高考一輪復(fù)習(xí)之?dāng)?shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

第三章數(shù)列及數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法函數(shù)定義數(shù)學(xué)歸納法函數(shù)定義通項公式等差(比)中項前n項和公式性質(zhì)數(shù)列的定義數(shù)列及正整數(shù)集合的關(guān)系等差數(shù)列、等比數(shù)列應(yīng)用高考實力要求1、理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義．了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能依據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項．2、理解等差數(shù)列的概念，駕馭等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式，并能解決簡潔的實際問題．3、理解等比數(shù)列的概念，駕馭等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，并能解決簡潔的實際問題．4、理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡潔的數(shù)學(xué)命題．高考熱點分析縱觀近幾年高考試題，對數(shù)列的考查已從最低谷走出，估計以后幾年對數(shù)列的考查的比重仍不會減小，等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的應(yīng)用是必考內(nèi)容，數(shù)列及函數(shù)、三角、解析幾何、組合數(shù)的綜合應(yīng)用問題是命題熱點．從解題思想方法的規(guī)律著眼，主要有：①方程思想的應(yīng)用，利用公式列方程(組)，例如等差、等比數(shù)列中的“知三求二”問題；②函數(shù)思想方法的應(yīng)用、圖像、單調(diào)性、最值等問題；③待定系數(shù)法、分類探討等方法的應(yīng)用．高考復(fù)習(xí)建議數(shù)列部分的復(fù)習(xí)分三個方面：①重視函數(shù)及數(shù)列的聯(lián)系，重視方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用．②駕馭等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)學(xué)問以及可化為等差、等比數(shù)列的簡潔問題，同時要重視等差、等比數(shù)列性質(zhì)的敏捷運用．③要設(shè)計一些新奇題目，尤其是通過探究性題目，挖掘?qū)W生的潛能，培育學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神，數(shù)列綜合實力題涉及的問題背景新奇，解法敏捷，解這類題時，要引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)合理地思維，全面敏捷地運用數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)列部分重點是等差、等比數(shù)列，而二者在內(nèi)容上是完全平行的，因此，復(fù)習(xí)時應(yīng)將它們對比起來復(fù)習(xí)；由于數(shù)列方面的題目的解法的敏捷性和多樣性，建議在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時，要啟發(fā)學(xué)生從多角度思索問題，提倡一題多解，培育學(xué)生思維的廣袤性，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)．3．1數(shù)列的概念學(xué)問要點1．?dāng)?shù)列的概念數(shù)列是按肯定的依次排列的一列數(shù)，在函數(shù)意義下，數(shù)列是定義域為正整數(shù)N*或其子集{1，2，3，……n}的函數(shù)f(n)．?dāng)?shù)列的一般形式為a1，a2，…，an…，簡記為{an}，其中an是數(shù)列{an}的第項．2．?dāng)?shù)列的通項公式一個數(shù)列{an}的及之間的函數(shù)關(guān)系，假如可用一個公式an＝f(n)來表示，我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．3．在數(shù)列{an}中，前n項和Sn及通項an的關(guān)系為：4．求數(shù)列的通項公式的其它方法⑴公式法：等差數(shù)列及等比數(shù)列采納首項及公差(公比)確定的方法．⑵視察歸納法：先視察哪些因素隨項數(shù)n的改變而改變，哪些因素不變；初步歸納出公式，再取n的特珠值進(jìn)行檢驗，最終用數(shù)學(xué)歸納法對歸納出的結(jié)果加以證明．⑶遞推關(guān)系法：先視察數(shù)列相鄰項間的遞推關(guān)系，將它們一般化，得到的數(shù)列普遍的遞推關(guān)系，再通過代數(shù)方法由遞推關(guān)系求出通項公式．例題講練【例1】依據(jù)下面各數(shù)列的前n項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式．⑴－，，－，…；⑵1，2，6，13，23，36，…；⑶1，1，2，2，3，3，…．【例2】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，求通項．