離散數(shù)學(xué)第六章代數(shù)系統(tǒng)

第六章代數(shù)系統(tǒng)基本概念及性質(zhì)離散數(shù)學(xué)陳志奎主編人民郵電出版社愛(ài)因斯坦小時(shí)候曾好奇的問(wèn)他的叔叔：“代數(shù)是什么”？（那時(shí)候他只學(xué)過(guò)算術(shù)）他的叔叔回答的很妙：“代數(shù)是一種懶惰人的算術(shù)，當(dāng)你不知道某些數(shù)時(shí)，你就暫時(shí)假設(shè)它為x、y，然后再想辦法去尋找它們?！钡览硪唤?jīng)點(diǎn)破，就好象“哥倫布立蛋”的故事一樣，人人都會(huì)做了。代數(shù)是什么？以符號(hào)代替數(shù)的解題方法就是代數(shù)。代數(shù)是從算術(shù)精煉出來(lái)的結(jié)晶，雖平凡但妙用無(wú)窮。因此它又叫做廣義算術(shù)(generalizedarithmetic)或進(jìn)階算術(shù)(advancedarithmetic)或普遍算術(shù)（universalarithmetic）。什么是代數(shù)？Algebra一名來(lái)自阿拉伯文al-jabr，al為冠詞，jabr之意為恢復(fù)或還原，解方程式時(shí)將負(fù)項(xiàng)移至另一邊變成正項(xiàng)，也可說(shuō)是還原，也有接骨術(shù)的意思。中國(guó)在1859年正式使用代數(shù)這個(gè)名詞（李善商在代微積拾級(jí)一書中的序中指出“中法之四元，即西法之代數(shù)也”），在不同的時(shí)期有人用算術(shù)作為代數(shù)的名稱，中國(guó)古書九章算術(shù)其實(shí)是一本數(shù)學(xué)百科全書，代數(shù)問(wèn)題分見(jiàn)于各章，特別是第八章方程，主要是論述線性（一次）聯(lián)立方程組的解法，秦九韶（1249）的數(shù)書九章中有“立天元一”的術(shù)語(yǔ)，天元就是代表未知數(shù)，用現(xiàn)在的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)就是“設(shè)未知數(shù)為x”。代數(shù)﹝Algebra﹞是數(shù)學(xué)的其中一門分支，可大致分為初等代數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)學(xué)兩部分。代數(shù)的由來(lái)初等代數(shù)學(xué)：是指19世紀(jì)中期以前發(fā)展的方程理論，主要研究某一方程﹝組﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有何性質(zhì)等問(wèn)題。抽象代數(shù)：是在初等代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的。它起始于十九世紀(jì)初，形成于20世紀(jì)30年代。在這期間，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾(N.H.Abel)、法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦(E′.Galois)、英國(guó)數(shù)學(xué)家德·摩根(A.DeMorgan)和布爾(G.Boole)等人都做出了杰出貢獻(xiàn)，荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登(B.L.VanDerWaerden)根據(jù)德國(guó)數(shù)學(xué)家諾特(A.E.Noether)和奧地利數(shù)學(xué)家阿廷(E.Artin)的講稿，于1930年和1931年分別出版了《近世代數(shù)學(xué)》一卷和二卷，標(biāo)志著抽象代數(shù)的成熟。代數(shù)系統(tǒng)是以研究數(shù)字、文字和更一般元素的運(yùn)算的規(guī)律和由這些運(yùn)算適合的公理而定義的各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)為中心問(wèn)題。它對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)如撲拓學(xué)、泛函分析等以及一些其他科學(xué)領(lǐng)域，如計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼理論等，都有重要影響和廣泛地應(yīng)用。代數(shù)的由來(lái)PART01PART02PART03代數(shù)系統(tǒng)的一般概念代數(shù)系統(tǒng)的基本性質(zhì)同態(tài)與同構(gòu)PART04代數(shù)系統(tǒng)實(shí)例PART05同余、商代數(shù)、積代數(shù)內(nèi)容安排定義6.1設(shè)S是個(gè)非空集合且函數(shù)f：Sn→S，則稱f為S上的一個(gè)n元運(yùn)算。其中n是自然數(shù)，稱為運(yùn)算的元數(shù)或階。當(dāng)n=1時(shí)，稱f為一元運(yùn)算，當(dāng)n=2時(shí)，稱f為二元運(yùn)算，等等。定義6.2如果對(duì)給定集合的成員進(jìn)行運(yùn)算，從而產(chǎn)生了象點(diǎn)，而該象點(diǎn)又是同一集合的成員，則稱此集合在該運(yùn)算下是封閉的，這種性質(zhì)成為閉包性或封裝性。注意到，n元運(yùn)算是個(gè)閉運(yùn)算，因?yàn)榻?jīng)運(yùn)算后產(chǎn)生的象仍在同一個(gè)集合中。封閉性表明了n元運(yùn)算與一般函數(shù)的區(qū)別之處。此外，有些運(yùn)算存在幺元或零元，它在運(yùn)算中起著特殊的作用，稱它為S中的特異元或常數(shù)。6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義運(yùn)算的例子很多。例如，在數(shù)理邏輯中，否定是謂詞集合上的一元運(yùn)算，合取和析取是謂詞集合上的二元運(yùn)算；在集合論中，并與交是集合上的二元運(yùn)算；在整數(shù)算術(shù)中，加、減、乘運(yùn)算是二元運(yùn)算，而除運(yùn)算便不是二元運(yùn)算，因?yàn)樗粷M足封閉性。6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義運(yùn)算表：表示有窮集上的一元和二元運(yùn)算6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義

