2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)ⅰ)603

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2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）若z＝1+i，則|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．22．（5分）設(shè)集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，則a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．43．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）A．B．C．D．4．（5分）已知A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝（）A．2B．3C．6D．95．（5分）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi，y）（i＝1，2，…，20）得到下面的散點(diǎn)圖：i由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）A．y＝a+bxB．y＝a+bx2C．y＝a+bexD．y＝a+blnx6．（5分）函數(shù)f（x）＝x43﹣2x的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為（）第2頁（共18頁）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+17．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的圖象大致如圖，則f（x）的最小正周期為（）A．B．C．D．8．（5分）（x+A．5）（x+y）5的展開式中x3y3的系數(shù)為（）B．10C．15D．209．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，則sinα＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO，則球O的表面積為（）1A．64π11．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直線l：2x+y+2＝0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)P作⊙M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PM|?|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為（C．2x﹣y+1＝0B．48πC．36πD．32π）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0D．2x+y+1＝012．（5分）若2+logaa＝4+2log4b，則（）b2A．a(chǎn)＞2bB．a(chǎn)＜2bC．a(chǎn)＞b2D．a(chǎn)＜b2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若x，y滿足約束條件則z＝x+7y的最大值為．14．（5分）設(shè)，為單位向量，且|+|＝1，則|﹣|＝．15．（5分）已知F為雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為．第3頁（共18頁）16．（5分）如圖，在三棱錐P﹣ABC的平面展開圖中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB＝．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）設(shè){a}是公比不為1的等比數(shù)列，a為a，a的等差中項(xiàng)．n123（1）求{an}的公比；＝1，求數(shù)列{na}的前n項(xiàng)和．（2）若a1n18．（12分）如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE＝AD．△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，PO＝DO．（1）證明：PA⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣E的余弦值．19．（12分）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰：比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為（1）求甲連勝四場的概率；．（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率．第4頁（共18頁）20．（12分）已知A，B分別為橢圓E：+y2＝1（a＞1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，?＝8．P為直線x＝6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn)．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝e+ax2x﹣x．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4ρcosθ﹣16ρsinθ+3＝0．（1）當(dāng)k＝1時(shí)，C1是什么曲線？（2）當(dāng)k＝4時(shí)，求C1與C的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)．2[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知函數(shù)f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|．（1）畫出y＝f（x）的圖象；（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集．第5頁（共18頁）2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）若z＝1+i，則|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．2【解答】解：若z＝1+i，則z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，則|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，故選：D．2．（5分）設(shè)集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，則a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．