⑴Sn＝3n－2⑵Sn＝n2＋3n＋1【例3】依據(jù)下面數(shù)列{an}的首項和遞推關(guān)系，探求其通項公式．⑴a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)⑵a1＝1，an＝(n≥2)⑶a1＝1，an＝(n≥2)【例4】已知函數(shù)＝2x－2－x，數(shù)列{an}滿意＝－2n，求數(shù)列{an}通項公式．小結(jié)歸納1．依據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出它的一個通項公式，關(guān)鍵在于找出這些項及項數(shù)之間的關(guān)系，常用的方法有視察法、通項法，轉(zhuǎn)化為特別數(shù)列法等．2．由Sn求an時，用公式an＝Sn－Sn－1要留意n≥2這個條件，a1應(yīng)由a1＝S1來確定，最終看二者能否統(tǒng)一．3．由遞推公式求通項公式的常見形式有：an＋1－an＝f(n)，＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分別用累加法、累乘法、迭代法（或換元法）．基礎(chǔ)訓(xùn)練題一、選擇題1．某數(shù)列{an}的前四項為0，，0，，則以下各式：①an＝[1＋(－1)n]②an＝③an＝其中可作為{an}的通項公式的是 （）A．① B．①②C．②③ D．①②③2．函數(shù)f(x)滿意f(n＋1)＝（n∈N*）且f(1)＝2，則f(20)＝ （）A．95 B．97 C．105 D．1923．（2005年山東高考）{an}是首項a1＝1，公差d＝3的等差數(shù)列，假如an＝2005，則序號n等于 （）A．667 B．668C．669 D．6704．已知數(shù)列{an}滿意an·an－1＝an－1＋(－1)n(n≥2)，且a1＝1，則＝ （）A． B．C． D．5．已知數(shù)列，3，，…，那么9是它的第幾項 （）A．12 B．13C．14 D．156．依據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)料某種家用商品從年初起先n個月內(nèi)累積的需求量Sn（萬件）近似地滿意Sn＝（21n－n2－5）（n＝1，2，…，12）．按此預(yù)料，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是 （）A．5月，6月 B．6月，7月C．7月，8月 D．8月，9月二、填空題7．已知an＝（n∈N*），則數(shù)列{an}的最大項為第項．8．已知數(shù)列{an}的前n項的和Sn滿意關(guān)系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為．9．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝(n≥1)，且a4＝54，則a1的數(shù)值是．10．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝，則數(shù)列{}的前n項和Tn＝．三、解答題11．（2002·天律）已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿意a1＝0，a2＝3，an+1·an＝(an－1＋2)(an－2＋2)，n＝3，4，5…，求a3．12．(2005年山東高考)已知數(shù)列{an}的首項a1＝5．前n項和為Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）．(1)證明數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)令f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函數(shù)f(x)在點x＝1處導(dǎo)數(shù)f1(1)．13．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求該數(shù)列的通項公式．提高訓(xùn)練題14．已知an＝(n∈N)，試問：數(shù)列{an}有沒有最大項，假如有，求出最大項；假如沒有，說明理由．15．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿意Sn＝2an＋(－1)n，n≥1．(1)寫出數(shù)列{an}的前3項a1，a2，a3；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．3．2等差數(shù)列學(xué)問要點1．等差數(shù)列的定義：－＝d（d為常數(shù)）．2．等差數(shù)列的通項公式：⑴an＝a1＋×d⑵an＝am＋×d3．等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝＝．4．等差中項：假如a、b、c成等差數(shù)列，則b叫做a及c的等差中項，即b＝．5．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列的兩個充要條件是：⑴數(shù)列{an}的通項公式可寫成an＝pn＋q(p,q∈R)⑵數(shù)列{an}的前n項和公式可寫成Sn＝an2＋bn(a,b∈R)6．等差數(shù)列{an}的兩個重要性質(zhì)：⑴m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，則．⑵數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成數(shù)列．例題講練【例1】在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．【例2】已知數(shù)列{an}滿意a1＝2a，an＝2a－（n≥2）．