桿件橫截面上的應力分析

第章桿件橫截面上的應力分析目前一頁\總數(shù)六十六頁\編于一點主要內(nèi)容6.1拉（壓）桿橫截面上的應力6.2受扭圓軸橫截面上的應力6.3彎曲梁橫截面上的應力第六章桿件橫截面上的應力分析目前二頁\總數(shù)六十六頁\編于一點第六章桿件橫截面上的應力分析引言問題提出兩桿橫截面上的軸力始終相同，完成了桿件的內(nèi)力分析，還不足以解決桿件的強度問題。解決桿件的強度問題，還須對桿件進行應力分析。兩根拉桿：材料相同，粗細不同，拉力相同并同步增大。細桿先被拉斷。目前三頁\總數(shù)六十六頁\編于一點第六章桿件橫截面上的應力分析桿件橫截面上應力分析的方法分析截面上的應力，首先必須了解應力在截面上的分布規(guī)律。由于應力是不可見的，桿件受力后產(chǎn)生的應變卻是可見的，而應力和應變之間存在著一定的關系。對桿件進行應力分析時，通常須借助相應的變形實驗，根據(jù)實驗中所觀察到的桿件表面的變形現(xiàn)象，據(jù)此建立一些關于變形的假設，并作出由表及里的推測，以獲得應力在截面上的分布規(guī)律，從而推導出相應的應力計算公式。目前四頁\總數(shù)六十六頁\編于一點第六章桿件橫截面上的應力分析6.1

拉（壓）桿橫截面上的應力6.1.1拉（壓）桿橫截面上的應力1.拉（壓）桿橫截面上的應力軸向拉伸實驗實驗現(xiàn)象(1)各橫向線仍保持直線，任意兩相鄰橫向線沿軸線發(fā)生相對平移；(2)橫向線仍然垂直于縱向線，縱向線仍然保持與桿件的軸線平行。

原來的矩形網(wǎng)格仍為矩形。目前五頁\總數(shù)六十六頁\編于一點第六章桿件橫截面上的應力分析假設與推理平面假設:變形前原為平面的橫截面，變形后仍然保持為平面

且仍垂直于桿件的軸線。橫截面上各點處僅有正應力s，

并沿截面均勻分布。設橫截面的面積為A，由靜力學關系：其中：σ

為拉（壓）桿橫截面上的正應力（符號規(guī)定：拉為正、壓為負）；FN為桿件橫截面上的軸力；

A為桿件橫截面面積。拉（壓）桿橫截面上正應力的計算公式（此即為拉(壓)桿橫截面上正應力的計算公式）目前六頁\總數(shù)六十六頁\編于一點（3）用公式計算桿件橫截面上的應力時，其軸力的大小往往僅

取決于物體所受外力合力的大小，而很少考慮外力的分布

方式。事實上，不同的外力作用方式對外力作用點附近區(qū)

域內(nèi)的應力分布有著很大的影響，至于該影響到底有多大，

可由圣維南原理加以說明。（2）對于桿件橫面尺寸沿軸線緩慢變化的變截面直桿：備注:（1）公式也適用于FN為壓力時的應力計算。但要注意對于細

長壓桿受壓時容易被壓彎，屬于穩(wěn)定性問題（這一內(nèi)容

將在后面專門研究），這里所指的是受壓桿未被壓彎的

情況。第六章桿件橫截面上的應力分析目前七頁\總數(shù)六十六頁\編于一點2.圣維南原理

當桿端承受集中載荷或其他非均勻分布的載荷時，桿件并非所有的橫截面都保持平面，從而產(chǎn)生均勻的軸向變形，這種情況下，

公式：并不對桿件所有橫截面都適用。第六章桿件橫截面上的應力分析目前八頁\總數(shù)六十六頁\編于一點圣維南原理:將原力系用靜力等效的新力系來替代，除了對原力系作用附近的應力分布有明顯影響外，在離力系作用區(qū)域略遠處，該影響就非常小。有限元分析的圣維南原理第六章桿件橫截面上的應力分析目前九頁\總數(shù)六十六頁\編于一點6.1.2應力集中

