一一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)力張量

xzxz一一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力張量二主應(yīng)力與力不變量對(duì)于一般空間問題，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以由九個(gè)應(yīng)力分量表示，如P點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)在直角坐標(biāo)系可表示為ijyzzxzyz如圖示。在固定受力情況下，應(yīng)力分量大小與坐標(biāo)軸方向有關(guān)，但由彈性力學(xué)可知，新舊坐標(biāo)的應(yīng)力分量具有一定變換關(guān)系常們稱這種具有特定變換關(guān)系的一些量為張量。式（）就是應(yīng)力張量，它是二階張量。因?yàn)樗?=，=。已知物體內(nèi)某點(diǎn)的個(gè)力分量，則可求過該點(diǎn)的任意傾斜面上的應(yīng)力。在P點(diǎn)取出一無限小四面體(1-2)它的三個(gè)面分別與個(gè)軸相垂直。另一方面即任意斜面它的法線N，其方向余弦為l,m,n分別以dF、、、代、obc、、三角形面積。xdFdFdF

（1.2在三個(gè)垂直于坐標(biāo)的平面上有應(yīng)力分量，在傾斜面abc上合應(yīng)力它可分解為正應(yīng)力N

N

及切向剪應(yīng)力，NN

NPN

沿坐標(biāo)軸方向分量為

x

N

y

N

，

z

N

，由平衡條件可得xmnNxxzylmNyxyyzlNzy求出

x

N

，

y

N

，

z

N

在法線上的投影之和，即得正應(yīng)力

Nlmn22mnnlNNNz

2x2xy12而剪應(yīng)力則由式=P-NNN在空間應(yīng)力狀態(tài)下一點(diǎn)的應(yīng)力張量有三個(gè)主方向，三個(gè)主應(yīng)力。在垂直主方向的面上，

N

，即主應(yīng)力，等于合應(yīng)力P，主應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的分量為NlNNNNzN

將式入整后得)lmnNyxzxlyNzylnxz

（）此外，法線N的個(gè)方向余弦應(yīng)滿

l22

（1-9）由上面四個(gè)方程可求得及方向余弦l,m,n。如果將l,m,n作未知量，則由式可，Nl,m.n不同時(shí)為零。因此線性方程組式零解的充要條件為系數(shù)行列式等于零。NyNzyxzz

展開行列式得到

N

INN

1-11式中

IyIIyzxyIxzyzzxyzyzyzI

1-12方程有三個(gè)實(shí)根即三個(gè)主應(yīng)力。按三個(gè)主應(yīng)力數(shù)值，分別由式求出個(gè)主方向。當(dāng)坐標(biāo)方向改變時(shí)，應(yīng)力分量均將改變，但主應(yīng)力的數(shù)值是不變的，因此該式的關(guān)系也不變。由于系數(shù)

I,II1

3

與坐標(biāo)無關(guān)，故稱作應(yīng)力張量不變量，通常分別叫作應(yīng)力張量第一不變量，第二不變量，第三不變量。設(shè)三個(gè)正應(yīng)力的平均值為平均應(yīng)力，表示m11)33于是

)xmm)ym

)zm由此，應(yīng)力張量可分解為兩個(gè)分量0mxz00+ijmyz0mzxzyz等式右端第一個(gè)張量稱為應(yīng)力球張量，第二個(gè)張量稱為應(yīng)力偏張量。00=ij0式中

ij

定義為=ij

1當(dāng)（i=j0當(dāng)（令

，-，S，Sxxyyz

，

S

，

Syz

yz

……，則應(yīng)力偏量

S

ij

即為Sijijmijzx

zy

xzyzyzxzy三應(yīng)空如果我們將、為三個(gè)相互垂直的直角坐標(biāo)軸而構(gòu)成一空間直角坐標(biāo)系，則3該空間中任一點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)值就相應(yīng)于物體某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力的數(shù)值，也就是說。該空間中的一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于物體某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)們把這個(gè)空間稱為應(yīng)力空間圖所示點(diǎn)坐標(biāo)

