隨機數(shù)學基礎東南大學曹振華章

概率論講義1.確定性現(xiàn)象.在一定條件下可能發(fā)生這種結果也可能發(fā)生那種結果的，因而無法事先斷言出現(xiàn)那種結果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。

第一章隨機事件及其概率3.概率規(guī)律和統(tǒng)計規(guī)律性。2.隨機現(xiàn)象:§1.1隨機事件

隨機試驗:可在相同的條件下重復進行;(2)重復試驗有多個可能結果,且能事先明確所有可能的結果;(3)一次試驗只出現(xiàn)一個結果，且試驗前

不能確定出現(xiàn)哪個結果。樣本空間隨機試驗中，每一個可能結果稱為該試驗的一個樣本點,記為.全體樣本點組成的集合稱為該試驗的樣本空間，記為。E1:拋一枚硬幣，觀察正(H)反(T)面的情況.

1={H,T}

1=H,2=T

E4:電話交換臺一分鐘內接到的呼喚次數(shù).4={0，1，2，}1=0,

2=1,

3=2E3:擲一顆骰子,觀察點數(shù).則

3={1,2,3,4,5,6}1=1

2=2

6=6E2:將一枚硬幣拋三次,觀察正反面出現(xiàn)的情況.2={HHH,THH，HTH,HHT,HTT,THT,TTH,TTT}E5:從一批電子元件中任取一只測試其壽命.

5={t|t≥0}1.離散樣本空間.2.連續(xù)樣本空間.如E1中,“出現(xiàn)正面”;E3中，“出現(xiàn)偶數(shù)點”;E5中{1000<t<3000}(小時).隨機事件“在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生事情”叫做隨機事件,簡稱事件.隨機事件：樣本空間中樣本點的集合基本事件:由單個樣本點組成如:{H},{T}.必然事件:樣本空間自身復合事件:多個樣本點組成

如:E3中{出現(xiàn)正面次數(shù)為偶數(shù)}.不可能事件：空集事件間的關系與事件的運算1.包含關系和相等關系:AB:

A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生

若A

B且AB,則A=B2.事件的并:3.事件的交：AB:“事件A與B同時發(fā)生”4.事件的差:A-B:“A發(fā)生而B不發(fā)生”5.互不相容(互斥):注：基本事件兩兩互不相容6.互逆事件：7.事件的運算律:交換律:結合律:分配律：解釋:德摩點根公寧式推榜廣：德摩睜根公男式:例1高射蛇炮對夢模型猜飛機天射擊希三次緒，設Ai表示“第i次擊武中飛價機”，用Ai表示肯下列籠事件(1走)此B1“只有凱第一扁次擊涉中飛攔機”（2）B2“恰有錄一次值擊中剃飛機”（3）B3“至少電有一龜次擊暑中飛閥機”（4）B4“至多拐兩次擊壇中飛擊機”解(1繪)§2剩.頻率團與概范率(一)頻率1.定義奪：將客一試羽驗E在相殘同的爹條件嗓下重胸復進行n次,如果籮事件A發(fā)生傅了nA次,則比飲值Fn(A)=nA/n稱為事件A發(fā)生鵝的頻匠率.拋幣電試驗頻率欺的特岔性:波動墊性和穩(wěn)定史性.(1跪)波動看性:對于悉同一槳個試哀驗,不同兔的試忠驗序列其屑頻率江不同;(2鮮)穩(wěn)定慈性:隨著n逐漸目增大,事件A的頻涉率總在某跑一定公值P(爐A)的附傭近擺悅動而信逐漸括穩(wěn)定曉。P(鮮A)通常就稱為游頻率松的穩(wěn)叉定值冷。(二)概賀率頻率訂的穩(wěn)殊定值P(糠A)反映孔了事儲件A在一惱次試驗中焰發(fā)生厘的可殿能性惱大小錫，稱P(陶A)為事蹦件A的概招率。1統(tǒng)計尿定義：2公理夫化定龜義：設為樣帆本空蜂間，A為事程件，對每肯一事吐件A賦予施一實市數(shù)P(磚A)，如果P(異A)滿足如勉下三嘗條公里理：則稱P(廣A)為事坡件A的概歪率。概率新的性疑質:P(杰B)獄=P如(A碰)+符P(鉛B-場A)粉,這個版式子程稱為“加顧奇減聰偶公等式”.例1設A,恢B為兩李個事轉件,且P(價A)晚=0句.5僅,P拉(B承)=秩0.般3,P(夸AB施)=施0.漂2,求下古列各結事件泛的概割率.§3溜.古典搬概型古典鳴概型言的特俊點:(1目)有限救樣本招空間:={1,2,,n}(2籌)等可芽能樣銷本點:獅P(1)=垃P(2)=P(n)計算際公式:由概昌率定暖義及珠等可染能性,可得例１.設一良袋中秧有編碌號為1,嚴2,棚…,碼9的球激共9只,現(xiàn)從慶中任粘取3只,試求:(1復)取到1號球禍的概噴率,（記為慣事件A）(2遺)最小萄號碼腫為5的概頓率.（記犯為事橡件B）解兼：從9個球差中任使取3只球,共有烤種嫩取法.（2）最團小號鏡碼為5,共有川種取銹法.（1）取忙到1號球雙共有煤種紙取法推廣勵：有N件產釀品,其中M件次榴品,從中構任取n件,姐求取到k件次品將的概拼率.M件次慘品中肌取k件,取法沉數(shù)為凝從N-速M件正品中槽取n-膠k件,取法逗數(shù)為,于是解:記Ak:取到k件次品N件中手任取n件,共有旗取法,例2將n只球癢一只泛一只宮隨機鈴地放運入N怕(N雪≥n你)個盒補子中何去,汁試求A:仗1涼-n號盒田子各串有一趨球的貨概率B:每個限盒子求至多裳有寧一只筋球的攀概率墓.(鍵設盒克子的予容量象不限捕)假定父每個瘡人的怖生日然在一邀年36描5天的球任一付天都等可尊能,隨機盆選取n(返<3丈65愧)個人,求A:忘“至少月有兩個涂人生異日相睡同”的概盟率。生日鉗問題例3薯n把看鮮起來努一樣施的鑰泡匙，園只有艘一把韻能開門燙，用廈這些封鑰匙涼試開其門（佳不重挨復）瘡，求犧第第k次開垃門成匪功的勾概率廁。解：A表示郵“第k次試離開成宏功”方法1:考慮n把鑰納匙的賢全排系列，掏第j個位振置對應沸第j次試壓開用輪的鑰省匙。方法2:考慮擇第k個位挨置上愧鑰匙冷出現(xiàn)滑的情料況則總蛛樣本抱點數(shù)削為n!斥,招A包含(n聚-1咬)!個樣躍點。經于是P(追A)譜=1也/n飄.例4衛(wèi)1戴5名新忘生中件有3名是法黨員,將這15名新順生隨機地遵平均春分配邪到三斬個班買級中戚去,問每哪一個競班級襯各分配釘?shù)揭涣h亡員的拴概率探是多店少(記為干事件A)地?解:妥1賽5名新桌生平拘均分查配總刻的分渾法數(shù)蠅為:3名黨奧員的桿分配指數(shù)為3!烏,另12名新塑生的汁分配疤數(shù)為§4灑.條件騙概率設試插驗E的樣葡本空響間為,渴A記,怖B是事種件,要考鋸慮在A已經品發(fā)生藥的條范件下B發(fā)生銷的概賽率,這就常是條果件概嶼率,記為P(流B|暫A)緊.(一)定義:在古思典概段型中:樣本貼空間由n個樣災本點組成,若事艙件A包含nA個樣妨本點暮，AB包含nAB個樣菜本點礦，則定義:設A,脂B是兩序個事察件,且P(胳A)嫩>0域,稱為在A發(fā)生撞的條字件下B發(fā)生電的條件炒概率.性質(條件近概率界是一廣個概巖率)例1根據(jù)全長期明氣象蕉紀錄趙，甲著乙兩蛛城市儉一年葵中雨天愈的比徐例分搖別為20宋%和18制%,同時饑下雨菌的比例物為12唇%。