由圣維南原理知，等直桿受軸向拉伸或壓縮時，在離開外力作用處較遠的橫截面上的正應力是均勻分布的。但是，如果桿截面尺寸有突然變化，比如桿上有孔洞、溝槽或者制成階梯時，截面突變處局部區(qū)域的應力將急劇增大，但在離開圓孔或切口稍遠處，應力就迅速降低且趨于均勻。

由于截面急劇變化所引起的應力局部增大現(xiàn)象，稱為應力集中。第六章桿件橫截面上的應力分析目前十頁\總數(shù)六十六頁\編于一點第六章桿件橫截面上的應力分析目前十一頁\總數(shù)六十六頁\編于一點有圓孔或切口或倒角的受拉板條第六章桿件橫截面上的應力分析目前十二頁\總數(shù)六十六頁\編于一點理論應力集中系數(shù)α

應力集中處的最大應力。由解析理論、實驗或數(shù)值方法確定。削弱以后橫截面上的平均應力。不考慮應力集中條件下求得的應力值。實驗結果表明：截面尺寸改變越急劇，孔越小，圓角越小，應力集中的程度就越嚴重。應力集中對脆性材料的影響嚴重，應特別注意。應力集中能促使疲勞裂紋的形成和擴展，因而對構件的疲勞強度影響極大。第六章桿件橫截面上的應力分析目前十三頁\總數(shù)六十六頁\編于一點第六章桿件橫截面上的應力分析【例題6-1】等截面直桿的直徑，受載如圖所示，其中：

，，，。試求桿的最大正應力。解：1.畫軸力圖，確定桿件內(nèi)各截面的軸力。畫出桿件的軸力圖如圖所示。由軸力圖可知，桿件的BC段的軸力最大，且2.求最大正應力。BC段軸力是壓力，故得到的應力是壓應力。目前十四頁\總數(shù)六十六頁\編于一點第六章桿件橫截面上的應力分析【例題6-2】一等截面的柱體，橫截面面積為A，高度為l，材料密度為ρ，如圖所示。試求其由于自重引起的最大正應力。分析：在需要考慮力的內(nèi)效應時，桿件的自重不能作為集中力而須作為分布載荷看待，因此需先求出軸力函數(shù)。解：2.求軸力函數(shù)并畫軸力圖，確定危險截面。1.求重力集度q。在需要考慮力的內(nèi)效應時，桿件的自重不能作為集中力而須作為分布載荷看待（如圖(a)），重力集度（即單位桿長的重量）為：目前十五頁\總數(shù)六十六頁\編于一點第六章桿件橫截面上的應力分析在距離柱頂端任意位置x處，用截面法將柱體沿該處截開，取上半段為研究對象，其受力圖如圖(b)所示。由平衡方程可得軸力函數(shù):畫軸力圖如圖(c)所示。由軸力圖可知，底端截面為危險截面，且3.求最大正應力。（壓應力）目前十六頁\總數(shù)六十六頁\編于一點【例題6-3】

起重吊環(huán)的尺寸如圖所示，若起吊重量

，試求吊環(huán)內(nèi)的最大正應力。第六章桿件橫截面上的應力分析分析：從吊環(huán)的受力情況和截面法可知，軸力沿吊環(huán)軸線是不變的，故最大正應力必然發(fā)生在最小橫截面上。解：2.求吊環(huán)的最小橫截面面積。1.求吊環(huán)的軸力。由截面法易知，吊環(huán)的軸力為：分別計算孔?22處、銷子處和接近凹槽底部處的橫截面面積A1、

A2和A3：目前十七頁\總數(shù)六十六頁\編于一點第六章桿件橫截面上的應力分析故吊環(huán)的最小橫截面面積3.求吊環(huán)內(nèi)的最大正應力。吊環(huán)內(nèi)的最大正應力目前十八頁\總數(shù)六十六頁\編于一點6.2