2

3

力態(tài)可寫為三個(gè)矢量

,OP)OP)123的矢量和。四應(yīng)力圓和參數(shù)在傳統(tǒng)塑性理論中為力張量不影響屈服以對(duì)應(yīng)力偏量特別感興趣洛Lode參數(shù)或洛德角是應(yīng)力偏量的特征量。此外，采用洛德參數(shù)或洛德角研究塑性問題十分方便，因而在巖土塑性理論中應(yīng)用極為廣泛。

31123121213112312121設(shè)橫坐標(biāo)為正應(yīng)力

，縱坐標(biāo)為剪應(yīng)力

，設(shè)已知應(yīng)力

，

2

，

3

，令OP1

1

，

OP2

2

，

OP3

3

以

1

23

1

為直徑畫三個(gè)圓，如圖2-8其半徑為

PPP1212333222

2

1

2

3

稱為主剪應(yīng)力半徑最大者為最剪應(yīng)力

max

如把圖2-8（中坐標(biāo)原點(diǎn)

移到新的位置

'

，使

OO

'

123

3

這時(shí)

'11

O'2m

'3

由此所得移軸后應(yīng)力圓即是描述應(yīng)力偏量的應(yīng)力圓圖（b）原點(diǎn)任意平移一個(gè)距離當(dāng)在原有應(yīng)力狀態(tài)下疊加一個(gè)靜水壓力統(tǒng)塑性力學(xué)中，這個(gè)疊加并不影響屈服函數(shù)和塑性變形。因此，對(duì)塑性變形有決定性意義的是應(yīng)力圓本身。若以M表示

13

的中點(diǎn)，則MP1max

11(MP(22若考慮到中間應(yīng)力對(duì)服函數(shù)的影響，可由MP與MP之比確定的對(duì)位置，其比22u值用洛德參數(shù)若主應(yīng)力次序?yàn)?/p>

表示。1

3

，則u

223211

33

或

1u(2

3-1b式中

23。P由變到因此u和的化范圍為13，

由式可，

u

為主應(yīng)力值的函數(shù)，說明是應(yīng)力差的比例關(guān)系，而與應(yīng)力大小無關(guān)。不管坐標(biāo)縱軸原點(diǎn)位置移動(dòng)多少，

不變，可見

u

是描述應(yīng)力偏量的特征值，它與應(yīng)力偏

量不變量

J

2

、

J

3

有關(guān)，而與應(yīng)力球張量無關(guān)。由上可見洛德參數(shù)或洛德角都能表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的特征值為不表示應(yīng)力球張量然它卻能反映受力狀態(tài)的形式主應(yīng)力分量之間的比例關(guān)系因而不同的洛德參數(shù)與洛德角可以反映材料的不同受力狀態(tài)。在彈性力學(xué)和傳統(tǒng)塑性力學(xué)中號(hào)般都是規(guī)定以拉為正在土力學(xué)都一般規(guī)定以壓為正。五應(yīng)路力路徑的基本概念巖土的性質(zhì)與本構(gòu)關(guān)系應(yīng)力或應(yīng)變狀態(tài)的變化過程有關(guān)此要描述一個(gè)單元在它加載過程中的應(yīng)力或應(yīng)變的變化過程。通常稱描述一單元應(yīng)力狀態(tài)變化的路線為應(yīng)力路徑，而稱描述應(yīng)變狀態(tài)變化的路線為應(yīng)變路徑，目前過程上應(yīng)用較多的是應(yīng)力路徑。對(duì)巖土來說，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)完全可由總主應(yīng)力及其方向和孔隙壓力所確定。有效主應(yīng)力可用計(jì)算算出。我們令三個(gè)總主應(yīng)力或有效主應(yīng)力為坐標(biāo)軸應(yīng)力空間或有效應(yīng)力空間2-12所示，圖上'、及為三個(gè)有效主應(yīng)力，將一單元的瞬時(shí)有效應(yīng)狀態(tài)所有的點(diǎn)聯(lián)結(jié)2起來的線，并標(biāo)上箭頭指明發(fā)展的趨向，就可得到有效應(yīng)力路徑，簡(jiǎn)ESP。同樣可在主應(yīng)力空間中給出總應(yīng)力路徑。簡(jiǎn)稱TSP通常我們將總主應(yīng)力軸與有效力軸放在一起這張圖上不僅能表示有效應(yīng)力路徑和總主應(yīng)力路徑，而且還能表示空隙壓力的大小。當(dāng)略去其中間主應(yīng)力和時(shí)則可在二向應(yīng)力平面上繪制有效應(yīng)力路徑和總主應(yīng)力22路徑。如圖示。圖中