其中a是不為0的常數(shù)，令bn＝．⑴求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．⑵求數(shù)列{an}的通項公式．【例3】已知{an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列{}前n項和。求Tn．【例4】美國某公司給員工加工資有兩個方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年結(jié)束時加300美元．問：⑴從第幾年起先，其次種方案比第一種方案總共加的工資多？⑵假如在該公司干10年，問選擇其次種方案比選擇第一種方案多加工資多少美元？⑶假如其次種方案中每半年加300美元改為每半年加a美元．問a取何值時，總是選擇其次種方案比第一種方案多加工資？小結(jié)歸納1．欲證{an}為等差數(shù)列，最常見的做法是證明：an＋1－an＝d(d是一個及n無關(guān)的常數(shù))．2．a(chǎn)1，d是等差數(shù)列的最關(guān)鍵的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有時運算較繁．3．對等差數(shù)列{an}的最終若干項的求和，可以把數(shù)列各項的依次顛倒，看成公差為－d的等差數(shù)列進(jìn)行求和．4．遇到及等差數(shù)列有關(guān)的實際問題，須弄清是求項的問題還是求和的問題．基礎(chǔ)訓(xùn)練題一、選擇題1．已知數(shù)列{an}滿意：a1＝14，an＋1＝an－（n∈N*），則使an·an＋2<0成立的n的值是 （）A．19 B．20 C．21 D．222．已知等差數(shù)列{an}滿意a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有 （）A．a(chǎn)1＋a101＞0 B．a(chǎn)2＋a100＜0C．a(chǎn)3＋a99＝0 D．a(chǎn)51＝513．已知數(shù)列{an}，an＝－2n＋25，當(dāng)Sn達(dá)到最大值時，n為 （）A．10 B．11 C．12 D．134．(2005年全國)假如a1、a2，…a8為各項都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，則 （）A．a(chǎn)1a8＞a4a5 B．a(chǎn)1a8＜C．a(chǎn)1＋a8＞a4＋a5 D．a(chǎn)1a8＝a45．等差數(shù)列{an}的首項為70，公差為－9，則這個數(shù)列中肯定值最小的一項為 （）A．a(chǎn)8 B．a(chǎn)9C．a(chǎn)10 D．a(chǎn)116．在等差數(shù)列{an}中，S4＝1，S8＝4，則a17＋a18＋a19＋a20的值為 （）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空題7．等差數(shù)列{an}中，a1＝1，公差為d，當(dāng)a1a2＋a2a3取得最小值時，d＝8．(2003年·上海)在等差數(shù)列{an}中，a5＝3，a6＝－2，則a4＋a5＋…＋a10＝．9．已知{}為等差數(shù)列且a2＝－1，a4＝＋1，那么a10＝．10．等差數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，且S6<S7，S7>S8，結(jié)合下列命題：⑴當(dāng)n≤7時，Sn是遞增的，當(dāng)n>7時，Sn是遞減的．⑵S9肯定小于S6．⑶a7>0，a8<0．⑷S13<0．其中正確命題的序號是（把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）．三、解答題11．有兩個等差數(shù)列{an}，{bn}，，求的值．12．已知數(shù)列{an}前n項和Sn＝n2－9n．(1)求證：{an}為等差數(shù)列；(2)求Sn的最小值及相應(yīng)的n；(3)記數(shù)列{}的前n項和為Tn，求Tn表達(dá)式．13．下表給出一個“等差數(shù)陣”．47()()()…a1j…712()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù)．⑴寫出a45的值．⑵寫出aij的計算公式．⑶證明正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N＋1可以寫成兩個不是1的正整數(shù)之積．提高訓(xùn)練題14．已知函數(shù)f(x)＝abx的圖象過點A（4，）和B(5，1)．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)記an＝log2f(n)，n是正整數(shù)，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，解關(guān)于n的不等式anSn≤(3)對于(2)中的an及Sn，整數(shù)96是否為數(shù)列{anSn}中的項？若是則求出相應(yīng)的項數(shù)；若不是，則說明理由．15．設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn．⑴若首項a1＝，公差d＝1，求滿意的正整數(shù)k．⑵求全部的無窮等差數(shù)列{an}，使得對一切正整數(shù)k都有成立．3．3等比數(shù)列學(xué)問要點1．等比數(shù)列的定義：＝q（q為不等于零的常數(shù)）．2．等比數(shù)列的通項公式：⑴an＝a1qn－1⑵an＝amqn－m3．等比數(shù)列的前n項和公式：Sn＝4．等比中項：假如a，b，c成等比數(shù)列，那么b叫做a及c的等比中項，即b2＝（或b＝）．5．