數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)

文德教育PAGE15數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)知識框架掌握了數(shù)列的基本知識，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可能在高考中順利地解決數(shù)列問題。一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式（1）觀察法。（2）由遞推公式求通項(xiàng)。對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。(1)遞推式為an+1=an+d及an+1=qan（d，q為常數(shù)）例1、

已知{an}滿足an+1=an+2，而且a1=1。求an。例1、解

∵an+1-an=2為常數(shù)∴{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列∴an=1+2（n-1）即an=2n-1例2、已知滿足，而，求=？（2）遞推式為an+1=an+f（n）例3、已知中，，求.解：由已知可知令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）個等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）說明

只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1個等式累加而求an。(3)遞推式為an+1=pan+q（p，q為常數(shù)）例4、中，，對于n＞1（n∈N）有，求.解法一：由已知遞推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3（an-an-1）因此數(shù)列{an+1-an}是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a1=（3×1+2）-1=4∴an+1-an=4·3n-1∵an+1=3an+2

∴3an+2-an=4·3n-1即an=2·3n-1-1解法二：上法得{an+1-an}是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2，把n-1個等式累加得：∴an=2·3n-1-1(4)遞推式為an+1=pan+qn（p，q為常數(shù)）由上題的解法，得：∴(5)遞推式為思路：設(shè),可以變形為：，想于是{an+1-αan}是公比為β的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。求。(6)遞推式為Sn與an的關(guān)系式關(guān)系；（2）試用n表示an?！唷唷嗌鲜絻蛇呁艘?n+1得2n+1an+1=2nan+2則{2nan}是公差為2的等差數(shù)列?！?nan=2+（n-1）·2=2n數(shù)列求和的常用方法：1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。2、錯項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列（如果等差，等比，那么叫做差比數(shù)列）即把每一項(xiàng)都乘以的公比，向后錯一項(xiàng)，再對應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。適用于數(shù)列和（其中等差）可裂項(xiàng)為：，等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題：1、若等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，則前項(xiàng)和有最大值。（ⅰ）若已知通項(xiàng)，則最大；（ⅱ）若已知，則當(dāng)取最靠近的非零自然數(shù)時(shí)最大；2、若等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，則前項(xiàng)和有最小值（?。┤粢阎?xiàng)，則最?。唬áⅲ┤粢阎?，則當(dāng)取最靠近的非零自然數(shù)時(shí)最小；數(shù)列通項(xiàng)的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。⑵已知（即）求，用作差法：。已知求，用作商法：。⑶已知條件中既有還有，有時(shí)先求，再求；有時(shí)也可直接求。⑷若求用累加法：。⑸已知求，用累乘法：。⑹已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求；形如的遞推數(shù)列都可以除以得到一個等差數(shù)列后，再求。（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。（3）形如的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項(xiàng)。（7）（理科）數(shù)學(xué)歸納法。（8）當(dāng)遇到時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段形式。數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式。（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：①；②；③，；④；⑤；⑥二、解題方法：求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：1、公式法2、3、求差（商）法解：［練習(xí)］4、疊乘法解：5、等差型遞推公式［練習(xí)］6、等比型遞推公式［練習(xí)］7、倒數(shù)法2．?dāng)?shù)列求和問題的方法（1）、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2【例8】求數(shù)列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n項(xiàng)的和。解

本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項(xiàng)中，共有1+2+…+n=個奇數(shù)，∴最后一個奇數(shù)為：1+[n(n+1)-1]×2=n2+n-1因此所求數(shù)列的前n項(xiàng)的和為（2）、分解轉(zhuǎn)化法對通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和?！纠?】求和S=1·（n2-1）+2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）解

S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3）（3）、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，然后求和。例10、求和：例10、解∴Sn=3n·2n-1（4）、錯位相減法如果一個數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯位相減求和．例11、求數(shù)列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n項(xiàng)的和．解

設(shè)Sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1．

①(2)x=0時(shí)，Sn=1．(3)當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，在式①兩邊同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，②①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn．(5)裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。常見裂項(xiàng)方法：例12、求和注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。在掌握常見題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問題時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1．函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決。【例13】

等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＞0，前n項(xiàng)的和為Sn，若Sl=Sk（l≠k）問n為何值時(shí)Sn最大？此函數(shù)以n為自變量的二次函數(shù)。∵a1＞0

Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函數(shù)的圖像開口向下∵f（l）=f（k）2．方程思想【例14】設(shè)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q。分析

本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識及推理能力。解∵依題意可知q≠1?！呷绻鹮=1，則S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此應(yīng)推出a1=0與等比數(shù)列不符?！遯≠1整理得

q3（2q6-q3-1）=0

∵q≠0此題還可以作如下思考：S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），∴由S3+S6=2S9可得2+q