2-資產(chǎn)定價-B-S期權(quán)定價公式的擴(kuò)展

第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價公式的擴(kuò)展

主要內(nèi)容布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型的缺陷交易本錢波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)隨機(jī)波動率不確定的參數(shù)跳躍擴(kuò)散過程B-S模型的缺陷

交易本錢的假設(shè)波動率為常數(shù)的假設(shè)不確定的參數(shù)資產(chǎn)價格的連續(xù)變動交易本錢的影響規(guī)模效應(yīng)和交易本錢差異化。即使是同一個投資者，在調(diào)整過程中，持有同一個合約的多頭頭寸和空頭頭寸，價值也不同。H-W-W交易本錢模型根本假設(shè)：投資者投資于歐式期權(quán)的組合而不僅僅是單個期權(quán)；整個投資組合的調(diào)整存在交易本錢；投資者的組合調(diào)整策略事先確定；股票價格的隨機(jī)過程以離散的形式給出；保值組合的預(yù)期收益率等于無風(fēng)險銀行存款利率H-W-W模型推導(dǎo)構(gòu)造無風(fēng)險組合之后,整個組合價值的變化相應(yīng)減少：要求交易本錢項,關(guān)鍵要獲得n值，顯然：〔7-1〕H-W-W模型推導(dǎo)〔續(xù)〕由Ito引理：根據(jù)無風(fēng)險假設(shè)，有:將公式7-1、7-2代入7-3，得H-W-W模型：〔7-3〕〔7-2〕〔7-4〕

對H-W-W方程的理解項在實(shí)際中具有深刻的金融含義的存在使得H-W-W方程大局部時候是一個非線性方程期權(quán)多頭和空頭價值的不一致性對于單個期權(quán)多頭，H-W-W方程實(shí)際上是一個以為波動率的BS公式交易本錢的其他模型期權(quán)組合中的值不是同一個符號的情形交易本錢不是前述的簡單結(jié)構(gòu)，而是資產(chǎn)價格和調(diào)整數(shù)量的函數(shù)的情況W-W模型波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)

人們通過研究發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用期權(quán)的市場價格和BS公式推算出來的隱含波動率具有以下兩個方向的變動規(guī)律：“波動率微笑〞〔VolatilitySmiles〕：隱含波動率會隨著期權(quán)執(zhí)行價格不同而不同；波動率期限結(jié)構(gòu)〔VolatilityTermStructure〕：隱含波動率會隨期權(quán)到期時間不同而變化。波動率微笑對于貨幣期權(quán)而言，隱含波動率常常呈現(xiàn)近似U形。平價期權(quán)的波動率最低，而實(shí)值和虛值期權(quán)的波動率會隨著實(shí)值或虛值程度的增大而增大，兩邊比較對稱。股票期權(quán)的波動率微笑那么呈現(xiàn)另一種不同的形狀，即向右下方偏斜。當(dāng)執(zhí)行價格上升的時候，波動率下降，而一個較低的執(zhí)行價格所隱含的波動率那么大大高于執(zhí)行價格較高的期權(quán)。貨幣期權(quán)的波動率微笑與分布股票期權(quán)的波動率微笑與分布波動率期限結(jié)構(gòu)從長期來看，波動率大多表現(xiàn)出均值回歸，即到期日接近時，隱含波動率的變化較劇烈，隨著到期時間的延長，隱含波動率將逐漸向歷史波動率的平均值靠近。波動率微笑的形狀也受到期權(quán)到期時間的影響。大多時候，期權(quán)到期日越近，波動率“微笑〞就越顯著，到期日越長，不同價格的隱含波動率差異越小，接近于常數(shù)波動率矩陣執(zhí)行價格剩余有效期0.900.951.001.051.10一個月14.213.012.013.114.5三個月14.013.012.013.114.2六個月14.113.312.513.414.3一年14.714.013.514.014.8兩年15.014.414.014.515.1五年14.814.614.414.715.0意義和應(yīng)用波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)的存在，證明了BS公式關(guān)于波動率為常數(shù)的根本假設(shè)是不成立的，至少期權(quán)市場不是這樣預(yù)期的。因此放松波動率為常數(shù)的假設(shè)，成為期權(quán)理論開展的一個重要方向。目前主要有兩種不同的策略：從期權(quán)市場出發(fā)的改進(jìn)策略創(chuàng)新策略隨機(jī)波動率模型一般模型股票風(fēng)險中性的隨機(jī)波動率模型〔Hull等〕隨機(jī)波動率對定價的影響當(dāng)波動率是隨機(jī)的，且與股票價格不相關(guān)時，歐式期權(quán)的價格是BS價格在期權(quán)有效期內(nèi)平均方差率分布上的積分值：