受扭圓軸橫截面上的應力扭轉實驗實驗現(xiàn)象（1）所有軸向線仍近似為直線，且都傾斜了相同的微小角度γ。（2）所有圓周線保持原有的大小、形狀及其相互之間的距離，

在橫截面內(nèi)繞軸線轉過了一個角度φ，稱為扭轉角。（3）變形前小矩形abcd，變形后錯動成平行四邊形

，

即發(fā)生了剪切變形。第六章桿件橫截面上的應力分析目前十九頁\總數(shù)六十六頁\編于一點假設與推理平面假設：圓軸扭轉變形前為平面的橫截面，變形后仍為大小

相同的平面，其半徑仍保持為直線；且相鄰兩橫截

面之間的距離不變。扭轉圓軸橫截面上無正應力，只存在切應力。受扭圓軸橫截面上切應力的計算公式1.變形幾何關系其中表示扭轉角沿軸線長度方向的變化率。同一截面上為常數(shù)，因此與成正比第六章桿件橫截面上的應力分析目前二十頁\總數(shù)六十六頁\編于一點2.物理關系在剪切比例極限內(nèi)由于發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，所以也應與半徑垂直。第六章桿件橫截面上的應力分析目前二十一頁\總數(shù)六十六頁\編于一點3.靜力關系微剪力t(ρ)dA其對圓心的微力矩

(t(ρ)dA)r橫截面上所有微力矩之和等于扭矩，即第六章桿件橫截面上的應力分析目前二十二頁\總數(shù)六十六頁\編于一點第六章桿件橫截面上的應力分析記——截面極慣性矩——受扭圓軸橫截面上切應力的計算公式其中：T為橫截面上的扭矩Ip為橫截面的極慣性矩r為所求切應力點到圓心的距離公式的適用條件等直圓軸線彈性范圍目前二十三頁\總數(shù)六十六頁\編于一點第六章桿件橫截面上的應力分析受扭圓軸橫截面上的最大切應力對某一橫截面而言，T為常數(shù)，Ip

也是常數(shù)，因此橫截面上的切應力是r

的線性函數(shù)圓心處r=0t=0外表面r=r

maxt=tmax記——抗扭截面系數(shù)目前二十四頁\總數(shù)六十六頁\編于一點第六章桿件橫截面上的應力分析受扭圓軸橫截面上切應力的分布規(guī)律目前二十五頁\總數(shù)六十六頁\編于一點第六章桿件橫截面上的應力分析截面極慣性矩和抗扭截面系數(shù)（1）實心圓軸目前二十六頁\總數(shù)六十六頁\編于一點（2）空心圓軸內(nèi)外徑之比:第六章桿件橫截面上的應力分析目前二十七頁\總數(shù)六十六頁\編于一點（3）薄壁圓筒內(nèi)外徑之比:R0——平均半徑

δ

——壁厚橫截面上的切應力(認為均勻分布):第六章桿件橫截面上的應力分析目前二十八頁\總數(shù)六十六頁\編于一點【例題6-4】一直徑為的實心圓軸，受到扭矩作用。試求在距離軸心

處的切應力，并求軸橫截面上的最大切應力。解：2.求τ(ρ)及τmax1.求截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)第六章桿件橫截面上的應力分析目前二十九頁\總數(shù)六十六頁\編于一點【例題6-5】如將上題中的實心圓軸改為內(nèi)、外徑之比為

的空心圓軸，若兩軸的最大切應力相等，求此時空心圓軸的外徑，并比較實心軸和空心軸的重量。解：1.求空心圓軸的外徑記空心軸的外徑為D1，則由題意有：故空心軸的外徑第六章桿件橫截面上的應力分析目前三十頁\總數(shù)六十六頁\編于一點2.比較實心軸和空心軸的重量由于兩軸長度相等、材料相同，故兩軸重量之比等于橫截面面積之比：可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量只有實心軸的78%，說明空心截面比實心節(jié)省材料。如果將空心截面改為薄壁截面，可以發(fā)現(xiàn)節(jié)省材料的效果更為明顯。但是如果壁太薄，軸可能由于皺褶失穩(wěn)破壞。第六章桿件橫截面上的應力分析目前三十一頁\總數(shù)六十六頁\編于一點6.3彎曲梁橫截面上的應力引言

