第11講圖形思想課-圖形的相似-2022年八升九數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)精講精練（蘇科版）（解析版）

圖形思想課--圖形的相似知識梳理（一）比例的性質(zhì)1.比例中項(xiàng)；2.合分比性質(zhì)；3.等比性質(zhì)（二）平行線分線段成比例定理1.兩條直線被一組平行線所截，所得的線段成比例。2.如右圖所示，所得的對應(yīng)線段成比例的有：EQ\F(AB,BC)=eq\f(DE,EF)，EQ\F(AB,AC)=\F(DE,DF)，\F(AB,DE)=\F(AC,DF)，等等。3.所得的線段必須是對應(yīng)的，否則不成比例。4.平行線段分線段成比例定理的常見變形如下圖所示： （三）平行線分線段成比例定理的推論平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例。1.一定要注意三邊的對應(yīng)的關(guān)系，不要寫錯2.平行于三角形的一邊的直線可以與三角形的兩邊相交，也可以與三角形的兩邊的延長線相交，如下圖所示，若DE∥BC，則有EQ\F(ＡＤ,ＡＢ)＝\F(ＡＥ,ＡＣ)，\F(ＡＤ,ＤＢ)＝\F(ＡＥ,ＥＣ)，\F(ＤＢ,ＡＢ)＝\F(ＥＣ,ＡＣ)（四）相似三角的判定方法1、如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．2、如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．3、如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．（五）相似三角形基本類型1、平行線型：常見的有如下兩種，DE∥BC，則△ADE∽△ABC2、相交線型：常見的有如下四種情形（1）如圖，已知∠1=∠B，則由公共角∠A得，△ADE∽△ABC（2）如下左圖，已知∠1=∠B，則由公共角∠A得，△ADC∽△ACB（3）如下右圖，已知∠B=∠D，則由對頂角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC3、旋轉(zhuǎn)型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，下圖為常見的基本圖形．4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，則△CBD∽△ABC∽△ACD．5、斜交型：如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、“蝶型”）6、垂直型：有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱“射影定理型”）”“三垂直型”）（六）黃金分割（七）相似三角形的性質(zhì)1、相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.2、相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.3、相似三角形周長的比等于相似比.4、相似三角形面積的比等于相似比的平方.（八）利用三角形相似測量高度方法1、利用陽光下的影子測量物高根據(jù)太陽光線是平行的，尋找相似三角形.在同一時刻，EQ\F(被測量物體的實(shí)際高度,被測量物體的影長)=\F(某物體的實(shí)際高度,某物體的影長)2、利用標(biāo)桿測量物高3、利用鏡子原理測量物高（九）圖形的位似1、位似圖形的定義2、圖形位似的性質(zhì)01.成比例線段與平行線分線段成比例01.成比例線段與平行線分線段成比例例題精講 例題精講例1、已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．【解析】（1）∵==，∴令===k，則x=2k，y=3k，z=4k，∴===﹣1；（2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z，∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3（舍去），∴x=﹣2．例2、如圖，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求證：+=．【解析】∵AC∥BD，EF∥BD，∴，，∴==1，∴+=．02.三角形相似的條件02.三角形相似的條件例題精講 例題精講例1、如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=3FD．則圖中相似三角形的對數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】有三對相似三角形，Rt△ABE∽Rt△DEF，Rt△ABE∽Rt△EBF，Rt△EBF∽Rt△DEF．理由如下：設(shè)正方形的邊長為4a，則AE=DE=2a，DF=a，CF=3a，在Rt△BCF中，BF==5a，在Rt△ABE中，BE==2a，在Rt△DEF中，EF==a，∵BE2+EF2=BF2，∴△BEF為直角三角形，∠BEF=90°，∵==2，==2，∴=，∴Rt△ABE∽Rt△DEF，同理得=，∴Rt△ABE∽Rt△EBF，∴Rt△EBF∽Rt△DEF．故選：C．例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2cm/秒的速度移動，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示運(yùn)動時間（0≤t≤6），那么當(dāng)t為何值時，△APQ與△ABD相似？說明理由．【解析】設(shè)AP=2tcm，DQ=tcm，∵AB=12cm，AD=6cm，∴AQ=（6﹣t）cm，∵∠A=∠A，∴①當(dāng)=時，△APQ∽△ABD，∴=，解得：t=3；②當(dāng)=時，△APQ∽△ADB，∴=，解得：t=1.2．∴當(dāng)t=3或1.2時，△APQ與△ABD相似．03.利用三角形相似測高距03.利用三角形相似測高距例題精講 例題精講例1、如圖，數(shù)學(xué)興趣小組的小穎想測量教學(xué)樓前的一棵樹的樹高，下午課外活動時她測得一根長為1m的竹竿的影長是0.8m，但當(dāng)她馬上測量樹高時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖），他先測得留在墻壁上的影高為1.2m，又測得地面的影長為2.6m，請你幫她算一下，樹高是（）A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m【解析】如圖，設(shè)BD是BC在地面的影子，樹高為x，根據(jù)竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得而CB=1.2，∴BD=0.96，∴樹在地面的實(shí)際影子長是0.96+2.6=3.56，再竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得，∴x=4.45，∴樹高是4.45m．