'B''

為有效應(yīng)力路徑，若在B'的隙力位值，則B代表瞬時(shí)總應(yīng)力，因?yàn)橛行?yīng)力與總應(yīng)力之間的水平距離與垂直距離均為孔隙壓u值。由目測(cè)可知瞬時(shí)總應(yīng)力與有效力的點(diǎn)必沿坐標(biāo)軸傾斜成

45上由

線段隔開，如圖2-13示。一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，主應(yīng)，應(yīng)變不變?cè)谕饬Φ淖饔孟拢矬w內(nèi)各點(diǎn)的位置要發(fā)生變化，即發(fā)生位移。如果物體各點(diǎn)發(fā)生位移后仍保持各點(diǎn)間初始應(yīng)力狀態(tài)的相對(duì)位置物體實(shí)際上只產(chǎn)生了剛體移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)這位移為剛體位移果體各點(diǎn)生位移后改變了各點(diǎn)間初始應(yīng)力狀態(tài)的相對(duì)位置物就同時(shí)產(chǎn)生了形狀變化，統(tǒng)稱為該物體產(chǎn)生了變形。在外力的作用下，物體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生相對(duì)位置的改變。設(shè)

A

點(diǎn)的坐標(biāo)為（

、

y

、

）,其臨近點(diǎn)的坐標(biāo)為（

、

ydy

、

形

A

點(diǎn)移到

B

移到

'

。

A

點(diǎn)的位移向量分量為

u

、

、

w

，

B

點(diǎn)的位移分量為

'

、

v'

、

w'

。

u

、

、

w

是坐標(biāo)點(diǎn)

、

11ij11ijzxzy

、

的函數(shù)

、

、

很小時(shí)以用泰勒公式展開需要保留一次項(xiàng)

u

、v'

、

w

與

u

、

、

w

關(guān)系如下dz'wdz后面的九個(gè)量構(gòu)成了位移梯度張量

uij

，一般是不對(duì)稱的二階張量i,j

將矩陣

uij

可以分解為兩部分22

02111前一項(xiàng)是一個(gè)對(duì)稱張量，就是在小變形條件下的應(yīng)變張量，應(yīng)變量的矩陣形式是

xzyzzx

xzyzzy

1,1xxyy1i,jji1,1xxyy1i,jjiijj,左式是工程力學(xué)的習(xí)慣寫法，右式適用于使用張量下標(biāo)記號(hào)。用張量下標(biāo)記號(hào)，以

ij

表示應(yīng)變張量，令

u,w1

3

，則

11

11xy12

11()u)22由此

ij

12

(u)i,jj,i應(yīng)變張量的不變量是I1yy12I)2xxyyzzxyyzzx123I3zzxyyzzxyz123

這里

、1

、2

3

是三個(gè)主應(yīng)變。平均正應(yīng)變表示為

1(I'3應(yīng)變率張量應(yīng)變率設(shè)介質(zhì)處于運(yùn)動(dòng)狀