42【解答】解：集合A＝{x|x﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤﹣a}，由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得﹣a＝1，則a＝﹣2．故選：B．3．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）A．B．C．D．【解答】解：設(shè)正四棱錐的高為h，底面邊長為a，側(cè)面三角形底邊上的高為h′，則依題意有：，因此有h′2﹣（）2＝ah′?4（）2﹣2（）﹣1＝0?＝（負(fù)值舍去）；第6頁（共18頁）故選：C．4．（5分）已知A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝（）A．2B．3C．6D．9【解答】解：A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，故有：9+＝12?p＝6；故選：C．5．（5分）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度，y）（i＝1，2，…，20）得到下面的散點(diǎn)圖：條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（xii由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）A．y＝a+bxB．y＝a+bx2C．y＝a+bexD．y＝a+blnx【解答】解：由散點(diǎn)圖可知，在10℃至40℃之間，發(fā)芽率y和溫度x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y）在一段對(duì)數(shù)函數(shù)的曲線附近，結(jié)合選項(xiàng)可知，y＝a+blnx可作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型．故選：D．6．（5分）函數(shù)f（x）＝x43﹣2x的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+1【解答】解：由f（x）＝x4﹣2x3，得f′（x）＝4x3﹣6x2，∴f′（1）＝4﹣6＝﹣2，又f（1）＝1﹣2＝﹣1，∴函數(shù)f（x）＝x4﹣2x3的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣（﹣1）＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+1．第7頁（共18頁）故選：B．7．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的圖象大致如圖，則f（x）的最小正周期為（）A．B．C．D．【解答】解：由圖象可得最小正周期小于π﹣（﹣）＝，大于2×（）＝，排除A，D；由圖象可得f（﹣）＝cos（﹣ω+）＝0，即為﹣ω+＝kπ+，k∈Z，（*）若選B，即有ω＝若選C，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k不為整數(shù)，排除B；＝，由﹣×+＝kπ+，可得k＝﹣1，成立．故選：C．8．（5分）（x+A．5）（x+y）5的展開式中x3y3的系數(shù)為（）B．10C．15D．20【解答】解：因?yàn)椋▁+）（x+y）5＝；要求展開式中x3y3的系數(shù)即為求（x2+y2）（x+y）5展開式中x4y3的系數(shù)；展開式含x4y3的項(xiàng)為：x?x?y?x?y＝154x4y3；223+y2故（x+）（x+y）5的展開式中x3y3的系數(shù)為15；故選：C．9．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，則sinα＝（）A．B．C．D．【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos．∵α∈（0，π），∴α∈（，π），即3cos則sinα＝＝．故選：A．第8頁（共18頁）10．（5分）已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO，則球O的表面積為（）1A．64πB．48πC．36πD．32π【解答】解：由題意可知圖形如圖：⊙O1的面積為4π，可得O1A＝2，則AO＝ABsin60°，，1∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半徑為：R＝＝4，球O的表面積：4×π×42＝64π．故選：A．11．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直線l：2x+y+2＝0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)P作⊙M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PM|?|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0【解答】解：化圓M為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，PAM＝|PA|?|AM|＝2|PA|＝．圓心M（1，1），半徑r＝2．∵＝2S△∴要使|PM|?|AB|最小，則需|PM|最小，此時(shí)PM與直線l垂直．直線PM的方程為y﹣1＝（x﹣1），即y＝，聯(lián)立聯(lián)立，解得P（﹣1，0）．則以PM為直徑的圓的方程為，相減可得直線AB的方程為2x+y+1＝0．故選：D．．12．（5分）若2+logaa＝4+2log4b，則（）b2A．a(chǎn)＞2bB．a(chǎn)＜2bC．a(chǎn)＞b2D．a(chǎn)＜b2+loga＝4+2log4b＝22b+log2b；【解答】解：因?yàn)?a因?yàn)?2b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1即2+loga2a＜22b+log22b；2x，由指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；b2+log令f（x）＝2x且f（a）＜f（2b）?a＜2b；故選：B．第9頁（共18頁）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若x，y滿足約束條件則z＝x+7y的最大值為1．，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，由，可得A（1，0）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝x+7y，可得y＝x+過點(diǎn)A時(shí)，在y軸上截距最大，x+，當(dāng)直線y＝此時(shí)z取得最大值：1+7×0＝1．故答案為：1．14．（5分）設(shè)，為單位向量，且|+|＝1，則|﹣|＝．【解答】解：，為單位向量，且|+|＝1，|+|＝1，可得2，1+2+1＝1，所以，則|﹣|＝＝．故答案為：．15．（5分）已知F為雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為2．