問牲甲乙仙兩城鑄市氣捉候是涉否相帖關？解：東以A,代B分別將表示寬甲乙聚兩城墻市出借現(xiàn)雨崇天。則P(閃A)禽=0冒.2衛(wèi),P擁(B艇)=脆0.賄18鴨,P膊(A封B)古=0晚.1遺2,于是所以盟兩城看市氣中候有耐一定貞的相產關性渠。例2袋中裙有某得產品衣５件巖，其受中一鎖等品防３件二等癥品２絲式件，招不放泉回從燥中連寒續(xù)抽競兩件可，A表示拆第一貢次抽活到一莊等品憲，B表示博第二死次抽到一越等品滋，求P(毛AB世).(二)乘法偷定理:推廣:若P(欣AB用)>熔0,則有P(報AB乏C)匙=P對(A意)P帆(B岸|A鞭)P父(C鎮(zhèn)|A略B)勺.一般,設A1,票A2,愉…,約An是n個事絞件,披(n≥2走),P(A1A2..心.An-憶1)>悄0,則有乘法幣公式:P(不A1A2…An)=躍P(建A1)P咸(A2|A1)…愧P(桶An-精1|A1A2…An-駛2)P宰(An|A1A2…An-溝1).例３透鏡第燈一次錯落下漲打破牢的概個率為0.渠5,若第撫一次落唯下未譯打破,第二持次落催下打遺破的務概率孫為獲0.有7,若前抖兩次倉落下蕉未打饞破,第三圈次落以下打睡破的獸概率亮為0.福9,試求刺透鏡慮落下足三次具而未傅打破裝的概獅率.練習超：設己盒中林有a(a>2紫)個黑魂球，b個白超球，子連續(xù)從盒松中取充球3次，魚每次退取一暗球，乘取后忘不放貿回，浴求1次取壁到黑尸球，犁第2,口3次取紋到白弄球的丘概率容。解：表以Ai表示熔事件“第i次取皺到黑璃球”(i=1犁,2貧,3無),(三)全概濤率公速式和濟貝葉趙斯公龜式:例1.懲某電謝子設稼備廠互所用茶的晶揀體管啦由三組家元速件制造廠提謊供,數(shù)據(jù)莫如下:元件勞制造患廠英次品茶率吳提管供的死份額1忠0.飽02持0.養(yǎng)152歷0.渴01企0.旦803葬0.痕03獵0.豆05從中乞任取躺一只打晶體使管,它是準次品龍的概久率是沫多少昌？全概讓率公漠式:例1(續(xù)).Ａ:產品葉為次碗品,Bi:產品糧由工刺廠i生產元件冒制造院廠幸次品努率聞提液供的楚份額1佩0.兇02皮0.膝152調0.漆01冰0.兔803鉤0.址03胞0.卡05運用餃全概率軌公式貓可得例2某產悟品整誰箱出熟售每株箱20個，銹各箱協(xié)有0，1，2個次么品的君概率草分別摸為0.播8,于0.偷1,蝦0.違1。顧甜客購存買時庫選取一震箱從跡中任呢取4只檢桑查，磨若無再次品痛則買讓下該培箱產品拔，若封有次此品則閉退回端，求頸顧客漸買下器該箱簡產品的概裂率。解：肌以Bj表示檔“選海取的轟一箱蔥產品榆中有j個次辯品”(j=0兵,1暢,2汽),則Bj構成挖樣本游空間紋的一辰個劃橡分.A表示擾“顧責客買飾下該濫箱產紡品”練習:甲箱囑中裝低有3只紅惡球和2只白攏球,乙箱訴中2只紅球遞和2白球,從甲驕箱中征取兩哄只球典放入享乙箱逝中,再從乙芒箱中輸取1球,求A:“從乙剃箱取誰得白紐奉球”讓的概以率.解深設Bi={從甲字箱中演取出i只白旁球}i柔=0尾,1終,2潔.則B0,B1,B2構成嶄樣本制空間街的一講個劃愛分。肺有由全播概率糧公式貝葉滴斯公旁式:例3(續(xù)1)任取一亭只晶計體管,若它壞是次般品,則它濾由1號工耍廠用生產雞的概陳率分專別是井多少?1溪0腰.0抖2辜0.壯152驗0園.0門1憂0.栗803船0害.0凝3償0.東05注:1.P(床Bi)稱為先驗正概率咳。事件B1,B2,…昆,Bn被看鐘作是過引起蟲事件A發(fā)生瘡的n個原執(zhí)因。2.P(案Bi|A)通常鄉(xiāng)豐稱為后驗除概率戴。事件A表示結果顫，P(宣Bi|A)表示A的發(fā)谷生是輛由第i個原因引私起的轟概率。求結懸果：完全概辨公式求原癢因：錯貝葉舊斯公破式例４穗在槐數(shù)字膨通訊脊中，縫發(fā)送靈信號隸０和睛１的移概率分映別為0.淘7和0.謙3;發(fā)送0收到1的概暈率為0.輸2;發(fā)送1收到1的概毅率為0.族9。求摔收到武信號泳為1時發(fā)送信雞號為1的概噸率。解：A—接收瞎信號諸為1練習駕：機器拐良好疑時,生產秘的產到品的濾合格向率為90港%,而當金機器唯有故斷障時,其合精格率子為30胳%,每天條開機鴨時機器騎良好藏的概棒率為75沾%。已史知某體日第洞一件炮產品是合畜格品,問機器學良好艷的概央率是楊多少?解:A表“伯產品辛合格艘”,弟B為“至機器抱良好榴”,=(四0.嚼90率.7叢5)統(tǒng)/(峽0.我9贊0轎.7越5+帆0.更3豪0陰.2日5)=0健.9胞.§1駝.5獨立膛性若P(替B|啟A)蔬=P大(B鋒),由乘犧法公玻式有P(川AB昆)=梅P(僑A)砍P(象B|重A)臨=P予(A甘)P后(B獵).一般確地,竟P(么B|屋A)乖≠P默(B滴).例1設袋蘋中有a只紅悔球和b只白扔球，閘今從犬袋中取膜球兩召次,每次炮各取釘一球,記:許A,庫B分別鴉表示“糾第一詠、二菊次取譜得紅復球”該。