平面彎曲的概念工程問題中，大多數(shù)梁的橫截面都有一根對稱軸，因而梁有一個包含軸線的縱向對稱面（如圖所示的y軸）。如果作用在梁上的所有外力(偶)都在或可簡化到此縱向對稱面內(nèi)，則變形后的梁軸線也將在這個平面中，且成為一條曲線，這種彎曲稱為平面彎曲。第六章桿件橫截面上的應力分析目前三十二頁\總數(shù)六十六頁\編于一點剪力FS是相切于橫截面的內(nèi)力系的合力；彎矩M是垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力。剪力FS只與橫截面上的切應力t

有關；彎矩M只與橫截面上的正應力s

有關。

彎曲內(nèi)力分量與應力分量的關系第六章桿件橫截面上的應力分析目前三十三頁\總數(shù)六十六頁\編于一點

純彎曲AC、DB段既有剪力又有彎矩，橫截面上同時存在正應力和切應力，這種情況稱為橫力彎曲。CD段只有彎矩，橫截面上就只有正應力而無切應力，這種情況稱為純彎曲。1.純彎曲的概念第六章桿件橫截面上的應力分析目前三十四頁\總數(shù)六十六頁\編于一點2.純彎曲實驗變形前變形后（1）縱向線都彎曲成弧線，凸邊弧線長度增加，而凹邊弧線

長度減小。實驗現(xiàn)象（2）橫向線仍為直線，但相對原

來的位置轉過了一個角度，

且仍與縱向線正交。第六章桿件橫截面上的應力分析目前三十五頁\總數(shù)六十六頁\編于一點

由于彎曲的作用，上部纖維縮短，下部纖維伸長。

中間必有一層保持原長，這一層稱為:中性層。變形后中性層和橫截面的交線（cc），稱為中性軸。第六章桿件橫截面上的應力分析目前三十六頁\總數(shù)六十六頁\編于一點平面假設：變形前為平面的梁的橫截面變形后仍保持為平面，

且仍然垂直于變形后的梁軸線，只是繞橫截面內(nèi)某

一條直線轉過一個角度。假設變形后單向受力假設：梁內(nèi)各縱向纖維僅受到單向拉伸或壓縮，彼此

間互不擠壓、互不牽拉。第六章桿件橫截面上的應力分析目前三十七頁\總數(shù)六十六頁\編于一點6.3.1彎曲梁橫截面上的正應力1.變形幾何關系從純彎曲梁中沿軸線取dx的微段:中性層位于O’O’mm’變形前長度:mm’變形后長度:mm’位置的線應變:表明:距離中性層為y的任一縱向纖維的線應變與y

成正比。第六章桿件橫截面上的應力分析

r

為中性層曲率半徑，

系一待定常數(shù)。目前三十八頁\總數(shù)六十六頁\編于一點2.物理關系

縱向纖維之間無正應力，每一纖維都是單向拉伸或者壓縮，小變形時純彎曲情況下可假設梁的各縱向線之間無擠壓，認為梁內(nèi)各點均處于單向應力狀態(tài)。代入幾何關系得到

梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉、壓彈性模量相同時，有第六章桿件橫截面上的應力分析目前三十九頁\總數(shù)六十六頁\編于一點

這表明：梁的橫截面上的正應力沿垂直于中性軸的方向按線性規(guī)律變化。第六章桿件橫截面上的應力分析目前四十頁\總數(shù)六十六頁\編于一點3.靜力學關系微面積上的微內(nèi)力σ(y)dA

