高三數(shù)學一輪復習：函數(shù)模型及其應用

[備考方向要明了]1.函數(shù)模型考查的重點是函數(shù)模型的建立以及函數(shù)模型中的最值問題，命題的熱點是二次函數(shù)的最值或利用基本不等式求解最值，如2012年江蘇高考T17,2010年高考T14等．2.考查題型以解答題為主.1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義．2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用.怎

么

考考

什

么[歸納知識整合]1．幾種常見的函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)一次函數(shù)模型函數(shù)解析式函數(shù)模型2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性單調(diào)

函數(shù)單調(diào)

函數(shù)單調(diào)

函數(shù)增長速度越來越___越來越___相對平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與

軸接近平行隨x值增大，圖象與

軸接近平行隨n值變化而不同遞增遞增遞增快慢yx[探究]1.直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長的增長特點是什么？提示：直線上升：勻速增長，其增長量固定不變；指數(shù)增長：先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；對數(shù)增長：先快后慢，其增長速度緩慢．2．你認為解答數(shù)學應用題的關鍵是什么？提示：解答數(shù)學應用題的關鍵有兩點：一是認真讀題，縝密審題，將實際問題中的自然語言轉化為相應的數(shù)學語言；二是要合理選取變量，設定變量后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關系，建立相應的函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學模型．[自測牛刀小試]1．(教材習題改編)在養(yǎng)分充足的情況下，細菌的數(shù)量會以指數(shù)函數(shù)的方式增加．假設細菌A的數(shù)量每2個小時可以增加為原來的2倍；細菌B的數(shù)量每5個小時可以增加為原來的4倍．現(xiàn)在若養(yǎng)分充足，且一開始兩種細菌的數(shù)量相等，要使細菌A的數(shù)量是B的數(shù)量的兩倍，需要的時間為______．答案：10h2．(教材習題改編)在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)．現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是________．x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61解析：通過檢驗可知，y＝log2x較為接近．答案：②3．(教材習題改編)某種儲蓄按復利計算利息，若本金為a

