規(guī)劃數(shù)學(xué)最優(yōu)性條件及二次規(guī)劃

第5章有約束極值問題最優(yōu)性條件

（1學(xué)時(shí)）二次規(guī)劃

（1學(xué)時(shí)）可行方向法（1學(xué)時(shí)）制約函數(shù)法（1學(xué)時(shí)）非線性規(guī)劃軟件求解簡介（1學(xué)時(shí)）應(yīng)用案例（1學(xué)時(shí)）最優(yōu)性條件二次規(guī)劃重點(diǎn)：最優(yōu)性條件，二次規(guī)劃難點(diǎn):最優(yōu)性條件及應(yīng)用基本要求：理解可行方向、下降方向、有效約束等概念，掌握最優(yōu)性條件，并會(huì)用其求解有約束極值問題，掌握二次規(guī)劃模型及求解方法，理解序列二次規(guī)劃的原理和特點(diǎn)。第9講最優(yōu)性條件和二次規(guī)劃一、基本概念1起作用（緊）約束是(I)的可行解，若則稱為處的起作用（緊）約束。記處起作用（緊）約束的下標(biāo)集2可行方向記或時(shí)有稱為處的可行方向?yàn)椋↖）或（II）的可行域定義:最優(yōu)性條件（5.1）p若是的任一可行方向，則有3下降方向時(shí)有稱為處的下降方向若是的任一下降方向，則有若既滿足（1）式又滿足（2）式則稱為的下降可行方向定理1為（I）的局部極小值點(diǎn)，在處可微，在處可微在處連續(xù)則在處不存在可行下降方向。即不存在向量同時(shí)成立判別條件判別條件定義:二、最優(yōu)性條件1、Gordan引理設(shè)為個(gè)維向量，不存在向量P使得成立的充要條件是存在不全為零的非負(fù)數(shù)，使得成立2、FritzeJohn定理(3)成立1(4)(5)(6)3Kuhn-Tucker條件

設(shè)x*是非線性規(guī)劃（I）的局部極小點(diǎn)有一階連續(xù)偏導(dǎo)而且X*處的所有起作用約束梯度線性無關(guān)，則存在數(shù)使得（7）成立成立（3）（7）并令即得

若x*是非線性規(guī)劃(II)的局部極小點(diǎn)，且x*點(diǎn)的所有起作用約束的梯度和線性無關(guān)。則存在向量使得（7）其中稱為廣義拉格朗日(Lagrange)乘子。庫恩—塔克條件是確定某點(diǎn)為最優(yōu)點(diǎn)的必要條件，只要是最優(yōu)點(diǎn)．且此處起作用約束的梯度線性無關(guān)。就必須滿足這個(gè)條件。但一般說來它并不是充分條件，因而，滿足這個(gè)條件的點(diǎn)不一定就是最優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于凸規(guī)劃，庫恩—塔克條件不但是最優(yōu)點(diǎn)存在的必要條件，它同時(shí)也是充分條件。某非線性規(guī)劃的可行解X(k)，假定此處有兩個(gè)起作用約束，若X（k）是極小點(diǎn)，則必處于的夾角之間，否則，X（k）點(diǎn)處必存在可行下降方向，它就不會(huì)是極小點(diǎn)。如右圖所示。庫恩—塔克條件的幾何解釋：且其梯度線性無關(guān)。三舉例例１求的極大值點(diǎn)。并驗(yàn)證其是否為K-T點(diǎn)。說明理由。解：1如上圖所示，陰影部分為可行域R，紅色直線為目標(biāo)函數(shù)的等值線。顯然最大值點(diǎn)為（1，0）。R將原問題標(biāo)準(zhǔn)化x1x20K-T條件（1）（2）（3）（5）（4）（1）式為代入上式，得：故不是K-T點(diǎn)。的起作用約束為線性相關(guān)不是K-T點(diǎn)。自己驗(yàn)證是F-J點(diǎn)。例2用K-擱T條件啟，求如解非絞線性哥規(guī)劃解：1驗(yàn)證回該問凝題為泡凸規(guī)肺劃原問法題標(biāo)置準(zhǔn)化怒為半正狗定，負(fù)定是凸糖函數(shù)是凹謠函數(shù)故該狡問題濫為凸斗規(guī)劃僑。所以2求K-街T點(diǎn)該問縣題的K-忍T條件挽為（1）（2）（3）（4）是K-倉T點(diǎn)(i萍)(i搭i)（5）討論(i辭ii講)將求琴出的帶入葬（6）式吼都不施滿足故該短問題恒有唯臭一的K-滅T點(diǎn)免即岡為極牽小值爪點(diǎn)，(i潔v)二次眨規(guī)劃僅的數(shù)披學(xué)模坊型可志表示延為：二次靜規(guī)劃蹄的數(shù)祥學(xué)模等型變蠢形為秒：（I）（II）二次關(guān)規(guī)劃(5嘴.2悲)其中圖：書中襪為午行向毛量（II息I）例1求解綁二次迷規(guī)劃龜問題尺（例5-港3）解：寫出吐問題洲對(duì)應(yīng)醫(yī)的矩鈴陣形潔式如輸下：這就市形成躬了式仍（II縣I）所股需要的全揚(yáng)部信申息：（II吹I）為解演此方浴程組亂，引凝入人員工變帽量R1和R2，目標(biāo)猶函數(shù)段為ma擺x風(fēng)z=喂-R1-R2對(duì)應(yīng)儉的初走始單哪純形耀表見纖表5-盼1。例2求解促二次陵規(guī)劃（自蝕己練所習(xí)）序列嶄二次高規(guī)劃(5著.3辜)序列境二次榴規(guī)劃亦的思皺路序列腹二次捐規(guī)劃刊（SQ坐P）算匠法是悄將復(fù)建雜的撞有約狠束極雷值問川題轉(zhuǎn)悲化為秀比較巖簡單饒的二齊次規(guī)朝劃（QP）問譽(yù)題求金解的晨算法斗。利切用泰碼勒展屈開把寸有約弦束極訪值問蛙題的計(jì)目標(biāo)置函數(shù)零在可迭代鳥點(diǎn)懲展調(diào)開成擔(dān)二次絨函數(shù)霸，將訂約束叮條件宿在迭竊代點(diǎn)跌展開隱成線深性函復(fù)數(shù)得晶到如可下二益次規(guī)介劃問醬題：此問鄰題是暗原有生約束家極值腔問題允的近診似問盲題，音但其急解不侵一定術(shù)是可所行解隸。為葬此，歪將上但述二惹次規(guī)諷劃問喊題變磁成變鋒量遞的丈問題爺，即（IV撇)求解鼠（V）得使到迭歉代的蜂搜索乓方