組成一與梁軸線平行的空間平行力系。因橫截面上只有彎矩M，故有:第六章桿件橫截面上的應力分析目前四十一頁\總數(shù)六十六頁\編于一點z軸(中性軸)過截面形心第六章桿件橫截面上的應力分析目前四十二頁\總數(shù)六十六頁\編于一點因為y軸為截面縱向對稱軸（自動滿足）第六章桿件橫截面上的應力分析目前四十三頁\總數(shù)六十六頁\編于一點1/r為梁軸線的曲率EIz為梁的抗彎剛度此即為梁純彎曲時橫截面上正應力的計算公式第六章桿件橫截面上的應力分析目前四十四頁\總數(shù)六十六頁\編于一點

純彎梁橫截面內(nèi)正應力s隨高度y呈線性分布，以中性層為界，一側受拉，另一側受壓。受壓一側正應力為負，受拉一側正應力為正——梁純彎曲時橫截面上正應力的計算公式第六章桿件橫截面上的應力分析目前四十五頁\總數(shù)六十六頁\編于一點梁橫截面上正應力計算公式的適用條件

純彎曲梁橫截面上的正應力計算公式是在平面假設的前提條件下推導出來的。實際工程中，純彎曲是一種較少見的承載形式。當梁發(fā)生橫力彎曲時，由于剪力的存在，梁的橫截面上將產(chǎn)生非均勻分布的切應力，梁的橫截面不再保持為平面。雖然橫力彎曲和純彎曲之間存在這些差異，但進一步分析表明，在細長梁情況下，用純彎曲梁的正應力計算公式計算橫力彎曲時的正應力，并不會引起很大的誤差，其計算結果能夠滿足一般工程問題的精度要求。因此，對細長梁，公式仍然適用。在推導純彎曲梁橫截面上的正應力計算公式的過程中用到了拉（壓）胡克定律，要求梁的變形在（線）彈性范圍。故公式適用條件

平面彎曲

彈性范圍第六章桿件橫截面上的應力分析目前四十六頁\總數(shù)六十六頁\編于一點梁橫截面上的最大正應力梁橫截面上的最大正應力發(fā)生在距離中性軸的最遠處，即記——抗彎截面系數(shù)橫力彎曲時，梁橫截面上的彎矩隨截面位置的不同而變化。確定最大正應力要綜合考慮彎矩值、截面的形狀和尺寸，按下式計算：第六章桿件橫截面上的應力分析目前四十七頁\總數(shù)六十六頁\編于一點梁的抗彎截面系數(shù)實心矩形截面實心圓截面其他形狀的截面及型鋼幾何性質可參見附錄第六章桿件橫截面上的應力分析目前四十八頁\總數(shù)六十六頁\編于一點【例題6-6】

矩形截面梁AB受載及截面尺寸分別如圖(a)、(b)所示。試求梁A端右側截面上a、b、c、d四點處的正應力。解：1.求梁A端右側

截面上的彎矩畫梁的彎矩圖如圖(c)所示?？芍簽榧儚澢?，梁A端右側截面上的彎矩：2.求橫截面的慣性矩Iz

和抗彎截面系數(shù)Wz第六章桿件橫截面上的應力分析目前四十九頁\總數(shù)六十六頁\編于一點3.求各點的正應力（拉應力）（拉應力）點c在中性軸上，故點d和點a關于中性軸對稱，故（壓應力）第六章桿件橫截面上的應力分析目前五十頁\總數(shù)六十六頁\編于一點【例題6-7】圖(a)示大梁由NO.50a工字鋼制成，跨中作用一集中力