元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y

元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關系式是________．解析：因為儲蓄按復利計算，所以本利和y隨存期x變化的函數(shù)關系式是y＝a(1＋r)x，x∈N*.答案：y＝a(1＋r)x，x∈N*4．某種商品進價為每件100元，按進價增加25%出售，后因庫存積壓降價，按九折出售，每件還獲利________元．解析：九折出售時價格為100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此時每件還獲利112.5－100＝12.5元．答案：12.55．某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價付費)；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了________km.解析：當恰好行駛8km時，需要付費1＋8＋2.15×5＝19.75，而現(xiàn)在付出費用為22.6.所以用22.6－19.75＝2.85，故多行1km，實際行駛9km.答案：9利用函數(shù)刻畫實際問題[例1]某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關系如圖1；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2(注：利潤和投資單位：萬元)．(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？②問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？解實際問題的方法及注意事項在實際問題中優(yōu)化、面積、利潤、產(chǎn)量等問題常與二次函數(shù)有關，可建立二次函數(shù)模型，常利用配方法借助于對稱軸和單調(diào)性求最值問題，但一定要注意在實際情況下函數(shù)的定義域，否則極易出錯．1．一水池有兩個進水口，一個出水口，每個水口的進、出水速度如圖甲、乙所示．某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示．給出以下3個論斷：①0點到3點只進水不出水；②3點到4點不進水只出水；③4點到6點不進水不出水，則一定正確的是________．答案竹：①利用竹已知分函數(shù)粉模型妥解決虎實際嘆問題(1墓)求炮護的最黃大射竟程；(2雙)設在礦第一戲象限啟有一苗飛行心物(忽略告其大綠小)，其輪飛行洲高度砍為3.剪2千米踢，試勿問它傳的橫挨坐標a不超慶過多耕少時畫，炮句彈可薪以擊天中它不？請牢說明著理由忙．利用霞函數(shù)剝模型址解決距實際晚問題表的步吼驟若題斬目給及出了自含參情數(shù)的更函數(shù)怕模型放，或寄可確亭定其騰函數(shù)記模型絨的圖嚴象，胖求解南時先翻用待登定系閣數(shù)法拋求出談函數(shù)喪解析士式中挑相關法參數(shù)妥的值毀，再困用求捆得的懸函數(shù)類解析鞏式解鳳決實謊際問爺題．構建茫函數(shù)瞧模型齡解決抄實際魚問題[例3]某特欺許專動營店脂銷售嬸西安赤世界挑園藝苦博覽梳會紀倉念章崇，每暢枚進通價為5元，孫同時指每銷身售1枚這掙種紀辭念章團還需苗向世活博會疲管理籃處交歡特許陳經(jīng)營賊管理守費2元，設預計文這種可紀念哥章以無每枚20元的杰價格千銷售燙時該賞店一家年可毒銷售2酒00全0枚，糖經(jīng)過鉛市場盆調(diào)研伯發(fā)現(xiàn)陷每枚奇紀念輛章的貿(mào)銷售誰價格汗在每店枚20元的棕基礎游上每棟減少1元則縮慧增加獵銷售40云0枚，擦而每磁增加1元則湯減少五銷售10虹0枚，丈現(xiàn)設容每枚努紀念然章的種銷售的價格檢為x(元)．(1艦)寫出資該特但許專激營店秧一年球內(nèi)銷府售這推種紀禾念章奔所獲馬得的陪利潤y(元)與每透枚紀素念章行的銷建售價孤格x的函旨數(shù)關毒系式(并寫質(zhì)出這御個函靠數(shù)的節(jié)定義使域)；(2攏)當每工枚紀棍念章緣瑞銷售佳價格x為多置少元奸時，葡該特會許專秀營店弱一年捐內(nèi)利者潤y(元)最大觀，并泡求出疑這個眾最大馬值．把實歉際問枝題數(shù)竿學化折、建畝立數(shù)傳學模慶型一移定要盜過好窩的三方關(1啞)事理綠關：樹通過涉閱讀宮、理休解，柳明確皇問題春講的該是什腔么，敬熟悉妥實際旺背景吉，為基解題訴找出斑突破陶口．(2詠)文理潤關：最將實胸際問共題的嘆文字貴語言南轉化銜為數(shù)詢學符需號語雜言，敘用數(shù)黨學式爽子表肆達數(shù)詢學關頌系．(3奮)數(shù)理戶關：龜在構宵建數(shù)捏學模寄型的各過程莖中，雄對已瞇知數(shù)諒學知帝識進腳行檢殲索，示從而亞認定詳或構歉建相菜應的飯數(shù)學李模型發(fā)．3．某屬市居葬民自莖來水趕收費懂標準抄如下財：每籍戶每敵月用禾水不胞超過4噸時案，每鍋噸為1.權80元，粱當用濁水超糕過4噸時睬，超或過部旗分每陽噸3.透00元．改某月隆甲、袍乙兩柴戶共哥交水欄費y元，匹已知鐘甲、懂乙兩蹤蝶戶該歉月用撤水量天分別撒為5x,3x(噸)．(1洽)求y關于x的函績數(shù)；(2驢)若甲藥、乙艇兩戶鍬該月月共交王水費26彎.4元，撤分別于求出頸甲、邀乙兩蒙戶該西月的膊用水蘭量和鬼水費答．解：(1鄙)當甲餓的用廈水量吉不超淡過4噸時躁，即5x≤4，乙縱的用甚水量蘋也不洲超過4噸，y＝1.服8(館5x＋3x)＝14歪.4x；當甲術的用污水量格超過4噸，舌乙的萍用水蝕量不街超過4噸，忽即3x≤4，且5x>4時，y＝4×袖1.呀8＋3x×1腰.8＋3(巧5x－4)＝20橫.4x－4.攏8.當乙策的用手水量叢超過4噸，近即3x>4時，y＝2×塔4×撓1.次8＋3×獸[(姻3x－4)＋(5x－4)休]＝24x－9.州6.要特斜別關浮注實醫(yī)際問靈題的款自變?nèi)康牟砣≈祲悍秶K，合粥理確爆定函粘數(shù)的攔定義興域．(1突)審題字：弄鄭清題賓意，鐘分清啊條件號和結榴論，劃理順魯數(shù)量賴關系夾，初信步選姑擇數(shù)死學模落型；(2素)建模丙：將墊自然續(xù)語言誰轉化辦為數(shù)雹學語地言，目將文疑字語忠言轉衣化為裁符號窩語言鍵，利徐用數(shù)代學知湯識，憤建立接相應疲的數(shù)筋學模地型；(3寬)求模吧：求形解數(shù)臨學模浩型，碎得出租數(shù)學燈結論盯；(4糟)還原積：將顛數(shù)學丑問題兆還原列為實做際問掀題的攔意義樂．以上跟過程亡用框禿圖表賴示如澆下：答題訊模板——函數(shù)旗實際將應用答問題鏈的答驢題模慨板[快速停規(guī)范逃審題]3．建轉聯(lián)系萍，找翁解題蘋突破購口[準確說規(guī)范駛答題][答題塌模板訪速成]解決斗函數(shù)逢實際槐應用雜問題打一般炒可用炊以下兵幾步靈解答第一步審清題意認真分析題目所給的有關材料，弄清題意，理順問題中的條件和結論，找到關鍵量，進而明確其中的數(shù)量關系(等量或大小關系)第二步建立文字數(shù)量關系式把問題中所包含的關系可先用文字語言描述關鍵量之間的數(shù)量關系，這是問題解決的一把鑰匙第三步轉化為數(shù)學模型將文字語言所表達的數(shù)量關系轉化為數(shù)學語言，建立相應的數(shù)學模型(一般要列出函數(shù)式、三角式、不等式、數(shù)列、概率以及利用幾何圖形等進行分析)，轉化為一個數(shù)學問題第四步解數(shù)學問題利用所學數(shù)學知識解決轉化后的數(shù)學問題(常利用導數(shù)、基本不等式解決，本題是利用導數(shù)解決的函數(shù)最值)，得到相應的數(shù)學結論第五步返本還原把所得到的關于應用問題的數(shù)學結論，還原為實際問題本身所具有的意義(如本題應還原建造費用最小時r的值)第六步反思回顧查看關鍵點、易錯點，如本題函數(shù)關系式的求解是否正確；定義域是否正確；導數(shù)的求解及分類是否準確等1．A，B兩城也相距10脈0攔km，在側兩城魂之間剝距A城x(k殘m)處建一核島電站躬給A，B兩城射供電紀，為豈保證鹽城市場安全灣，核謊電站笨距城乞市距般離不旅得小似于10退k局m.已知忘供電揉費用廢等于割供電被距離(k北m)的平激方與密供電挖量(億度)之積魯?shù)?.伴25倍，四若A城供者電量很為每層月20億度耕，B城為遮每月10億度降．(1考)求x