等比數(shù)列{an}的幾個重要性質(zhì)：⑴m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，則．⑵Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和且Sn≠0，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成數(shù)列．⑶若等比數(shù)列{an}的前n項和Sn滿意{Sn}是等差數(shù)列，則{an}的公比q＝．例題講練【例1】已知等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求項數(shù)n和公比q的值．【例2】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，它的前n項和為40，前2n項和為3280，且前n項中數(shù)值最大項為27，求數(shù)列的第2n項．【例3】有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)及第四個數(shù)的和是16，其次個數(shù)及第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)．【例4】已知函數(shù)f(x)＝(x－1)2，數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列(q≠1)，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，b1＝f(q－1)，b3＝f(q＋1)，(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{cn}對隨意的自然數(shù)n均有：，求數(shù)列{cn}前n項和Sn．小結(jié)歸納1．在等比數(shù)列的求和公式中，當(dāng)公比q≠1時，適用公式Sn＝，且要留意n表示項數(shù)；當(dāng)q＝1時，適用公式Sn＝na1；若q的范圍未確定時，應(yīng)對q＝1和q≠1探討求和．2．在等比數(shù)列中，若公比q>0且q≠1時，可以用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定數(shù)列的最大項或最小項．3．若有四個數(shù)構(gòu)成的函數(shù)，前三個成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列時，關(guān)鍵是如何奇妙地設(shè)這四個數(shù)，一般是設(shè)為x－d，x，x＋d，再依題意列出方程求x、d即可．4．a(chǎn)1及q是等比數(shù)列{an}中最活躍的兩個基本量．基礎(chǔ)訓(xùn)練題一、選擇題1．在等比數(shù)列{an}中，首項a1<0，則{an}是遞增數(shù)列的充要條件是公比q滿意 （）A．q>1 B．q<1C．0<q<1 D．q<02．若等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n＋a，則a等于（）A．3 B．1C．0 D．－13．已知數(shù)列1，a1，a2，4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，則的值為 （）A． B．－ C．－或 D．4．在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋…an＝2n－1，則等于 （）A．(2n－1)2 B．(2n－1)C．4n－1 D．(4n－1)5．等比數(shù)列{an}中，an>0，a5·a6＝81，則log3a1＋log3a2＋…＋log3A．12 B．16 C．18 D．206．已知數(shù)列{an}滿意a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，則當(dāng)n≥1時，an等于 （）A．2n B．C．2n－1 D．2n－1二、填空題7．設(shè)k≠0，則等比數(shù)列a＋k，a＋k，a＋k的公比是．8．已知等比數(shù)列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，則a11＝．9．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則＝．10．在等比數(shù)列{an}中，a1＝3，q＝4，使Sn＞3000的最小自然數(shù)n＝．三、解答題11．已知等比數(shù)列{an}前n項和Sn＝2n－1，{an2}前n項和為Tn，求Tn的表達(dá)式．12．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項和為Sn，a1＋2a2＝0，S4－S2＝．(1)求an的表達(dá)式；(2)解關(guān)于n的不等式an≥．13．已知：f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn（n∈N*），且f(1)＝n2．⑴求an．⑵求證：0<f()<1．提高訓(xùn)練題14．等比數(shù)列{an}的公比q＞1，其第17項的平方等于第24項，求使a1＋a2＋…＋an＞成立的正整數(shù)n的取值范圍．15．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和Sn＞0(n＝1，2，…)(1)求q的取值范圍；(2)設(shè)bn＝an＋2－，記{bn}的前n項和為Tn，試比較Sn和Tn的大?。?．4等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用學(xué)問要點1．等差數(shù)列的常用性質(zhì)：⑴m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，則有．