2.有放電回時:1.不放借回時:定義1:設A,嫌B是兩眼事件,如果搭滿足飛等式P(勒AB歡)=井P(唉A)屬P(擾B)驢,則稱事件A與事愿件B是相索互獨鴨立的墾事件.注：必介然事菠件和不注可能奧事件與任合何事件A都獨非立定理：如塵果事小件A,朗B相互筆獨立或，且P(巷B)紗>0犬,則P(蔬A|慚B)件=P芽(A蠢)例2甲、煮乙兩舊射手元向同償一目誤標獨挺立射碰擊,甲擊中峽目標問的概粉率為0.靈9，乙乞擊中輩目標曉的概烈率為0.承8，求斧在一融次射捎擊中辯目標眉被擊盜中的暴概率沙。解：A—甲擊伙中目熱標，B—乙擊頌中目隊標，定義2:設A,京B,夏C是三島個事較件,若滿傭足:P(伍AB砌)=農P(故A)烘P(纖B)知,蹈P(防AC商)=動P(靠A)奴P(彼C)菠,P(尺BC雕)=握P(膚B)葵P(蔑C)慮,之P(痰AB惰C)熱=P腰(A礎)P第(B首)P監(jiān)(C俗)則稱A,唱B,要C為相濕互獨貝立的歇事件.定義3：對n個事方件A1,A2,…讓,An,如果葡對所綿有可能的司組合1≤集i<趙j<失k<困…≤哈n成立婦著P(墊AiAj)=P(范Ai)P始(Aj)P(抄AiAjAk)=P(挽Ai)P湊(Aj)P變(Ak)P(垃A1A2…An)=肯P(京A1)P裙(A2)…美P(速An),則稱慰這n個事忙件A1,A2,…正,An相互綢獨立嶼.定義4：設A1,須A2,印…,府An是n個事傲件，厚如果決對任意鈴的1蘭≤i<j≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),則稱這n個事逆件兩兩彼獨立.注：若n個事責件相厚互獨閘立，財必蘊欠含這n個事件兩臺兩相禽互獨孫立.反之表不成專立。例3一均鑒勻正溜四面隔體,其一字、二鋒、三捷面分桑別染成紅岸白黑合三色,第四廚面染園上紅菜白黑慕三色.現(xiàn)以徒分別A,姥B,餡C記投救擲一芹次四肆面體箭出現(xiàn)稿紅白扇黑顏落色的事件,則由桶于四柳面體酒中有蓋兩面愛有紅涂色,因此但是P(華AB桂C)懷=1潔/41/夏8=唐P(于A)泥P(鹽B)窩P(園C)A,貢B,緊C不是抄相互崇獨立謊的.同理P(棍B)稍=P慎(C梅)=份1/調2,容易貼算出P(士AB毒)=則P(襪BC迫)=廁P(謙AC滴)=議1/懼4所以A,語B,查C兩兩慘獨立.P(逐A)喘=1擴/2例4假若遭每個雞人血晃清中改有肝庫炎病警毒的療概率尚為0.鴉4%各,混合10蜓0個人香的血畢清，脈求此眾血清脈中含梯有肝炎匆病毒頂?shù)母艜兟?解：泛以Ai(i糞=1黑,2焦,…航10垮0)記“保第i個人布的血殿清含慕有肝炎冊病毒熔”,Ai相互算獨立沾.所春求概煩率為例5設有4個元快件,每個吃元件寒的可謝靠性掛均為p(元件能親正常辭工作簽的概柄率),按如特下兩裳種方檢式組香成系統(tǒng),試比裹較兩頸個系路統(tǒng)的畢可靠喇性.二:先并況聯(lián)后紛串聯(lián)一:先串饞聯(lián)后喊并聯(lián)練習某高役射炮澆打飛傲機命邁中率呢為0.卸6,為了以99鬼%以上傅的概閘率命姜中目博標，奶應配盤備多膠少門大都炮？3.袋子密中有富編號1-遙10十個取球，奮從中蔬任取竹一個軟若不董是“2”號球耳則放拉回，蛋若是迎則不磚放回壤。然還后從壞袋子默中再任取躬一球哀，則叢取到”1”號球蒜的概沈率是竭多少久？4.甲乙蔽丙三將個班淋級學棟生數(shù)松分別鑒為20，25，30，其壓中女生鬼數(shù)為7，5，9.任選潛一個棵班級訂，從光中抽鈔出一工名學生，蓋若抽禍得一晃名女鬼生則辮她屬挪于甲稈班的縣概率迎是多兄少？練習作修業(yè)習題慘１：3(齊3)路(4饑)，5，7，9，13，21，27市,方32氣,課33血,于4冊3，45教.第二裙章隨機帥變量神及其門分布§2量.1隨機數(shù)變量炎的概慌念例1從一北批產張品中癥任意鐮抽取k件,觀察珍出現(xiàn)嚼的“次腳品數(shù)于”X1,依試罰驗結癥果不同X1的所姓有可即能取值雷為:0委,1看,2世,…取,k.K+1個結開果可虹用(X1=j)表示.例2記錄罩某接遇待站薦一天溜中來熟訪的縣人數(shù)X2,“接待k個人招”可偷用(X2=k)表示.例4擲一藥枚硬廢幣觀礦察正護反面.試驗垮結果島為:1={正面},２={反面}.試驗贊的結亦果可寸以用變量X4表示招．例3測試枕電子紛元件局壽命光的試顧驗中,“元件寶壽命為t小時嶼”可劃以用(X3=t)來表酷示.定義城２.1如果技對于箏樣本清空間餐中每則個樣圈本點，都然有唯霞一的籍一個瓶實數(shù)X()與之熔對應糟，則逮稱X()為隨機亮變量．簡色記X()為X.分類密：(1樣)離散需型，(2議)連續(xù)竟型.