故選C．例2、如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點(diǎn)D和點(diǎn)F處分別豎立高是2米的標(biāo)桿CD和EF，兩標(biāo)桿相隔52米，并且建筑物AB、標(biāo)桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿CD后退2米到點(diǎn)G處，在G處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端C在同一條直線上；從標(biāo)桿FE后退4米到點(diǎn)H處，在H處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端E在同一條直線上，求建筑物的高．【解析】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴=，=，∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，F(xiàn)H=4m，∴=，=，∴=，解得BD=52，∴=，解得AB=54．答：建筑物的高為54米．04.相似三角形的性質(zhì)及位似04.相似三角形的性質(zhì)及位似例題精講 例題精講例1、一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如圖，要使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC上．且矩形的長與寬的比為3：2，求這個矩形零件的邊長．【解析】如圖所示∵四邊形PQMN是矩形，∴BC∥PQ，∴△APQ∽△ABC，∴，由于矩形長與寬的比為3：2，∴分兩種情況：①若PQ為長，PN為寬，設(shè)PQ=3k，PN=2k，則，解得：k=2，∴PQ=6cm，PN=4cm；②PN為6，PQ為寬，設(shè)PN=3k，PQ=2k，則，解得：k=，∴PN=cm，PQ=cm；綜上所述：矩形的長為6cm，寬為4cm；或長為cm，寬為cm．例2、△ABC經(jīng)過一定的運(yùn)動得到△A1B1C1，然后以點(diǎn)A1為位似中心按比例尺A1B2：A1B1=2：1，△A1B1C1放大為△A1B2C2，如果△ABC上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），那么這個點(diǎn)在△A1B2C2中的對應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（）A．（a+3，b+2） B．（a+2，b+3） C．（2a+6，2b+4） D．（2a+4，2b+6）【解析】△A1B1C1是由△ABC通過平移得到的，其平移規(guī)律是右移三個單位后，再上移2個單位，所以點(diǎn)P移到P1的坐標(biāo)為（a+3，b+2）．△A1B2C2是由三角線A1B1C1通過位似變換得到的，所以在△A1B2C2上的各點(diǎn)坐標(biāo)，都做了相應(yīng)的位似變換，即乘以了2．∴點(diǎn)P1的對應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（2a+6，2b+4）．故選C．舉一反三 舉一反三1、已知，則的值是（）A． B． C． D．【解析】D．2、如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，在BA的延長線上取一點(diǎn)E，使得ED=EC，ED與AC交于點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D．【解析】過點(diǎn)D作DG∥AC，交EB于點(diǎn)G，連接AD，如圖所示：∵D為BC中點(diǎn)，DG∥AC，∴G為AB的中點(diǎn)，∠EAC=∠DGE，∴DG是△ABC的中位線，∴AC=2DG，∵AB=AC，ED=EC，∴∠B=∠ACB，∠EDC=∠ECD，∵∠EDC=∠B+∠DEG，∠ECD=∠ACB+∠ACE，∴∠ACE=∠EDG，在△ACE和△GED中，，∴△ACE≌△GED（AAS），∴AE=DG，∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴DG=AB=AG=BG，∴AE=AG，∵DG∥AC，∴AF：DG=AE：GE=1：2，即DG=2AF，∴AC=4AF，∴=；故選：B．3、如圖，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點(diǎn)共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解析】設(shè)AP=x，則有PB=AB﹣AP=7﹣x，當(dāng)△PDA∽△CPB時，=，即=，解得：x=1或x=6，當(dāng)△PDA∽△PCB時，=，即=，解得：x=，則這樣的點(diǎn)P共有3個，故選C．4、如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25【解析】B．5、已知，如圖所示的一張三角形紙片ABC，邊AB的長為20cm，AB邊上的高為25cm，在三角形紙片ABC中從下往上依次裁剪去寬為4cm的矩形紙條，若剪得的其中一張紙條是正方形，那么這張正方形紙條是（）A．第4張 B．第5張 C．第6張 D．第7張【解析】正方形中平行于底邊的邊是4，所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可設(shè)從頂點(diǎn)到這個正方形的線段為x，則=，解得x=5，所以另一段長為25﹣5=20，因?yàn)?0÷4=5，所以是第5張．故選：B．6、如圖，直線l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三個頂點(diǎn)A，B，C分別在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于點(diǎn)D，已知l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，則的值為（）A． B． C． D．