在股票價格和波動率相關(guān)的情況下，這個隨機(jī)波動率模型沒有解析解，只能使用數(shù)值方法得到期權(quán)價格

波動率隨機(jī)性質(zhì)的影響，也會因到期時間的不同而不同

GARCH模型GARCH模型可以分為多種，其中最常見的是GARCH(1,1)模型：采用的形式，用最大似然估計法估計三個參數(shù)、和，可以進(jìn)一步得到和的值，并可計算出特定時刻波動率的大小〔7-5〕不同時期的權(quán)重分布

對公式7-5的右邊右邊重復(fù)的迭代過程，可以得到：通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，我們可以將式〔7-6〕寫作由于，可得未來波動率的預(yù)期值為：〔7-6〕不確定的參數(shù)

問題：現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中存在著這樣的問題：當(dāng)參數(shù)價值是不確定的時候，如何為期權(quán)定價？解決方法：假設(shè)我們知道的這些參數(shù)位于某個特定的區(qū)間之內(nèi)，之后考慮最悲觀的情況下我們的期權(quán)至少值多少。用這樣的假設(shè)和思路，我們不會計算出期權(quán)的某一特定價值，而會發(fā)現(xiàn)期權(quán)的價值也將位于某個區(qū)間之內(nèi)

不確定的波動率仍然構(gòu)造無風(fēng)險組合，組合價值：假設(shè)與考慮最糟糕的情況，可以確定期權(quán)的最低值，用公式表示：期權(quán)價值的下限期權(quán)價值下限滿足其中，

且

。

期權(quán)價值的上限期權(quán)價值上限滿足：其中，。不確定的利率考察組合，假設(shè)：，那么：此時，我們選擇的利率將依賴于的符號，相應(yīng)的方程為：其中：，不確定的紅利收益率在連續(xù)支付紅利的情況下，其推導(dǎo)過程很類似，在的假定下，只要解出：其中：

跳躍擴(kuò)散過程所謂的跳躍擴(kuò)散過程是普通的〔路徑連續(xù)的〕擴(kuò)散過程和一個在隨機(jī)時刻發(fā)生跳躍的〔跳躍幅度也是隨機(jī)的〕跳躍過程的結(jié)合，顯然這種變化過程更能反映現(xiàn)實(shí)價格路徑，對應(yīng)的模型那么可以認(rèn)為是考慮資產(chǎn)價格有不連續(xù)的跳躍時對BS公式的推廣資產(chǎn)價格所遵循的跳躍擴(kuò)散過程

使用連續(xù)布朗運(yùn)動來反映連續(xù)擴(kuò)散過程，同時引入泊松過程來描述資產(chǎn)價格的跳躍為泊松過程，定義為：根據(jù)Ito引理，可得：

跳躍擴(kuò)散過程的保值組合和期權(quán)定價仍然考察組合，運(yùn)用Ito引理，包含了跳躍的組合價值變化為如果時刻沒有跳躍發(fā)生，那么，那么我們就會選擇來降低風(fēng)險。如果有跳躍，那么，我們?nèi)匀豢梢赃x擇包含了跳躍的期權(quán)定價公式

Merton于1976年提出了一個重要的思想：如果資產(chǎn)價格變化過程中的跳躍