§2其.2隨機粉變量浴的分稈布函慢數(shù)定義：X是一默隨機戲變量,對任荷意xR,函數(shù)F(x)=P{X≤x陳}稱為X的分布換函數(shù).P{第x1<X≤x2}=P{X≤x2}午-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1).2.性質:(1訓)F(x)是單陶調不抬減函攏數(shù).(單調昌性)x2>x1,F(x2)-F(x1)0.(2像)來0≤F(x市)≤導1且(規(guī)范版性)(3剪)F(x)至多挺有可鬧列個井間斷脂點,而在處其間加斷點x0處是皮右連病續(xù)的,(右連描續(xù)性)§2純.3離散便型隨爆機變蒼量的徐概率運分布定義遙若續(xù)隨機恢變量料全部盡可能假取值康是有緞限或可列叉無窮據(jù)多,則稱溜為離散榨型隨溝機變時量.或列怪表分布膛律的渴性質塵：例1.設一丟汽車鍬在開欠往目蝦的地貫的道聰路上士過四盞令信號鐘燈,每盞愚信號今燈是鄙紅燈獎的概淺率為p，X表示抄汽車列首次考停下命時已滾通過鬧信號礎燈的盞數(shù),求X的分匪布律甜。解:X0紗1瘋2秒3熊4pk即P{X=k}=旬(1執(zhí)-p)kp,k=0霧,1遣,2代,3.(1隊-p)p(1槽-p)2p(1蹈-p)3p(1張-p)4P{X=4造}=戶(1要-p)4pX的分如布函綢數(shù)例3.已知X的分布鞠律X-1體2麻3pk1/牌4彈1/偉2氏1飄/4求:博(1報)X的分席布函似數(shù)F(專x),(2偷)P{X≤1菌/2缺},P{3衫/2膜<X≤5爹/2龍}.3.幾種塞重要循的離知散型負隨機達變量掌的分申布律：(一)0-1分布X只取0和1兩個路值，叉且P(X=1揮)=p,P(X=0析)=1-p.則稱X服從(0-吉1)分布蕩。(二)二項剖分布n重貝宴努利終試驗戒：將試層驗獨豆立重鉗復n次X表示n重貝貍努利臘試驗很中事請件A發(fā)生封的次歪數(shù)，則稱隨站機變枯量X服從參數(shù)標為n,p的二功項分男布,記為例1.已知伸一大紅批電子雪元件的一強級品字率為0.旗2,隨機抽韻查20只,求其刃中一演級品臥數(shù)X的分律布律.解：抽查20只元搬件可即以看愈作是20重貝絹努利頭試驗降，則結論:吧(1制)當(n+1學)p為整寸時，P(X=k)在k=(n+1臂)p和k=(n+1紐奉)p-1處同稻時達膨到最染大。(2斜)隸(n+1圾)p非整戒時，P(X拴=k)在k=[拼(n+1躁)p]處達估到最底大值辯。使得P(X=k)達到嫁最大愉值的稈數(shù)k稱為最可筐能成晃功的次鹿數(shù)。例2某種樂產品步的次富品率疫為2%寸,隨機訊抽查20款0件，資則次品昂數(shù)不煙多于6件的疏概率污是多戶少？解雷設抽物出的榨次品貴數(shù)為X,則當n較大,p又較牽小時負,二項陣分布摟的計華算比稿較困即難,可以綱用Po聰is檢so輛n分布獵近似稻計算.(三)泊松碼分布(Po踢is識so鏡n)泊松(P牌oi障ss皂on執(zhí))定理貓：泊松蹦定理軋的意生義：當n很大很且p又較戶小時,例2某種才產品陸的次爐品率松為2%牢,隨機偉抽查20叢0件，遣則次品泛數(shù)不街多于6件的末概率錘是多腿少？解燒設抽漿出的笨次品宗數(shù)為X,則由泊姓松定么理可孩得=1御-0腳.1鳥1=攤0.灘89構(查表)例3:設有滋同類狂型設壯備18速0臺獨刪立工隱作,每臺響的故傲障率都睡是0.雜01余,求故聽障設餃備數(shù)貓超過5的概炮率?解:記故桑障臺爆數(shù)為X,則X~B(1穗80壘,0階.0鴉1)議.(四)幾何溜分布貝努暗利試猴驗序閃列中,試驗竿成功貌的概茶率為p,失敗犯的概渴率為q=1置-p樣.將試糊驗進俱行到戒成功榨為止.X表示欲所需畫的試鄭驗次蜜數(shù),則X的分刑布律誕為:P{X=k}=qk-駛1p,k=1漠,緊2,達…稱為X服從顆參數(shù)鈔為p的幾何習分布.(五)超幾斤何分模布N件產遼品中牧有M件次騙品，N-察M件正割品。僅隨機抽取n件產露品，X表示愈抽得同的次姻品數(shù)腔。則X的分布掀律為這個瀉分布阻稱為超幾陶何分糠布(l=mi靠n(M,n))竹.用Ma貧tl侍ab進行乓數(shù)值茫模擬嘆：§2姿.4連續(xù)殊型隨犁機變給量的晨概率稱密度則稱X為連辰續(xù)型站隨機蛇變量治，函蟲數(shù)f(x)為X的概率珍密度沃函數(shù).3相關紐奉結論毫：(4弓)對任清意實即數(shù)x，有P{論X=違x}旺=0漆.例2連續(xù)洽型隨字機變霞量X的分欣布函推數(shù)為求:唉(1渣)限A,草B雪(2尚)概率耍密度f(勝x)井(3潤)X(1升,2士)的概永率.解:勁(1酷)所以趁有B=指-A壞=-佛14.幾個旅常用伸的連銳續(xù)型齊分布(一)均勻甘分布:則稱X在[a,裝b]上服貿從均摘勻分錯布,偏記X~膚U[揚a,拒b].(二)指數(shù)仰分布:定義:如果齊隨機遼變量X的概潔率密斗度為:則稱X服從廈參數(shù)邊為的蜘指數(shù)養(yǎng)分布,記為X~暑e(貞)糟.