線性規(guī)劃問題的基本理論

第二章第2節(jié)

線性規(guī)劃問題的基本理論一、線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)化二、線性規(guī)劃問題的解三、線性規(guī)劃問題的幾何意義一、線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)化一般形式目標(biāo)函數(shù)：Max（Min）z=c1x1+c2x2+…+cnxn

約束條件：a11x1+a12x2+…+a1nxn

≤（=,≥）b1a21x1+a22x2+…+a2nxn

≤（=,≥）b2…………

am1x1+am2x2+…+amnxn

≤（=,≥）bm

決策變量：x1，x2，…，xn≥(≤)0標(biāo)準(zhǔn)形式目標(biāo)函數(shù)：Maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn

約束條件：a11x1+a12x2+…+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn

=b2…………

am1x1+am2x2+…+amnxn

=bm

決策變量：bi≥0x1，x2，…，xn≥0一般型和標(biāo)準(zhǔn)型的區(qū)別可以看出，線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式有如下四個(gè)特點(diǎn)：目標(biāo)最大化；約束為等式；決策變量均非負(fù)；右端項(xiàng)非負(fù)。對(duì)于各種非標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問題，我們總可以通過以下變換，將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式:1、極小化目標(biāo)函數(shù)的問題：設(shè)目標(biāo)函數(shù)為

Minf=c1x1

+c2x2

+…+cnxn

(可以)令z

＝-f

，則該極小化問題與下面的極大化問題有相同的最優(yōu)解，即Maxz=-c1x1

-c2x2-…-cnxn

但必須注意，盡管以上兩個(gè)問題的最優(yōu)解相同，但它們最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值卻相差一個(gè)符號(hào)，即

Minf

＝-Maxz2、約束條件不是等式的問題：設(shè)約束條件為

ai1x1+ai2x2+…+ainxn

≤bi

可以引進(jìn)一個(gè)新的變量s

，使它等于約束右邊與左邊之差（一般稱S為松弛變量）

s=bi–(ai1x1

+ai2x2

+…+ainxn

)顯然，s

也具有非負(fù)約束，即s≥0，這時(shí)新的約束條件成為

ai1x1+ai2x2+…+ainxn+s=bi當(dāng)約束條件為

ai1x1+ai2x2+…+ainxn

≥bi

時(shí)，類似地令

s=(ai1x1+ai2x2+…+ainxn)-bi

顯然，s

也具有非負(fù)約束，即s≥0，這時(shí)新的約束條件成為

ai1x1+ai2x2+…+ainxn-s=bi稱S為剩余變量。不等式情況下：當(dāng)≤，引入松弛變量s當(dāng)≥，引入剩余變量s松弛變量：需要補(bǔ)充的資源剩余變量：沒有使用的資源如果原問題中有若干個(gè)非等式約束，則將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)，必須對(duì)各個(gè)約束引進(jìn)不同的松弛變量。3、右端項(xiàng)有負(fù)值的問題：在標(biāo)準(zhǔn)形式中，要求右端項(xiàng)必須每一個(gè)分量非負(fù)。當(dāng)某一個(gè)右端項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，如bi<0，則把該等式約束兩端同時(shí)乘以-1，得到：-ai1x1-ai2x2-…-ainxn=-bi。4、決策變量不定：當(dāng)Xi<0，令Xi`=-Xi，則Xi``>o當(dāng)某一個(gè)變量xj沒有非負(fù)約束時(shí)，可以令

xj=xj’-xj”

其中

xj’≥0，xj”≥0

即用兩個(gè)非負(fù)變量之差來表示一個(gè)無符號(hào)限制的變量，當(dāng)然xj的符號(hào)取決于xj’和xj”的大小。例：將以下線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式

Minf=2x1-3x2+4x3s.t.3x1

+4x2-5x3≤62x1+x3≥8

x1+x2+x3=-9

x1,x2,x3

≥0

解：首先,將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換成極大化：令z=-f=-2x1+3x2-4x3

其次考慮約束，有2個(gè)不等式約束，引進(jìn)松弛變量x4，和剩余變量x5

≥0。第三個(gè)約束條件的右端值為負(fù)，在等式兩邊同時(shí)乘-1。通過以上變換，可以得到以下標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問題：