二元運(yùn)算的運(yùn)算表一元運(yùn)算的運(yùn)算表在本章討論的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，主要限于一元和二元運(yùn)算。將用′、┐或ˉ等符號(hào)表示一元運(yùn)算符；用、、⊙、*、∨、∧、∩、∪等表示二元運(yùn)算符。一元運(yùn)算符常常習(xí)慣于前置、頂置或肩置，如┐x、x′；而二元運(yùn)算符習(xí)慣于前置、中置或后置，如：+xy，x+y，xy+。有了集合上運(yùn)算的概念后，便可定義代數(shù)系統(tǒng)了。6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義定義6.3設(shè)S是個(gè)非空集合，且fi是S上的ni元運(yùn)算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…，fm組成的結(jié)構(gòu)，稱為代數(shù)系統(tǒng)，記作V=<

S，f1，f2，…，fm>。S

稱為代數(shù)系統(tǒng)的載體，S和運(yùn)算叫做代數(shù)系統(tǒng)的成分.其中，“定義在S上的運(yùn)算”指設(shè)集合S，f為一個(gè)SS的映射，即對(duì)任意的aS，存在唯一的bS，使得b是a在f下的像，記為f（a）=b，稱a是b在f下的原象。映射f又稱為函數(shù)。6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義定義6.4設(shè)<S，f1，f2，…，fm

>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，且非空集TS在運(yùn)算f1，f2，…，fm作用下是封閉的，則稱<T，f1，f2，…，fm>為代數(shù)系統(tǒng)<S，f1，f2，…，fm

>的子代數(shù)系統(tǒng)，記為<T，f1，f2，…，fm><S，f1，f2，…，fm>。定義6.5如果兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)中運(yùn)算的個(gè)數(shù)相同，對(duì)應(yīng)運(yùn)算的元數(shù)相同，且代數(shù)常數(shù)的個(gè)數(shù)也相同，則稱它們是同類型的代數(shù)系統(tǒng)。如果兩個(gè)同類型的代數(shù)系統(tǒng)規(guī)定的運(yùn)算性質(zhì)也相同，則稱為同種的代數(shù)系統(tǒng)。6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義下面舉例說(shuō)明上述各個(gè)概念。例6.1<N

,

+>，<Z,+,*>，<R,+,*>都是代數(shù)系統(tǒng)，其中+和*是R上的普通加法和乘法運(yùn)算，后兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算。因?yàn)椋\(yùn)算+在N和Z中是封閉的，運(yùn)算+和*在R中是封閉的。例6.2設(shè)S是非空集合，P(S)是它的冪集。對(duì)任意集合A，B∈P(S)上的運(yùn)算和如下:AB=(A-B)∪(B-A)AB=A∩B則<P(S)，，>是一代數(shù)系統(tǒng)。因?yàn)?，顯然和是閉運(yùn)算。6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義例6.3<Mn(R),+,·>是代數(shù)系統(tǒng)，其中Mn(R)為n階實(shí)矩陣，+和·分別表示n階(n≥2)實(shí)矩陣的加法和乘法.例6.4<Zn,,>是代數(shù)系統(tǒng)，其中Zn＝{0,1,…,n-1}，

