坐標系中，O為極點，點M(,)(000與OM垂直，垂足為P．時，求及l(fā)的極坐標方程；0=（1）當30（2）當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程．23．[選修4－5：不等式選講]（10分）已知f(x)|xa|x|x2|(xa).（1）當a1時，求不等式f(x)0的解集；（2）若x(,1)時，f(x)0，求的取值范圍．a(chǎn)理科數(shù)學(xué)試題第3頁（共7頁）2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試·理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1．A7．B2．C3．C4．D5．A6．C11．A12．B8．D9．A10．B二、填空題16．26；2113．0.9814．–315．63三、解答題：17．解：（ABBABC平面，BE平面，故BE．ABBABC111）由已知得，111111又BEEC，所以平面．EBCBE111BEB90．由題設(shè)知Rt△ABERt△ABEAEB45，，所以（2）由（1）知111故AEAB，AA2AB．1uuuruuur|DA|以D為坐標原點，DA的方向為x軸正方向，為單位長，示的空間直角坐標系D－xyz，則C（0，1，0），B（1，1，0），C（0，1，2），建立如圖所E（1，0，1），1uuuuruuurCC(0,0,2)．CE(1,1,1)，1設(shè)平面EBC的法向量為n＝（x，y，x），則CBn0,uuurx0,xyz0,所以可取n＝(0,1,1)．即CEn0,設(shè)平面ECC的法向量為m＝（x，y，z），則1CCm0,uuurxyz0.20,z1CEm0,即所以可取m＝（1，1，0）．nm3．1BECC1的正弦值為2于是cosn,m．所以，二面角|n||m|218．解：（兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束，則這2個球均由甲得分，或分．因此P（X＝2）＝0．5×0．4＋（1–0．5）×（1–04）＝05．（2）X＝4且甲獲勝，就是10：10平后，兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束，且這4個球的得分情1分，1）X＝2就是10：10平后，者均由乙得況為：前兩球是甲、乙各得后兩球均為甲得分．因此所求概率為[0．5×（1–0．4）＋（1–0．5）×0．4]×0．5×0．4＝0．1．理科數(shù)學(xué)試題第4頁（共7頁）1(ab)．2nnb4(ab)2(ab)19．解：（1）由題設(shè)得，即an1n1nnn1n11又因為＋＝abl，所以ab是首項為1，公比為的等比數(shù)列．112nn4(ab)4(ab)8，由題設(shè)得n1n1nnabab2．即n1n1nn又因為–＝l，所以ab是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．a(chǎn)b11nn1ab2n1．，2n1nnab（2）由（1）知，nna[(ab)(ab)]1n12，1所以22nnnnnnb1[(ab)(ab)]1n12．22nnnnnn20．解：（1）f（x）的定義域為（0，1），（1，＋∞）單調(diào)遞增．e10f(e)2，2e21e230，1因為（fe）＝e1e1e122所以（）在（fx1，＋fx∞）有唯一零點x，即（）＝0．111又1，x1f(x)001f()lnx1，xx1x111111故f（）在（x0，1）有唯一零點．x1綜上，（）有且僅有兩個零點．fx11e（2）因為lnx0，故點B（–lnx0，）在曲線y＝ex上．x0x0x1lnx，即0f(x)0由題設(shè)知x1，000x101lnx1x0xx11的斜率k故直線AB000．xlnxxx1x1x000000理科數(shù)學(xué)試題第5頁（共7頁）B(lnx,1)1處切線的斜率是，曲線在點ylnxA(x,lnx)處切線的斜曲線＝y(tǒng)e在點x0xx00001率也是，x0ylnx所以曲線在點A(x,lnx)處的切線也是曲線＝的切線．yex001yx2x2yx2y21(|x|2)，所以C為中心在坐標原21．解：（1）由題設(shè)得，化簡得242點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點．ykx(k0)．（2）（i）設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為ykx2得x由．x221y12k2422記u，則P(u,uk),Q(u,uk),E(u,0)．12k2kk于是直線QG的斜率為，方程為y(xu)．22yk2(xu),由得xy22142(2k2)x22uk2xk2u280．①u(3k22)uk2k23設(shè)G(x,y)，則u和x是方程①的解，故x，由此得yG．2k2GGGGuk2k23uk1PG從而直線的斜率為．u(3k2)u2k2k2所以PQPG，即△PQG是直角三角形．|PG|2ukk21（ii）由（i）得|PQ|2u1k2，2k2，理科數(shù)學(xué)試題第6頁（共7頁）18(k)1的面積8k(1k2)k所以△PQGS|PQ‖PG|(12k2)(2k2)．1212(k)2k1設(shè)t＝k＋，則由k>0得t≥2，當且僅當k＝1時取等號．k8t169．因為S12t2在[2，＋∞）單調(diào)遞減，所以當＝2，即k＝1時，S取得最大值，最大值為t16面積的最大值為9．因此，△PQGM,4sin23．22．解：（1）因為