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冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用03數(shù)本1盧瓊復(fù)習(xí):冪函數(shù)的概念
討論冪函數(shù)的性質(zhì):
函數(shù)y=xα(α是常數(shù))叫做冪函數(shù)冪函數(shù)由于指數(shù)α的不同,它們的定義域也不同,性質(zhì)(有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性)也不同。主要分α>0和α<0兩大類情況去討論它們的定義域、單調(diào)性、奇偶性。定義:
當(dāng)0<<1時(shí),函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的規(guī)律如下過(guò)點(diǎn)(0,0)、(1,1)呈拋物線型,上凸遞增。當(dāng)>1時(shí),函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的規(guī)律如下過(guò)點(diǎn)(0,0)、(1,1)呈拋物線型,下凸遞增。圖象1.gsp圖象2.gsp當(dāng)<0時(shí),函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的規(guī)律如下過(guò)點(diǎn)(1,1)呈雙曲線型,遞減,與兩坐標(biāo)軸的正半軸無(wú)限接近。圖象3.gsp例1.gsp例2:利用冪函數(shù)的性質(zhì),比較下面各組中兩個(gè)值的大小1解:幾何畫板2解:幾何畫板變式練習(xí)1.函數(shù)y=(x2-2x)-1/2的定義域是()A.{x|x≠0或x≠2}B.(-∞,0)(2,+∞)C.(-∞,0)][2,+∞]D.(0,2)答案:B2.函數(shù)y=的定義域是()A.5≥x≥-3B.5>x>-3C.x≥5或x≤-3D.R答案:A3.已知函數(shù)y=(1)求函數(shù)的定義域、值域(2)判斷函數(shù)的奇偶性;(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.答案:(1)定義域?yàn)椋郏?,3],值域?yàn)椋?,2];(2)函數(shù)即不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)
解析:這是復(fù)合函數(shù)問(wèn)題,用換元法令t=15-2x-x2,則y=,(3)∵函數(shù)的定義域?yàn)椋郏?,3],對(duì)稱軸為x=1,∴x∈
[-5,1]時(shí),t隨x的增大而增大;x∈
(1,3)時(shí),t隨x的增大而減?。帧吆瘮?shù)y=在t∈[0,16]時(shí),y隨t的增大而增大,∴函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間為[-5,1],單調(diào)減區(qū)間為(1,3]。(1)由15-2x-x2≥0得函數(shù)的定義域?yàn)椋郏?,3],∴t=16-(x-1)2∈[0,16]∴函數(shù)的值域?yàn)椋?,2].(2)∵函數(shù)的定義域?yàn)椋郏?,3]且關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
2.對(duì)于冪函數(shù)y=xa,我們首先應(yīng)該分析函數(shù)的定義域、值域和奇偶性,由此確定圖象的位置,即所在象限,其次確定曲線的類型,即a<0,0<a<1和a>1三種情況下曲線的基本形狀,還要注意a=0,±1三個(gè)曲線的形狀;對(duì)于冪函數(shù)在第一象限的圖象的大致情況可以用口訣來(lái)記憶:“正拋負(fù)雙,大豎小橫”,即a>0(≠1)時(shí)圖象是拋物線型;a<0時(shí)圖象是雙曲線型;a>1時(shí)圖象是豎直拋物線型;0<a<1時(shí)圖象是橫臥拋物線型.
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