和

分別表示模n的加法和乘法，x,y∈Zn，xy=(x＋y)modn，xy=(xy)modn。

有的代數(shù)系統(tǒng)定義指定了S中的特殊元素，稱為代數(shù)常數(shù),例如二元運(yùn)算的單位元.有時(shí)也將代數(shù)常數(shù)作為系統(tǒng)的成分.6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義例6.5代數(shù)系統(tǒng)<Z,+>有個(gè)特殊元素0，對(duì)加法運(yùn)算它的參與不影響計(jì)算結(jié)果，也可記為<Z,+，0>；<P(S),?,?,～>對(duì)于運(yùn)算?和?的有特殊元素分別為?和S，它們對(duì)分別參與?和?的運(yùn)算不影響計(jì)算結(jié)果，同樣可記為<P(S),?,?,～,?,S>。在結(jié)束本節(jié)時(shí)，聲明記號(hào)<S，f1，f2，…，fm>即為一代數(shù)系統(tǒng)，除特別指明外，運(yùn)算符f1，f2，…，fm均為二元運(yùn)算。根據(jù)需要對(duì)S及f1，f2，…，fm可置不同的集合符和運(yùn)算符。6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義PART01PART02PART03代數(shù)系統(tǒng)的一般概念代數(shù)系統(tǒng)的基本性質(zhì)同態(tài)與同構(gòu)PART04代數(shù)系統(tǒng)實(shí)例PART05同余、商代數(shù)、積代數(shù)對(duì)于夫代數(shù)銳系統(tǒng)煙的性賢質(zhì)的吼考察口方法副不是臘一個(gè)比一個(gè)晃研究橋各個(gè)胡結(jié)構(gòu)陶，而妻是列蕩舉一抵組性蠅質(zhì)，門并且辦對(duì)于堆具有劇這些愧性質(zhì)局的任寺何代脫數(shù)結(jié)種構(gòu)推御導(dǎo)可恭能的吼結(jié)論另。把紙那些古被選隸出的斗性質(zhì)濾看成哈是公遍理并陶且由彼這些纖公理偵推導(dǎo)鋸出的圓任何獵有效捆結(jié)論哀，對(duì)偉于滿識(shí)足這禮些公兩理的差任何源代數(shù)譜結(jié)構(gòu)軌也都槳必定問(wèn)成立胖。因此領(lǐng)，為耀了作會(huì)出這戲樣的門討論游，將認(rèn)不考虹慮任哲何特再定的拜集合象，也喝不給娘所涉板及到作的運(yùn)憂算賦曲予任長(zhǎng)何特相定的捐含義揭。這水種系其統(tǒng)的病集合媽及集鳴合上賄的諸寄運(yùn)算系僅僅絡(luò)看成課是一康些符析號(hào)，掃或更此確切配地說(shuō)厲，它財(cái)們都嗚是些插抽象和對(duì)象偵。因銹此，竿與此掉相應(yīng)傾的代繳數(shù)系紡統(tǒng)，靈通常印稱為癢抽象齒代數(shù)究。對(duì)爹于那瞎些特稻定的憤代數(shù)統(tǒng)系統(tǒng)稀只能虹是具帶有基斜本性尿質(zhì)中撈的某御些性翻質(zhì)。6.沙2代數(shù)全系統(tǒng)依的基霉本性俗質(zhì)性質(zhì)1結(jié)合顯律給定<S，⊙>，運(yùn)漸算“建⊙”駕滿足磁結(jié)合角律或剃“⊙洲”是巖可結(jié)同合的觀，(x)(y)(z)(x,y,z∈S→錯(cuò)(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z))。例6.漏9給定<A，⊙>且對(duì)汽任意a，b∈洽A有a⊙非b=拒b。證成明運(yùn)予算“滔⊙”因是可忠結(jié)合臟的。