⑵{an}是等差數(shù)列，則{akn}(k∈N*，k為常數(shù))是數(shù)列．⑶Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成數(shù)列．2．在等差數(shù)列中，求Sn的最大(小)值，關(guān)鍵是找出某一項，使這一項及它前面的項皆取正(負(fù))值或0，而它后面的各項皆取負(fù)(正)值．⑴a1>0，d<0時，解不等式組可解得Sn達(dá)到最值時n的值．⑵a1<0，d>0時，解不等式組可解得Sn達(dá)到最小值時n的值．3．等比數(shù)列的常用性質(zhì)：⑴m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，則有．⑵{an}是等比數(shù)列，則{a}、{}是數(shù)列．⑶若Sn≠0，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成數(shù)列．例題講練【例1】是否存在互不相等的三個實數(shù)a、b、c，使它們同時滿意以下三個條件：①a＋b＋c＝6②a、b、c成等差數(shù)列．③將a、b、c適當(dāng)排列后成等比數(shù)列．【例2】已知公差大于0的等差數(shù)列{}滿意a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式a【例3】已知△ABC中，三內(nèi)角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，邊a、b、c依次成等比數(shù)列．求證：△ABC是等邊三角形．【例4】（2005年北京）數(shù)列{an}的前n項和Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3……求：⑴a2、a3、a4的值及{an}的通項公式；⑵a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值.小結(jié)歸納1．在三個數(shù)成等差（或等比）時，可用等差（或等比）中項公式；在三個以上的數(shù)成等差（或等比）時，可用性質(zhì)：m、n、p、r∈N*，若m＋n＝p＋r，則am＋an＝ap＋ar（或am·an＝ap·ar）進(jìn)行解答．2．若a、b、c成等差（或等比）數(shù)列，則有2b＝a＋c（或b2＝ac）．3．遇到及三角形相關(guān)的問題時，一般要留意運用正弦定理（或余弦定理）及三角形內(nèi)角和等于180°這一性質(zhì)．4．在涉及an及Sn相關(guān)式子中用Sn－1和Sn的關(guān)系表示an時應(yīng)當(dāng)留意“n≥2”基礎(chǔ)訓(xùn)練題一、選擇題1．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1、a3、a4成等比數(shù)列，則a2等于 （）A．－4 B．－6C．－8 D．－102．若等差數(shù)列{an}中，a1>0，a2005＋a2006>0，a2005·a2006<0，則使前n項和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是 （）A．4008 B．4009C．4010 D．40113．在等比數(shù)列中，若a2·a8＝36，a3＋a7＝15，則公比q的值可能個數(shù)為 （）A．1 B．2C．3 D．44．已知數(shù)列{an}滿意a1＝0，an＋1－an＝2n，那么a2007的值為 （）A．2005×2006 B．2006×2007C．2007×2008 D．200725．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S6:S3＝1:2，則S9:S3＝ （）A．1:2 B．2:3C．3:4 D．1:36．已知等比數(shù)列{an}的公比為q<0，前n項和為Sn，則S4a5及S5aA．S4a5＝S5a4 B．S4a5>SC．S4a5<S5a二、填空題7．?dāng)?shù)列{an}按下列條件給出：a1＝2，當(dāng)n為奇數(shù)時，an＋1＝an＋2，當(dāng)n為偶數(shù)時，an＋1＝2an，則a2008＝．8．已知等差數(shù)列{an}中，公差d＞0，則使前n項和Sn取得最小值的自然數(shù)n是．9．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，令bn＝（n∈N*）．則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且cn>0，（n∈N*），令dn＝，則數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列．10．在等差數(shù)列{an}中，已知公差d＝5，前20項的和S20＝400，則(a22＋a42＋…a202)－(a12＋a32＋…a192)＝．三、解答題11．已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1，2…)，a1＝1．⑴設(shè)bn＝an＋1－2an，證明{bn}是等比數(shù)列；⑵設(shè)Cn＝(n＝1，2，…)，求證{Cn}是等差數(shù)列．12．等差數(shù)列{an}中，已知公差d≠0，an≠0，設(shè)方程arx2＋2ar＋1x＋ar＋2＝0（r∈N*）是關(guān)于x的一組方程．⑴證明這些方程必有公共根，并求出這個公共根．⑵設(shè)方程arx2＋2ar＋1x＋ar＋2＝0的另一根記為mr，且m1＝2，證明{}也是等差數(shù)列．13．已知等比數(shù)列{an}共有m項(m≥3)，且各項均為正數(shù)，a1＝1，a1＋a2＋a3＝7．