指數(shù)拴分布閱的無砌記憶旗性:定理懇若X~拳e(),則對腥任意依的正宅數(shù)s,瘦t有P(黨X>茅s+港t|質X>越s)介=P盒(X患>t巨)(三)正態(tài)握分布:性質:如何那計算?轉化爪為標獻準正待態(tài)分滲布進偶行計巡壽算。(2鳳)標準怕正態(tài)運分布:(3伶)轉換搭為標亮準正扛態(tài)分悠布引理蒸對露于標膛準正躲態(tài)分啊布有練習宵設X~千N(微0.傘5,確9搏),求P(然|X打|>班2)例2公共磁汽車寶車門壤的高錦度是葵按男啦子與朋車門追碰頭兵機會在0.江01以下屯設計猴的，饒設男薯子身學高XN暢(1鉆70淡,62)(厘米）寇，問漢車門標高度笨應為棍多少弦？解：壟設車梢門高監(jiān)度為h,按題槽意有P(脆X>鞏h)關<0季.0種1(4穩(wěn))標準胃正態(tài)杏分布粘的上分舊位點:(四)伽瑪趟分布:1.定義:如果剝隨機搬變量X的概犧率密贈度為:(1果,參)是參李數(shù)為的旅指數(shù)豪分布e(遼)(英p+強1)埋=p功(p),御繁(n駐)=桂(n衣-1籃)!§2擋.5隨機舊變量其的函門數(shù)的貞分布已知摘的隨饅機變層量X的分鎖布,求Y=g(牛X)的分漆布一、X為離顏散型童變量例1.設X具有廈以下薪的分臘布律,求Y=植(X肅-1支)2分布綢律:X越-1擺0上1眉2pk0.宣2徹0.動3賽0郵.1搖0即.4X猶-1稻0筍1閑2pk0.甲2方0供.3粥0.燃1胳0都.4Y4101設X的分豆布律外為X賽x1x2…xk…P(鑼X=神xi)給p1p2…pk..鄭.記yi=g(劍xi)(術i=1罪,2友,…碗),yi的值告也是害互不耍相同剝的,則Y的分被布律爺為:P{接Y=yi)=丟P情(X肅=xi)化=pi若yk=g摸(xk1)=棗g(本xk2)=日…=g(玩xkm),則P(膀Y=yk)=攏P(嫩X=青xk1)+泡…+景P(庭X=xkm)離散怠隨機壤變量穗函數(shù)奧的分好布律兔的求狠法:例2設隨趣機變明量XN蒼(彩,2),求Y=aX鑼+b玩(a>0紡)的概率頓密度葡。二、X為連信續(xù)型--釘-分布途函數(shù)筑法于是首求導劫可得2.已知冊一年大中某幅種人愉群死賀亡率憑為0.康00沈05竹,該人養(yǎng)群有10嶺00批0人參堆加人壤壽保些險,每人限保費5元.若未遵來一楚年中無死亡,則得到賠偷償50盲00酒.求:(裝1)未來摔一年星中保復險公聲司至爺少獲爐利10返00唱0元的撒概率巧。(2券)虧本逢的概鉆率。練習涌：1.一個悟盒子呢中放蓋有N個編窮號1~堂N的標襪簽N個,從中又杰放回忍地抽菜取n個，肉求取異出的采最大母號碼X的分丑布率軟。作業(yè)令：9，10，12，16拋,27，29，34，37怎,哭4鬧1，43，48第三撿章多維眾隨機洞變量問及其掛分布n維隨機壓變量定義:若X1()X2(),徒…,Xn()是定義丑在樣捆本空諸間上的n個隨榆機變閃量,租則稱構成澆一個n維隨厘機變拍量,簡記械為X=腸(X1,X2,…棒,Xn)1.二維隨機偵變量(聯(lián)合)分布刻函數(shù):聯(lián)合蛛分布暑函數(shù).§3鬧.1二維射隨機敬變量(1坊)穿F(聚x,膛y)是變動量x或y的單護調不緩減函訂數(shù)，岡即聯(lián)合或分布累函數(shù)職的性蔥質：(3毯)誼F(粉x,岸y)關于x,殲y都是槐右連瓜續(xù)的辣，即2.二維短隨機器變量兵的分作布二維島離散殲型隨另機變強量的焰分布仆律例1一袋應子中鋤有5個球蘿，其憂中2個球神上標坑有數(shù)撈字“1”，3個球甜上標奪有數(shù)鋼字“0”。在宇有放定回和徑無放弄回情況貌下各昂取兩蕉個球宗，X,濟Y分別盼表示錘第一玩、二代次取得的持數(shù)字傭，求(X享,Y里)的聯(lián)公合分父布律。解:惑(X付,Y覺)的可際能取缺值為(0婆,0賄),紅(0占,1尺),附(1雷,0楊),會(1稅,1趨)(1吃)有放偽回取肚球，改對應沈概律貌為P(蓋X=粗0,各Y=命0)微=P欠(X炸=0鵝)P健(Y富=0次|X因=0觸)=諸3/繁53銜/5糟=9催/2潑5(X錢,Y朋)的分野布律秘為例2.設隨夕機變帶量X在1,絡2戴,菠3,敘4四個患整數(shù)堡中等橡可能地取嫌值,隨機夕變量Y則在1~判X中等局可能押地取餡一整數(shù),試求(X駱,姜Y)的分噴布律.二維盾連續(xù)統(tǒng)型隨井機變肯量的舒聯(lián)合崗概率鴨密度二維祥均勻憲分布兄及二郵維正雜態(tài)分禍布1.二維漸均勻嘩分布區(qū)域G的面腥積為A,若(X勇,Y燦)具有賓概率段密度則稱(X興,Y雹)在G上服洗從均亡勻分鼻布.2.二維從正態(tài)握分布(X范,Y搶)具有者概率樂密度§2蛋.邊緣抹分布一、邊緣帖分布盞函數(shù)：二、邊緣露分布妙律：二維徹離散掉型隨醒機變刮量(X桐,Y黎)的分旱量X,貓Y的分熟布律P(森X=括xi),呆P經(Y養(yǎng)=yj)飲(i言=1汗,2浪,…屈)分別肥稱為(X樣,Y恰)關于X,速Y的邊禽緣分坦布律約。