Maxz=-2x1

+3x2-4x3s.t.3x1+4x2-5x3+x4=62x1+x3-x5=8-x1-x2-x3=9

x1,x2,x3,x4,x5

≥0練習(xí)：P24習(xí)題3（1）和（2）作業(yè)：P24習(xí)題3（3）二、線性規(guī)劃問題的解1、解的情況2、幾個(gè)重要的解概念1、解蝴的情份況（1）存榜在有鳥限最慘優(yōu)解角：a）捐唯一頂最優(yōu)弱解b）無輔窮多適個(gè)最驚優(yōu)解（2）不嚼存在蔥最優(yōu)置解a）無援有限瓶最優(yōu)控解（宏無界漫解）b）無榴可行禿解（爛可行渠域空桿）判斷壓題：線性植規(guī)劃眉問題躬無有斜限最昨優(yōu)解織的充賞要條愿件是掏可行域撫為空掏？2、幾爛個(gè)重健要的拋解概瘡念（1）可序行解憐、可控行域獎(jiǎng)、最蘋優(yōu)解犯、最炒優(yōu)值（2）基飽、基準(zhǔn)本解（3）基鋸本可炊行解補(bǔ)（基擋可行叼解）（4）可傾行基（1）可啦行解茄、可貼行域巧、最此優(yōu)解稠、最丸優(yōu)值滿足乞約束渾條件(1青-2略)、(1滾-3燙)式的侍解X=(x1,x2，…，xn)T，稱榜為線睜性規(guī)剝劃問么題的可行此解，其律中使倚目標(biāo)聚函數(shù)極達(dá)到仍最大琴值的葛可行康解稱門為最優(yōu)且解。由可虎行解京組成石的集叮合就萬是可行清域（滿噴足約轟束條統(tǒng)件不糟等式壟所有嶼點(diǎn)組暗成的臟集合于），松將最掉優(yōu)解繞代目烘標(biāo)函蔑數(shù)得煩到的耕函數(shù)陜值就半是最優(yōu)浮值。例：Ma廣xz=位15伙00x1+狗25并00x2s.蜻t.歸3x1+過2x2≤毛652x1+x2≤冰403x2≤暖75x1希,惰x2≥福0（2）基挽、基綁本解設(shè)B為A中的姿一個(gè)茂基，委令A(yù)x倍=b，中咽所有尼的非伴基變豆量（n-稀m個(gè)）乒為0，得煮出的沙解x，稱蠢為是B的基塔本解甜。x1x2x3x4x5bi3傷2鹽1周0浙0載652公1嫩0眨1技0旬400達(dá)3咽0戒0憑1畝7肚5P1P2P3P4P5A=（P1，P2，P3，P4，P5）B=（P1，P2，P3），魯基變截量（x3x4x5）非基保變量交（x1x2），B的基衫本解兄是（0，0，65，40，70）（3）基丘本可蜓行解（1）滿考足非就負(fù)的演基本杜解，奶為基司本可絕行解律。（2）可沸行解劍滿足莫的條嶄件是鞏：Ax苦=b和x唇≥0，而基廉本解苦必然寄滿足Ax汪=b，只墨需滿噴足X劑≥0。（4）可喬行基對(duì)應(yīng)妻于基早可行跡解的需基，碑稱為礎(chǔ)可行糧基?；痉e解數(shù)末目最近多是Cnm個(gè)，涂一般較基可憤行解淺的數(shù)目令要小勁于基錯(cuò)本解去的數(shù)畜目。當(dāng)基刮本解島中的己非零揉分量雅的個(gè)馬數(shù)小拌于m時(shí)，該基拼本解輩是退化禍解。練習(xí)桂：P9晶6例題1作業(yè)語：P9枝6例題2（1）找漢出所挺有基之本解頁，并匪指出基哪些擱是基選本可行解替？1、基助本概矩念2、基喝本定亞理3、幾洗何意姥義三、頓線性勺規(guī)劃歉問題俊的幾簡何意閃義三、斗線性芳規(guī)劃環(huán)問題劫的幾抗何意黃義1、基朵本概飯念：（1）凸歡集（2）頂魄點(diǎn)（1）凸忽集定義嚇：設(shè)K是n維歐思氏空爭間的骨一點(diǎn)朵集，碰若任琴意兩點(diǎn)X(沖1)慨∈K，X(女2)臥∈K的連辯線上怕的所木有點(diǎn)αX熔(1閃)+公(1乘?α蝴)X醉(2沈)∈梢K，(0戲≤α鴨≤1床)，則蒼稱K為凸集。敘（任何架兩個(gè)喜凸集課的交忌集是立凸集劈燕）（2）頂局點(diǎn)設(shè)K是凸豎集，X∈K；若X不能攤用不同都的兩蛾點(diǎn)X(1拐)∈K和X(2嬌)∈K的線碧性組君合表語示為X=αX(1變)+(澇1?α)X(2還)，(0＜α＜1)，則取稱X為K的一涂個(gè)頂風(fēng)點(diǎn)(或極景點(diǎn))。2、基嘗本定潔理定理1：若線讓性規(guī)倉劃問當(dāng)題有匠可行混域，欠則可鬼行域必徹為凸等集。定理2：線性籍規(guī)劃洗問題見的基可紅行解X對(duì)應(yīng)欣于可行心域D的頂遞點(diǎn)。定理3：若可貸行域替有界元，則代最優(yōu)木解一殃定在頂點(diǎn)貞上達(dá)悔到。定理牧的意旦義：定理1：可惜行域固是凸捐集。定理2：基容本可戴行解療對(duì)應(yīng)福頂點(diǎn)樓。定理3：最送優(yōu)解墻在頂驗(yàn)點(diǎn)上隔找。幾何固意義圈的作跌用線性研規(guī)劃恢問題挖的所僻有可摔行解襪構(gòu)成怕的集玻合是鄭凸集腎，也疫可能奴為無船界域麗，它幟們有值有限匹個(gè)頂銅點(diǎn)，革線性詳規(guī)劃喉問題攤的每謎個(gè)基宋可行憐解對(duì)冠應(yīng)可反行域芹的一育個(gè)頂岸點(diǎn)。若線哈性規(guī)依劃問框題有戴最優(yōu)揭解，星必在前某頂欄點(diǎn)上狗得到哲。雖友然頂存點(diǎn)數(shù)畏目是饑有限悅的，粥若