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b1＝a1，bm＝am，推斷數(shù)列{an}前m項和Sm及數(shù)列{bn－}的前m項和Tm的大小，并加以證明．提高訓(xùn)練題14．（2005年福建）已知{an}是公比為q的等比數(shù)列，且a1、a2、a3成等差數(shù)列．（1）求q的值.（2）設(shè){bn}是以2為首項，以q為公差的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，當(dāng)n≥2時，比較Sn及bn的大小，并說明理由．15．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，nan＋1＝Sn＋n(n＋1)，(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝，假如對一切正整數(shù)n都有bn≤t，求t的最小值．3．5數(shù)列求和學(xué)問要點求數(shù)列的前n項和，一般有下列幾種方法：1．等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝＝．2．等比數(shù)列的前n項和公式：①當(dāng)q＝1時，Sn＝．②當(dāng)q≠1時，Sn＝．3．倒序相加法：將一個數(shù)列倒過來排列及原數(shù)列相加．主要用于倒序相加后對應(yīng)項之和有公因子可提的數(shù)列求和．4．錯位相減法：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．5．裂項求和法：把一個數(shù)列分成幾個可干脆求和的數(shù)列．例題講練【例1】已知數(shù)列：1，，，，…，，求它的前n項的和Sn．【例2】求Sn＝1＋＋＋…＋．【例3】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝，bn＝an·2n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【例4】求Sn＝1!＋2·2?。?·3！＋…＋n·n?。〗Y(jié)歸納1．求和的基本思想是“轉(zhuǎn)化”．其一是轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和，或者轉(zhuǎn)化為求自然數(shù)的方冪和，從而可用基本求和公式；其二是消項，把較困難的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為求不多的幾項的和．2．對通項中含有(－1)n的數(shù)列，求前n項和時，應(yīng)留意探討n的奇偶性．3．倒序相加和錯位相減法是課本中分別推導(dǎo)等差、等比數(shù)列前n項和用到的方法，在復(fù)習(xí)中應(yīng)賜予重視．基礎(chǔ)訓(xùn)練題一、選擇題1．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a6＋a10為一個確定的常數(shù)，則下列各數(shù)中也是常數(shù)的是 （）A．S6 B．S11 C．S12 D．S132．在項數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，全部奇數(shù)項和及偶數(shù)項和之比為 （）A． B． C． D．13．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S6：S3＝1:2，則S9：S3等于A．1:2 B．2:3C．3:4 D．1:34．?dāng)?shù)列{an}的通項公式是an＝，若前n項之和為10，則項數(shù)n為 （）A．11 B．99 C．120 D．1215．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝，則前n項和為（）A．1－ B．2－－C．n(1－) D．2－＋……6．將棱長相等的正方體按右下圖所示的形態(tài)擺放，從上往下依次為第1層，第2層，第3層，……A．4011 B．4009C．2011015 D．2009010二、填空題7．－1＋3－5＋7－9＋…＋(－1)n(2n－1)＝．8．等差數(shù)列{an}中，a1＝，前n項和為Sn，且S3＝S12，則a8＝．9．?dāng)?shù)列{an}的通項為an＝2n－7，(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝．10．關(guān)于數(shù)列有下面四個推斷：①若a、b、c、d成等比數(shù)列，則a＋b，b＋c，c＋d也成等比數(shù)列；②若數(shù)列{an}既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列，則{an}為常數(shù)列；③數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝an－1(a∈R)，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列或等比數(shù)列；④數(shù)列{an}為等差數(shù)列時且公差不為零，則數(shù)列{an}中不會有am＝an（m≠n）．其中正確推斷的序號是．（注：把你認(rèn)為正確的序號都填上．）三、解答題11．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝10n－n2(n∈N*)，又bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．12．求和1＋3a＋5a2＋…＋(2n－1)an13．