設(X墨,Y蟲)的聯(lián)生合分品布律P(株X=xi,Y=yj)=pij(i綠,j=1歉,2浩,…喚)則關漸于X的邊涌緣分懸布律決為例1(續(xù))求關奔于X和Y的邊輪緣分鞠布律。無放套回取駁球有放駝回取撤球兩種喪取球刪方式用下邊待緣分違布均必為pkpk三、邊緣臘概率顫密度:所以坐，關界于X的邊演緣密集度為例1設(X黑,Y扔)在G上服靈從均掘勻分傳布，星求其裂邊緣密份度解：翅因G的面濟積為1/典2，所沾以練習§3帽.條件勸分布一、二維扭離散鞭型變許量的喬情況:例1以X,攀Y分別豆表示諸某醫(yī)心院一懸天中滿出生是的嬰息兒總數(shù)名和男揉嬰數(shù)欣。(X藍,Y采)的聯(lián)紡合分咱布律古為求:伴(1邁)邊緣商分布寺律(2盞)條件捷分布土律例2一射演擊手益進行茄射擊,擊中引目標史的概敏率為p(0爹<p<1撇),射擊市到擊匠中目峰標兩年次為做止,設以X表示首次秘擊中栗目標廁進行挖的射乖擊次站數(shù),以Y表示弓總共拔進行的瞎射擊亮次數(shù),試求X和Y的聯(lián)師合分鑰布律吉和條斯件分布非律.二、二維葬連續(xù)戲型隨頃機變顧量稱此尖極限示為在啊條件Y=補y下X的條殖件分柿布函倡數(shù),練習§4千.相互譯獨立輩的隨獄機變唯量例1總(X攔,Y皆)由聯(lián)貸合分障布證明X與Y獨立爭。定理:如果(X盡,Y均)是二化維離稿散型您隨機指變量,則X,似Y相互抓獨立款的充顧要條半件是:定理(X融,Y風)是二張維連守續(xù)型喇隨機役變量,則X,胖Y相互痰獨立冶的充抖要條賽件是:例披判定憂獨立辛性例借判定籮獨立震性命題：設(X軌,凈Y)服從辨二維博正態(tài)找分布,則X,暴Y相互獨升立的夕充要咬條件鉛是=0扎.定理憑：設(X1,搜X2,搭…,Xm)和(Y1,漫Y2,方…Yn)相互獨文立,則Xi(i=1拆,2哭,薯m獄)和Yj(j=1厲,2列,帳n老)相互沃獨立,若h,鄙g是連忍續(xù)函壩數(shù),則h(X)和g(Y)相互統(tǒng)獨立.§5戀.二維畏隨機處變量支的函醉數(shù)的抬分布問題榮：已淋知Z=宴g(籠X,欠Y)勝,以及(X及,Y澇)的聯(lián)服合分秤布，如何佩求出Z的分襖布？1(X寇,Y爐)為二堡維離紅散型飯隨機沾變量例1設二井維隨遲機變予量(X卡,Y蠟)的分謀布律掌為下災表試求:(妥1)獅Z1=X脹+Y花;(千2)皺Z2=X換Y;融(3聲)Z3=m聾ax尊(X冷,Y爽)的分塵布律劫。解：邪列下把表(1皇)Z1=X刃+Y的分毀布律蜂為(2偏)Z2=X陷Y的分盟布律船為(3永)Z3=ma手x(炒X,淚Y)的分業(yè)布律胞為證Z=勇X+廢Y可能挑的取炒值為0,盞1,惜2,酷…,且2二維爛連續(xù)醋型隨嗎機變訪量的本函數(shù)鈴的分說布Z=g(銳X,書Y）的分布螞函數(shù)嬸為(一)和(Z矛=X業(yè)+Y津)的分淹布:求Z=罷X+再Y的概勞率密沈度.例1.設X和Y相互勤獨立,且都敘服從N(0禾,出1)基,求:Z墓=X株+Y的分稍布密圈度.例2設(X初,Y籃)由聯(lián)圓合概氏率密火度求Z=民X+轉Y的密慶度函突數(shù)fZ(z).(二)商(Z鎮(zhèn)=X男/Y退)的分厲布:(三)M=姿ma紛x(盜X,迅Y)及m=燈mi咽n(冊X,唇Y揉)的分糟布:例4兩個骨部件L1,L2組成脖的串孝、并蠶聯(lián)系隸統(tǒng)分析壤：對其系統(tǒng)1予T=mi委n{疲X,雕Y}對系疼統(tǒng)2掏T=ma大x{憤X,待Y}練習1設(X桿,Y綁)的聯(lián)堪合密強度為(1善)求邊駕緣密洞度fX(x粗),縱fY(y)寒(獸2)求條張件密魯度fX|澆Y(x宗|y)3.將兩售封信連隨機框投入揪編號爽為1，2，3，4的4個郵洋箱，億用X,熊Y分別痕表示1，2號郵緒箱中招的郵件數(shù)沉，求賞（1）(X衫,Y蛛)的聯(lián)饒合分費布律仇。（2）求X關于Y=閃0的條倚件分玻布律榴。(3崇)判定X,免Y的獨丙立性(4駐)求X+挎Y的分償布律黃。4.設X,娛Y同服息從參雷數(shù)為p的幾仁何分究布，謹且X,蕩Y相互跑獨立植，求Z=貌X+辮Y分布文律。作業(yè)么：1,故3,礎6,鮮9,連12肝,鋤1翻8,榜19物,23領,服2什4,醉28第四奶章隨機垮變量飽的數(shù)抓字特封征§1醋.隨機聽變量完的數(shù)魂學期細望下面浙計算瓜一些棉離散邁型分屋布的抵期望猛值。1)飼(0誤-1泉)分布肆設X服從(0祝-1弄)分布葡，分線布律政為P(希X=差1)衫=p辰,P葉(X悲=0盆)=復1-仍p,株0<踩p<筋1X的數(shù)怨學期私望為EX夾=1·p尤+0南·(薯1-護p)倆=p連續(xù)摟型隨豎機變放量的別數(shù)學好期望恐：設f(斑x)為連皆續(xù)型陸隨機由變量X的概嫂率密惑度，對X的取族值區(qū)基間作回一分沿割，守有下面灣計算鞭常用疊連續(xù)道型變日量的臨數(shù)學足期望護：則它恰赴是區(qū)惜間[a既,b掉]的中漫點。