。試求梁危險截面上的最大正應力以及翼緣與腹板交界處的正應力。解：1.畫梁的計算簡圖并求支座反力畫梁的計算簡圖如圖(b)所示。支座反力：2.畫梁的彎矩圖，確定危險截面畫梁的彎矩圖如圖(c)所示。故截面C為危險截面，且第六章桿件橫截面上的應力分析目前五十一頁\總數(shù)六十六頁\編于一點3.由附錄Ⅰ查得型鋼相關參數(shù)。查得NO.50a工字鋼的相關參數(shù)為：慣性矩：4.求彎曲正應力危險截面C上的最大正應力危險截面C上翼緣與腹板交界處的正應力抗彎截面系數(shù)：翼緣與腹板交界處到中性軸的距離：第六章桿件橫截面上的應力分析目前五十二頁\總數(shù)六十六頁\編于一點【例題6-8】T形截面梁受載及截面尺寸分別如圖(a)、(b)所示。試求梁的最大拉應力和最大壓應力。已知

，

。解：1.求支座反力畫梁的彎矩圖如圖(c)所示。故截面B和C為可能的危險截面，且該兩截面的彎矩分別為：2.畫彎矩圖，確定危險

截面第六章桿件橫截面上的應力分析目前五十三頁\總數(shù)六十六頁\編于一點

不難分析出最大壓應力一定發(fā)生在截面B的下邊緣，而最大拉應力可能發(fā)生在截面B的上邊緣或截面C的下邊緣。故最大壓應力：3.求梁的最大拉應力和最大壓應力截面B的最大拉應力：故最大拉應力發(fā)生在截面C的下邊緣，且：截面C的最大拉應力：第六章桿件橫截面上的應力分析目前五十四頁\總數(shù)六十六頁\編于一點6.3.1彎曲梁橫截面上的切應力橫力彎曲時，梁的橫截面上既有彎矩又有剪力，因此梁的橫截面上除正應力外，還有切應力。彎曲切應力的分布規(guī)律要比正應力復雜。橫截面形狀不同，彎曲切應力分布情況也隨之不同。對形狀簡單的截面，可以直接就彎曲切應力的分布規(guī)律作出合理的假設，然后利用靜力關系建立起相應的計算公式。但對于形狀復雜的截面，需借助彈性力學理論或實驗比擬方法來進行研究。本節(jié)介紹幾種常見的簡單形狀截面梁彎曲切應力的分布規(guī)律，并直接給出相應的計算公式。第六章桿件橫截面上的應力分析目前五十五頁\總數(shù)六十六頁\編于一點56/681.矩形截面梁儒拉夫斯基假設（1）截面上任意一點的切應力

t的方向和

該截面上的剪力FS的方向平行。（2）切應力沿寬度均勻分布，即t的大小只

與距離中性軸的距離有關，而與截面

寬度無關。56/68第六章桿件橫截面上的應力分析目前五十六頁\總數(shù)六十六頁\編于一點矩形截面梁橫截面上的切應力計算公式根據(jù)上述假設，可得矩形截面梁橫截面上縱坐標為y的任意一點的彎曲切應力的計算公式：其中：Fs為橫截面上的剪力

Sz*為梁橫截面上距中性軸為y的橫線以外

部分的面積（圖中A1*）對中性軸的靜矩

的絕對值b為橫截面寬度Iz為整個橫截面對中性軸z的慣性矩第六章桿件橫截面上的應力分析目前五十七頁\總數(shù)六十六頁\編于一點（1）沿截面高度，彎曲切應力的大

小按圖示的拋物線規(guī)律變化。（2）在上、下邊緣各點處，

彎曲切應力為零。（3）在中性軸上的各點處(y=0)，切

應力最大，且最大切應力為：這表明：其中：A=bh為橫截面面積。即：矩形截面梁的最大切應力為橫截面上名義平均切應力的1.5倍。第六章桿件橫截面上的應力分析目前五十八頁\總數(shù)六十六頁\編于一點2.工字形截面梁工字形截面由翼緣和腹板組成上翼緣下翼緣腹板由于腹板截面是狹長矩形，因此儒拉夫斯基假設仍然適用。即：若要計算腹板上距中性軸y處的切應力，Sz*是圖中黃色部分面積對中性軸的靜矩。易得腹板上彎曲切應力的計算公式為：第六章桿件橫截面上的應力分析目前五十九頁\總數(shù)六十六頁\編于一點備注

在與上、下翼緣交界處(