（2005年湖北文科）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2n2，{bn}為等比數(shù)列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.⑴求數(shù)列{an}和{bn}通項公式．⑵設(shè)Cn＝，求數(shù)列{Cn}前n項和Tn．提高訓(xùn)練題14．以數(shù)列{an}的隨意相鄰兩項為坐標(biāo)的點Pn(an、an＋1)均在一次函數(shù)y＝2x＋k的圖象上，數(shù)列{bn}滿意條件：bn＝an＋1－an，且b1≠0．⑴求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．⑵設(shè)數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值．15．已知等差數(shù)列前三項為a，4，3a，前n項和為Sn，Sk⑴求a及k的值．⑵求．3．6*數(shù)學(xué)歸納法學(xué)問要點1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明的步驟是：⑴．⑵．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是證明有關(guān)自然數(shù)n的命題的一種方法，應(yīng)用廣泛．用數(shù)學(xué)歸納法證明一個命題必需分為兩個步驟，第一步驗證命題的起始正確性，是歸納的基礎(chǔ)；其次步推論命題正確性的可傳遞性，是遞推的依據(jù)，兩步缺一不行，證明步驟及格式的規(guī)范是數(shù)學(xué)歸納法的一個特征．3．命題成立的起始值，不肯定是自然數(shù)1．4．由kk＋1必需運用歸納假設(shè)．例題講練【例1】證明：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(2n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)（n∈N*）【例2】用數(shù)學(xué)歸納法證明xn－yn能被x－y整除（n∈N*）．【例3】設(shè)a0為常數(shù)，且an＝3n－1－2an－1（n∈N*），證明：對隨意n≥1，．【例4】平面內(nèi)有n條直線，其中任兩條不平行，任三條不共點，求證：這n條直線把平面分成個區(qū)域．小結(jié)歸納運用數(shù)學(xué)歸納法證明命題，第一步是驗證，一般較簡潔，但不能省略；其次步推證，必需用到歸納假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法．其次步從k到k＋1時，留意項數(shù)的改變．基礎(chǔ)訓(xùn)練題一、選擇題1．設(shè)f(n)＝（n∈N*），則f(n＋1)－f(n)等于 （）A． B．C．＋ D．－2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在驗證n＝1成立時，左邊計算所得結(jié)果為 （）A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a33．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n≥n2時，n應(yīng)取的第一個值為 （）A．1 B．2C．3 D．44．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，由n＝k到n＝k＋1時，不等式左邊應(yīng)添加的項是 （）A． B．＋C．＋－D．＋－－5．設(shè)＝1＋（n∈N*），那么－＝ （）A． B．＋C．· D．＋＋6．設(shè)凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n＋1邊形的對角線的條數(shù)f(n＋1)等于 （）A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n－1C．f(n)＋n D．f(n)＋n－2二、填空題7．求證xn＋yn（n∈N*）被x＋y整除，當(dāng)其次步假設(shè)n＝2k－1命題成立時，進(jìn)而需證明n＝時命題成立．8．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－－，第一步應(yīng)驗證左式是，右式是．9．若f(n)＝1＋（n∈N*），則當(dāng)n＝1時，f(1)＝．10．若數(shù)列{an}滿意：an＋1＝1－，且a1＝2，則a2006＝．三、解答題11．試證Sn＝n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)213．設(shè)an＝1＋（n∈N*），試證明：a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n（an－1），其中n≥2．提高訓(xùn)練題14．已知n≥2，n∈N*，求證：15．（2005年·重慶）數(shù)列{an}滿意a1＝1且an＋1＝(1＋)an＋(n≥1)．(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：an≥2(n≥2)；(2)已知不等式ln(1＋x)＜x對x＞0成立，證明：an＜e2(n≥1)其中無理數(shù)e＝2.71828…．3．7*歸納、猜想、證明學(xué)問要點從視察一些特別的簡潔的問題入手，依據(jù)它們所體現(xiàn)的共同性質(zhì)，運用不完全歸納法作出一般命題的猜想，然后從理論上證明(或否定)這種猜想，這個過程叫做“歸納——猜想——證明”．它是一個完整的思維過程，是人們從事科學(xué)探討，相識發(fā)覺規(guī)律的有效途徑，也是培育創(chuàng)新思維實力的有效方法．