【解答】解：F為雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)（c，0），A為C的右頂點(diǎn)（a，0），B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸．所以B（c，），若AB的斜率為3，可得：，b2＝c﹣a，代入上式化簡可得c＝3ac2﹣2a，e＝，可得e﹣3e+22＝0，e＞1，222解得e＝2．故答案為：2．第10頁（共18頁）16．（5分）如圖，在三棱錐P﹣ABC的平面展開圖中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB＝﹣【解答】解：由已知得BD＝因?yàn)镈、E、F三點(diǎn)重合，所以AE＝AD＝．AB＝，BC＝2，，BF＝BD＝AB＝，則在△ACE中，由余弦定理可得CE2＝AC2+AE2﹣2AC?AE?cos∠CAE＝1+3﹣2×＝1，所以CE＝CF＝1，則在△BCF中，由余弦定理得cos∠FCB＝故答案為：﹣．＝＝﹣，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）設(shè){a}是公比不為1的等比數(shù)列，a為a，a的等差中項(xiàng)．n123（1）求{an}的公比；＝1，求數(shù)列{na}的前n項(xiàng)和．（2）若a1n【解答】解：（1）設(shè){an}是公比q不為1的等比數(shù)列，a為a，a的等差中項(xiàng)，可得2a＝a+a，123123＝aq+aq2，即為q2+q﹣2＝0，即2a111解得q＝﹣2（1舍去），所以{an}的公比為﹣2；（2）若a1＝1，則a＝（﹣2）nn，1﹣na＝n?（﹣2）n1，﹣n}的前n項(xiàng)和為S＝1?1+2?（﹣2）+3?（﹣2）2+…+n?（﹣2）n1，﹣則數(shù)列{nann﹣2Sn＝1?（﹣2）+2?（﹣2）2+3?（﹣2）3+…+n?（﹣2）n，兩式相減可得3Sn＝1+（﹣2）+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣1﹣n?（﹣2）n＝﹣n?（﹣2）n，化簡可得Sn＝，所以數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為．第11頁（共18頁）18．（12分）如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE＝AD．△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，PO＝（1）證明：PA⊥平面PBC；DO．（2）求二面角B﹣PC﹣E的余弦值．【解答】解：（1）不妨設(shè)圓O的半徑為1，OA＝OB＝OC＝1，AE＝AD＝2，，，，在△PAC中，PA2+PC2＝AC，故2PA⊥PC，同理可得PA⊥PB，又PB∩PC＝P，故PA⊥平面PBC；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有0），，E（0，1，故，設(shè)平面PBC的法向量為，則，可取，同理可求得平面PCE的法向量為，故，即二面角B﹣PC﹣E的余弦值為．第12頁（共18頁）19．（12分）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰：比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為．（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率．【解答】（1）甲連勝四場只能是前四場全勝，P＝（）4＝．（2）根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場比賽，至多需要進(jìn)行五場比賽，比賽四場結(jié)束，共有三種情況，甲連勝四場的概率為，乙連勝四場比賽的概率為，丙上場后連勝三場的概率為，∴需要進(jìn)行五場比賽的概率為：P＝1﹣＝．（3）設(shè)A為甲輸，B為乙輸，C為丙輸，則丙最終獲勝的概率為：P＝P（ABAB）+P（BABA）+P（ABACB）+P（BABCA）+P（ABCAB）+P（ABCBA）+P（BACAB）+P（BACBA）+P（ACABB）+P（ACBAB）+P（BCABA）+P（BCBAA）＝（）4×2+（）5×10＝．第13頁（共18頁）+y2＝1（a＞1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，?＝8．P為直線x＝6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn)．【解答】解：如圖所示：（1）由題意A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），∴＝（a，1），＝（a，﹣1），?＝a2﹣1＝8，解得：a＝3，故橢圓E的方程是+y2＝1；（2）由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），設(shè)P（6，m），則直線PA的方程是y＝（x+3），?（9+m2）x2+6m2x+9m2﹣81＝0，由韋達(dá)定理﹣3xc＝?x＝，聯(lián)立c代入直線PA的方程為y＝（x+3）得：yc＝，即C（，），?（1+m2）x2﹣6m2x+9m2﹣9＝0，直線PB的方程是y＝（x﹣3），聯(lián)立方程由韋達(dá)定理3xD＝?x＝，D代入直線PB的方程為y＝（x﹣3）得y＝D，即D（，），則①當(dāng)xc＝xD即＝時(shí)，有m2＝3，此時(shí)xc＝x＝，即CD為直線x＝，D②當(dāng)x≠xD時(shí)，直線CD的斜率K＝＝，cCD∴直線CD的方程是y﹣＝（x﹣），整理得：y＝（x﹣），直線CD過定點(diǎn)（，0）．綜合①②故直線CD過定點(diǎn)（，0）．第14頁（共18頁）第15頁（共18頁）

21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝e+ax2x﹣x．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝ex+x2﹣x，f′（x）＝ex+2x﹣1，設(shè)g（x）＝f′（x），因?yàn)間′（x）＝ex+2＞0，可得g（x）在R上遞增，即f′（x）在R上遞增，因?yàn)閒′（0）＝0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（﹣∞，0）；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1恒成立，①當(dāng)x＝0時(shí)，不等式恒成立，可得a∈R；②當(dāng)x＞0時(shí)，可得a≥恒成立，設(shè)h（x）＝，則h′（x）＝＝＝＝，可設(shè)m（x）＝ex﹣x﹣x﹣1，可得2m′（x）＝e﹣x﹣1，m″（x）＝e﹣1，xx由x＞0，可得m″（x）＞0恒成立，可得m′（x）在（0，+∞）遞增，所以m′（x）＞m′（0）＝0，即m′（x）＞0恒成立，即m（x）在（0，+∞）遞增，所以m（x）＞m（0）＝0，再令h′（x）＝0，可得x＝2，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，2）遞增；x＞2時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（2，+∞）遞減