【解析】如圖，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CFB=90°，∴∠ACE=∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE=BF=3，CF=AE=4，∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7∴AB==5，∵l2∥l3，∴=∴DG=CE=，∴BD=BG﹣DG=7﹣=，∴=．故選A．7、如圖所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC上運(yùn)動（不能到達(dá)點(diǎn)B，C），過點(diǎn)D作∠ADE=45°，DE交AC于點(diǎn)E．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）當(dāng)△ADE是等腰三角形時，求AE的長．【解析】（1）∠B=∠C=45°．∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）討論：①若AD=AE時，∠DAE=90°，此時D點(diǎn)與點(diǎn)B重合，不合題意．②若AD=DE時，△ABD與△DCE的相似比為1，此時△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此時∠DAE=∠ADE=45°，如下圖所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三線合一可知：AE=CE=AC=1．8、如圖，為了測量路燈S的高度，把一根1.5m長的竹竿AB豎立在地面上，測得竹竿的影長BC為1m，然后拿著竹竿沿DB方向遠(yuǎn)離路燈方向走了4米到B′，再把竹竿豎立在地面上（即A′B′），測得竹竿的影長為1.8m，求路燈的高度．【解析】∵AB⊥DC′，DS⊥DC′，∴SD∥AB，∴△ABC∽△SDC，∴=，即=，解得DB=h﹣1①，同理，∵A′B′⊥DC′，∴△A′B′C′∽△SDC′，∴=，=②，把①代入②得，=，解得：h=9．答：路燈離地面的高度是9米．課后鞏固 課后鞏固1、如圖，在平面直角坐標(biāo)中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）【解析】∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，∴=，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴=，∴=，解得：OA=1，∴OB=3，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，2），故選：A．2、如圖，AC∥BD，AD與BC交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BD，交線段AB于點(diǎn)F，則下列各式錯誤的是（）A．= B．= C．+=1 D．=【解析】D．3、為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識，小明要在書房里掛一張視力表．由于書房空間狹小，他想根據(jù)測試距離為5m的大視力表制作一個測試距離為3m的小視力表．如圖，如果大視力表中“E”的高度是3.5cm，那么小視力表中相應(yīng)“E”的高度是（）A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm【解析】D．4、如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足下列條件中的（）A．= B．= C．= D．=【解析】C．5、2015年6月27日，四川共青圖雨城區(qū)委在中里鎮(zhèn)文化館舉辦了第二期青年剪紙培訓(xùn)，參加培訓(xùn)的小王想把一塊Rt△ABC廢紙片剪去一塊矩形BDEF紙片，如圖所示，若∠C=30°，AB=10cm，則該矩形BDEF的面積最大為（）A．4cm3 B．5cm3 C．10cm3 D．25cm3【解析】∵Rt△ABC中，∠C=30°，AB=10cm，∴BC==10cm．∵EF∥BC，∴∠AEF=∠C=30°，設(shè)EF=x，則AF=x，∴BF=10﹣x，∴S矩形BDEF=BD?BF=x?（10﹣x）=﹣x2+10x（0＜x＜10），∴當(dāng)x=﹣=5時，S最大==25cm2．故選D．6、興趣小組的同學(xué)要測量樹的高度．在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為l米的竹竿的影長為0.5米，同時另一名同學(xué)測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖所示，若此時落在地面上的影長為4.4米，則樹高為（）A．9.5米 B．10.75米 C．11.8米 D．9.8米【解析】根據(jù)題意可構(gòu)造相似三角形模型如圖：延長FE交AB于G，則Rt△ABC∽Rt△AGF，∴AG：GF=AB：BC=物高：影長=1：0.5∴GF=0.5AG又∵GF=GE+EF，BD=GE∴GF=4.6∴AG=9.2∴AB=AG+GB=9.5，即樹高為9.5米．故選A．7、如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動，速度為2cm/s；動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點(diǎn)同時運(yùn)動，那么何時△QBP與△ABC相似？【解析】設(shè)經(jīng)過t秒時，以△QBC與△ABC相似，則AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，∵∠PBQ=∠ABC，∴當(dāng)=時，△BPQ∽△BAC，即=，解得t=2（s）；當(dāng)=時，△BPQ∽△BCA，即=，解得t=0.8（s）；即經(jīng)過2秒或0.8秒時，△QBC與△ABC相似．8、如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE=40cm，EF=20cm，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求樹高AB．【解析】在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴=，即=，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，即樹高5.5m．直擊中考 直擊中考1、如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中△ABC相似的是（）A． B． C． D．【