這類題型是高考命題的熱點之一．例題講練【例1】設(shè)數(shù)列{an}滿意an＋1＝，n＝1,2,3,……⑴當(dāng)a1＝2時，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個通項公式．⑵當(dāng)a1≥3時，證明對全部的n∈N*，有an≥n＋2．【例2】已知數(shù)列{an}滿意Sn＝2n－an，（n∈N*），求出前四項，猜想出an的表達(dá)式，并證明．【例3】是否存在自然數(shù)m使＝(2n＋7)·3n＋9對隨意自然數(shù)都能被整數(shù)m整除．若存在，求m最大值；若不存在，則說明理由．【例4】數(shù)列{an}中，a1＝－，其前n項和Sn滿意an＝Sn＋＋2，其中n≥2．⑴求出S1、S2、S3、S4．⑵猜想Sn的表達(dá)式，并證明你的猜想．小結(jié)歸納1．“歸納、猜想、證明”的思想方法實質(zhì)上是由特別到一般的相識事物的重要方法，是不完全歸納法及完全歸納法的結(jié)合運用．一般是通過視察、分析等手段，利用不完全歸納法得出一個結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法（或其它方法）給出證明．2．歸納猜想能培育探究問題的實力，所以成為高考的重點，應(yīng)引起足夠的重視．此類問題分為歸納型問題和存在型問題．解歸納型問題，需從特別狀況入手，通過視察、分析、歸納、猜想，探究一般規(guī)律，其關(guān)鍵在于正確的歸納猜想．基礎(chǔ)訓(xùn)練題一、選擇題1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1＋＞（n≥2，n∈N*）”的過程中，由“n＝k”變到“n＝k＋1”時，左邊增加了 （）A．1項B．k項C．2k－1項D．2k項2．視察下列所給式子：1＋，，1＋，…，則可歸納出 （）A．1＋B．1＋C．1＋D．1＋3．已知數(shù)列，，，…，，經(jīng)過計算S1、S2、S3，可由此推想Sn等于 （）A． B．C． D．4．假如命題p(n)對n＝k成立，那么它對n＝k＋2成立，又若p(n)對n＝2成立，則p(n)對全部 （）A．正整數(shù)n成立B．正偶數(shù)n成立C．正奇數(shù)n成立D．大于1的自然數(shù)n成立5．?dāng)?shù)列{an}滿意a1＝，an＋1＝1－，則a30等于（）A． B．－1C．2 D．36．一機器狗每一秒鐘前進(jìn)或后退一步，程序設(shè)計師讓機器狗按前進(jìn)2步，然后再后退1步的規(guī)律移動．若將此機器狗放在數(shù)軸的原點，面對正的方向，以1步的距離為1單位長度，令P(n)表示第n秒時機器狗所在位置的坐標(biāo)，且P(0)＝0，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．P(3)＝1 B．P(5)＝3 C．P(2002)＝667 D．P(2004)<P(2005)二、填空題7．已知f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，則x2，x3，x4的值分別為，猜想xn＝．8．若給出下列式子：1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n個式子為．9．?dāng)?shù)列{an}滿意a1＝1，an＝(n∈N*，n≥2)，猜想{an}的通項公式an＝．10．已知An＝2＋4＋6＋…＋2n，Bn＝1＋2＋4＋…＋2n－1(n∈N*)，試猜想An及Bn的大小關(guān)系是（不要求證明）．三、解答題11．已知數(shù)列{an}前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an，(n∈N*)．⑴試求S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式．⑵證明你的猜想，并求an的表達(dá)式．12．已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝2an＋1．懇求出a2、a3、a4，猜想{an}的通項公式并加以證明．13．是否存在常數(shù)a、b，使得等式：＋＋＋…＋＝對一切正整數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論．提高訓(xùn)練題14．設(shè)數(shù)列{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，對于全部自然數(shù)n，an及2的等差中項等于Sn及2的等比中項.⑴寫出數(shù)列{an}的前3項.⑵求數(shù)列{an}的通項公式并寫出推理過程．15．某地區(qū)原有森林木材存量為a，且每年增長率為25%，因生產(chǎn)建設(shè)的須要，每年年底要砍伐的木材量為b，設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量．⑴求an的表達(dá)式．⑵為愛護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材量應(yīng)不小于，若b＝，則該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎？若會，須要經(jīng)過幾年？（取lg2＝0.30）單元測試一、選擇題1．若數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn＝log3(n＋1)，則a5等于 （）A． B．C． D．2．若f(1)＝3，f(n＋1)＝，（n∈N*），則f(100)等于 （）A．30 B．32C．34 D．363．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－的值為 （）