微分方程基本概念

一、引言對自然界的深刻研究－－－－傅里葉微積分研究的對象是函數關系,但在實際問題中,往往很難直接得到所研究的變量之間的函數關系,卻比較容易建立起這些變量與它們的導數或微分之間的聯(lián)系,從而得到一個方程,即微分方程.通過求解這種方程,同樣可以找到指定未知量之間的函數關系.因此,微分方程是數學聯(lián)系實際,并應用于實際的重要途徑和橋梁,是各個學科關于未知函數的導數或微分的是數學最富饒的源泉.一、引言下面的例子說明，實際問題中較容易建立起來的是各個學科進行科學研究的強有力的工具.例：

已知曲線上點P(x,y)處的法線與x

軸交點為Q且線段PQ被y軸平分,求此曲線所滿足的方程。方程往往是它們的導數、自變量或函數之間關系的方程。求此曲線所滿足的方程.已知曲線上點P(x,y)處的法線與x軸交點為Q解:設所求的曲線為y(x),如圖所示,曲線上的

令Y=0,得

Q

點的橫坐標即點P(x,y)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,一、引言系實際,并應用于實際的重要途徑和橋梁,是各個學科進行科學研究的強有力的工具.如果說“數學是一門理性思維的科學,是研究、了解和知曉現實世界的工具”,那么微分方程就是顯示數學的這種威力和價值的一種體現.現實世界中的許多實際問題都可以抽象為微分方程問題.例如,物體的冷卻、琴弦的振動、電磁波的傳播等,都可以歸結為微分方程問題.這時微分方程也稱為所研究問題的數學模型.人口的增長、一、引言都可以歸結為微分方程問題.這時微分方程也稱為所研究問題的數學模型.一、引言微分方程是一門獨立的數學學科,有完整的理論體系.本章我們主要介紹微分方程的一些基本概念,種常用的微分方程的求解方法,線性微分方程解的理論.幾都可以歸結為微分方程問題.這時微分方程也稱為所研究問題的數學模型.微分方程:凡含有未知函數的導數或微分的方程，叫做微分方程.例實質:聯(lián)系自變量,未知函數以及未知函數的某些導數(或微分)之間的關系式.二、基本概念微分方程的階:微分方程中出現的未知函數的最高階導數的階數.常微分方程,偏微分方程.一階微分方程高階微分方程微分方程的概念常微分方程的一般形式是:其中為自變量,是未知函數,在方程中,必須出現,而其余變量可以不出現,微分方程中,其余變量都沒有出現.能從方程中就得到微分方程例如在階如果解出最高階導數,以后我們討論的微分方程主要是形如的微分方微分方程的概念以后我們討論的微分方程主要是形如的微分方微分方程的概念以后我們討論的微分方程主要是形如的微分方程,并且假設式右端的函數在所討論的范圍內連續(xù).如果方程可表示為如下形式:其中和知函數.不能表示成形如的方程,統(tǒng)稱為非線性微分方程.均為自變量的已則稱方程為階線性微分方程.n例1設一物體的溫度為溫度為的環(huán)境中冷卻.根據冷卻定律:溫度的變化率設物體的溫度與時間的函數關系為則可建立起函數滿足的微分方程將其放置在空氣物體與物體和當時空氣溫度之差成正比,其中為比例常數.這就是物體冷卻的數根據題意,還需滿足條件學模型.例2設一質量為的物體只受重力的作用始自由垂直降落.根據牛頓第二定律:等于物體的質量與物體運動的加速度的乘積,即若取物體降落的鉛垂線為軸,由靜止開物體所受的力朝下,物體下落的起點為原點,間是則可建立起函數滿足的微分方程并設開始下落的時的函數關系為物體下落的距離與時間其中為重力加速度常數.這就是學模型.根據題意,自由落體運動的數還需滿足條件其正向例3試指出下列方程是什么方程,并指出微分方程的階數.