因此先柯西厭分布訴的數(shù)串學期泉望不及存在.練習析求伽尸瑪分檢布的爸數(shù)學就期望券。隨機柔變量毯函數(shù)奧的數(shù)笑學期低望公占式:練習X~爐e(λ),求E(紛e-s法X)練習歐：求EY例6設X,糠Y相互萌獨立妨同服秤從N(至0,啦1)容,求Em枝ax核{X哈,Y}均值早的性步質:(1蒸)猛E(c)=c;(2現(xiàn))E(cX)=cE(絡X);(3貨)叉E(碧X+磨Y)歲=E使(X僻)+熱E(軟Y)盟;(4灶)設X,封Y相互念獨立,則E(翅XY輕)=勻E(辭X)夏E(堪Y)抄;(5薦)怎|E錢(X編Y)慎|2≤E苗(X2)E鄰(Y2)(許瓦舅爾茲壯不等蛛式)例1.二項米分布曉的均懼值的土計算:設X~部b(饑n,p),X表示n次獨茄立重虎復試果驗中A發(fā)生的次袋數(shù)，引入Xi(i=1睜,瓜2,鉗…委,體n)扮,例2將n個編氣號為1-哥n的球朗隨機般放入憲編號遇為1-燙n的n個盒峰子，旗若球甩號與狹盒號亭相同則，稱鎖為一法個匹配。X表示膛匹配饑數(shù)，固求EX王.§2琴.方差若X為離袖散型遲隨機剃變量方差叉的計壩算公課式:1.糟X服從(0涉--洪1)分布,則EX都=0軍?(思1-p)+盞1?p=p,故D(千X)憐=閉E(析X2)-粘[E僅(X填)]2=p-p2=p(1純-p).E(卷X2)=市02?(申1-p)+滴12?p=p,下面虹計算陸一些呀常見粒分布研的方薯差2.求伽鈴瑪分閉布的凍方差練習籠：1.求幾質何分貧布g(河p)的方貨差方差里的性番質:1C是常叉數(shù),賺D(C)=曠0;2穿D集(CX)過=C2D(鳥X)產;3X,爸Y相互枕獨立,則有D(失XY)狡=D凳(X伸)+軋D(很Y)居;4壘D(黎X)構=0P{有X=C}=糖1.例1設X~狹B(赤n,初p)參,分解X求其予方差DX寸.切比奸雪夫多不等逗式:練習X~算B(嘗10購0,枕1搞/2批),估計P(頁40鐵<X秘<6標0)§3決.協(xié)方聰差和調相關申系數(shù)展開秧可得:Co孝v(領X,疫Y)倒=E莖[X宮-E搏X]各[Y喜-E桃Y]=E議(X簡Y)虎-E爬(X甲)E餃(Y須).于是D(賄XY烈)=恒D(喝X)堤+D乏(Y柜)吊2歲Co橡v(義X,夸Y)理.例1.求X,溫Y的協(xié)需方差協(xié)方捎差的粱性質:1Co邊v(似X,斷Y)停=Co征v(瘋Y,溝X)潛;2Co離v(柜aX,bY)=ab完Co竊v(憑X,摟Y);3碼Co曉v(戰(zhàn)X1+X2,己Y)駐=C低ov園(X1,Y憶)+斷Co急v(燥X2,埋Y)懂;6件|Co庸v(束X,澆Y)蹄|2≤D洋(X剝)·均D(劣Y)路;5若X,缺Y相互夢獨立騰,劉則Co兄v(使X,皮Y)級=0片.4Co唐v(稠X,縱a)=選0,魂Co互v(鼠X,任X)巴=D蛛X;由性劍質(6弄)羨|Co賺v(襖X,鎖Y)叼|2≤D他(X駕)·矮D(斤Y)可得.例1(續(xù))：求袋相關在系數(shù)公式答：Co證v(敏aX辛+b意Y,尸cX新+d受Y)=ac滴DX夜+(干ad騙+b攀c)援Co無v(按X,韻Y)婆+b粉dD牲Y例3.唇X~即N(求20呀08酬,1需),補Y~阻N(競20澤09存,1煮),且X與Y獨立我，求3X府-Y與X+辟Y的相摘關系法數(shù)?！?雞.矩、艦協(xié)方父差矩菜陣(1議)若E(廊Xk),k=1釘,匪2,辭…存在蛋,朽則稱首為X的k階原火點矩.(2肥)熊若E{調[X旗-E踩(X答)]k},k=1揪,宗2,機…存在,則稱洲它為X的k階中液心矩.(3僑)若E{扁[X季-E氏(X宮)]k?[規(guī)Y-責E(匆Y)通]l},k,懸l=1公,憤2,離…存在變,枝則稱它宣為X和Y的k+鹿l階混燭合中心矩.一、泡矩二維劈燕隨機圖變量(X1,X2)的二青階中別心矩添分別頓記為將它濟們排告成矩趣陣形鍬式稱這煎個矩紙陣為(X1,X2)的協(xié)辱方差鏟矩陣先。二、劫協(xié)方于差矩絕陣協(xié)方儀差陣款的性四質：循對稱屆性、足正定梨性等腔。三.印n維正頸態(tài)分蓋布:2.性質:(1鑄)嘗n維r.桌v.慎(舊X1,拿X2,拳…,Xn)服從n維正呢態(tài)分裳布的充牽要條洋件是X1,扯X2,鍵…,Xn的任這一線煙性組深合l1X1+l2X2+秒…+lnXn服從竟一維役正態(tài)貪分布.“分布猾自由便”定嚼義法(X1,杠X2,究…,Xn)服從n維正片態(tài)分喊布,設Y1,Y2,…度,Yn是Xj(j=1直,避2,陶…纖,燈n)的線柿性函啞數(shù),則(Y1,Y2,紋…Yn)也服齡從多蝴維正炭態(tài)分訊布.正態(tài)朝分布沃線性倘變換絹的不蚊變性(3塘)若(X