解(1)是一階線性微分方程,因方程中含有的和都是一次.(2)是一階非線性微分方程,因方程中含有的的平方項.例3試指出下列方程是什么方程,并指出微分方程的階數.解例3試指神出下遷列方譜程是望什么棍方程,并指飛出微絹分方程的階喘數.解(3煉)是二徑階非遲線性握微分勝方程,因方程中含有的的三棕次方.(4勇)是二倉階非柜線性欣微分冬方程,因方盤程中益含有峽非線排性函數和微分授方程衫的解:代入次微分腔方程表能使乘方程豬成為秩恒等納式的函遺數.微分警方程踐的解視的分去類：(1捷)通解:微分裙方程館的解裝中含唇有任推意?？駭?且任意常駛數的悲個數虜與微嗚分方梳程的披階數膊相同.滿足(2償)特解:確定爹了通瞎解中街任意昨常數匹以后仿的解.解的位圖像:微分擠方程霧的積帳分曲系線.通解源的圖虎像:積分根曲線起族.微分船方程孟的解攏的圖哀形是蔽一條曲線,稱為欲微分最方程的積分思曲線.微分福方程陡解的封概念例如,在例1和例2中，蓬可以軌驗證葛函數和都是破微分豎方程的解,其中為任意常數;而函數和都是微分方程的解,其中為任意常數.上述和分別玩為其微鋼分方謀程的濕特解,而和分別為其微分方程的通解.微分精方程諸解的局概念一般術地,微分翅方程臟的不奇含有差任意艇常數藥的解稱為惜微分方鄙程的特解.含有泰相互獨立風的任責意常慨數,且任周意常數的刻個數與微辯分方壟程的世階數睡相等壇的解稱為吉微分放方程的通解(一般腰解).所謂序通解哥的意思滑是指:當其匹中的宅任意常數誘取遍譽所有測實數私時,就可以得到微分方程的所有解(至多如有個疲別例喝外).注:這里瘡所說褲的相笛互獨竄立的涌任意默常數,是指懲它們不能桶通過森合并而使催得通解攏中的騙任意啦常數喬的個續(xù)數減咬少.微分介方程芬解的關概念許多彎實際拘問題都要頸求尋旦找滿巖足某慘些附加申條件濱的解,此時,這類毒附加列條件就可以用來確定通解中的任意常數,這類今附加律條件稱為初始座條件,也稱肅為定解擊條件.一般奧地,一階微分方程的初始條件為其中都是已知常數.二階脫微分泉方程的初始條件為過定約點的爽積分漂曲線;一階:二階:過定冬點且愛在定想點的樸切線洲的斜包率為泉定值腹的積叢分曲鎖線.初值價問題:求微記分方朝程滿凝足初澆始條未件的單特解靈的問異題.帶有渴初始授條件優(yōu)的微央分方夏程稱為淹微分殊方程矛的初值問題.微分乎方程治解的悠概念初值問題的幾何意義是:求微誘分方敵程的通過點的那條積分曲線.二階千微分話方程撐的初值渡問題,其幾誘何意綱義是:求微分方程的通過點且在慚該點處的切線斜率為的那條積分曲線.例4求曲線族滿足的微分方程,其中為任植意常滾數.解求曲顏線族阿所滿綱足的成方程,就是肚求一偶微分中方程,所給蠢的曲擦線族正好捧是該桃微分械方程娃的積硬分曲少線族.此所弟求的籃微分馬方程漲的階紹數應延與常數銀的個暖數相硬等.這里,法來得胡到所拐求的附微分堅方程.已知抓曲線留族中鞭的任類意我們貸通過莫消去活任意布常數洗的方對求導,得再從解出代入處上式來得使因在等式兩端化簡掏即得把到所灣求的批微分帖方程例5驗證函數是方綱程的通解,滿足初始條件的特解.并求解要驗增證一晌個函感數是國否是奮方程環(huán)的通屆解,函數有代入架方程,看是檢否恒夾等,獨立載的任械意常察數的個胃數是束否與槐方程咸的階測數相眼同.只要貞將再看包函數技式中董所含糞的將求一鋼階導躺數,得把和代入方程左邊得例5驗證函數是方鍋程的通解,滿足初始條件的特解.并求解把和代入方程左邊得例5驗證函數是方關程的通解,滿足初始條件的特解.并求解把和代入方程左邊得因方耳程兩疤邊恒田等,且中含有一個任意常數,故是題哨設方桿程的星通解.例5驗證函數