6.破2代數(shù)開(kāi)系統(tǒng)燙的基唐本性傭質(zhì)性質(zhì)2交換祖律給定<S，⊙>，運(yùn)騎算“糧⊙”貓滿足萌交換跟律或快“⊙列”是攀可交疤換的娘：(x)(y)(x,悠y∈S→x⊙y=y⊙x)例6.既11給定<Q，*>，其橫中Q為有抓理數(shù)蹦集合生，并稱且對(duì)齡任意a，b∈Q有a*b=a+b-a·b，問(wèn)桿運(yùn)算喘*是歲否可柄交換?可見(jiàn)震，如鉛果一油代數(shù)唱結(jié)構(gòu)少中的扮運(yùn)算疼⊙是稿可結(jié)往合和喪可交懶換的慣，那吉么，腫在計(jì)頸算a1⊙a(bǔ)2⊙…龍⊙a(bǔ)m時(shí)可此按任怠意次敏序計(jì)潛算其蘭值。證特別碑當(dāng)a1=a2=搬…餅=am=a時(shí)，頂則a1⊙a(bǔ)2⊙…亂⊙a(bǔ)m=am。稱am為a的m次冪蘭，m稱a的指稅數(shù)。6.貴2代數(shù)敏系統(tǒng)養(yǎng)的基摔本性碗質(zhì)下面甲給出am的歸賣納定到義：設(shè)有<S，⊙>且a∈S。對(duì)局于m∈N+，其肅中N+表示采正整汁數(shù)集用合，貨可有(1賓)a1=aam+1=am⊙a(bǔ)由此傻利用脫歸納獎(jiǎng)法不派難證頸明指該數(shù)定歐律：(1經(jīng))am⊙a(bǔ)n=am+n(2始)(am)n=amn這里疾，m，n∈N+。似地夕定義鉆某代矮數(shù)結(jié)哪構(gòu)中蜓的負(fù)銹冪和貪給出鉤負(fù)指勿數(shù)定稱律。6.掛2代數(shù)軟系統(tǒng)傳的基電本性核質(zhì)性質(zhì)3分配敵率一個(gè)腳代數(shù)彎結(jié)構(gòu)促若具疼有兩黨個(gè)運(yùn)宴算時(shí)牙，則時(shí)分配合律可盜建立北這兩隸個(gè)運(yùn)循算之佛間的謝某種盛聯(lián)系挽。給定<S，⊙景，*>，運(yùn)森算⊙扣對(duì)于叨*滿積足左烈分配應(yīng)律，批或者蛾⊙對(duì)蕉于*嚴(yán)是可賄左分貴配的短，即(x)(y)(z)(x，y，z∈S→x⊙(y*z)=努(x⊙y)*抽(x⊙z))。運(yùn)型算⊙口對(duì)于鎮(zhèn)*滿升足右美分配表律，收或者誘⊙對(duì)風(fēng)于*努是可取右分繳配的嘗，即(x)(y)(z)(x，y，z∈S→(y*z)⊙x=(y⊙x)*雪(z⊙x))。類似斬地可砍定義鑰*對(duì)乒于⊙晃是滿文足左枯或右核分配涉律。若⊙齊對(duì)于窯*即凳滿足激左分報(bào)配律冬又滿耽足右射分配翻律，念則稱葛⊙對(duì)旺于*罰滿足瘋分配停律或料是可珠分配項(xiàng)的。碰同樣睬可定蠻義*范對(duì)于雞⊙滿測(cè)足分迫配律蠟。6.弟2代數(shù)吳系統(tǒng)躲的基漂本性卡質(zhì)由定備義不張難證尾明下溉面定細(xì)理：定理6.遭2給定<S，⊙瓦，*>且⊙歌是可災(zāi)交換鮮的。敬如果目⊙對(duì)森于*訊滿足中左或耐右分暮配律彼，則劈燕⊙對(duì)孫于*注滿足喬分配榨律。例6.季12給定<B，⊙唯，*>，其霧中B={攤0，1}。表6.懂2.賺1分別塵定義妙了運(yùn)原算⊙并和*歡，問(wèn)件運(yùn)算姨⊙對(duì)且于*孟是可趙分配搖的嗎?捷*對(duì)于延⊙呢輸？上表喂常常貓稱為肺運(yùn)算淘表或督復(fù)合肉表，負(fù)它由雁運(yùn)算換符、創(chuàng)行表胖頭元抬素、煌列表昆頭元齡素及理復(fù)合威元素漂四部托分組復(fù)成。階對(duì)于僵集合S的基應(yīng)數(shù)很慌小，爛特別灶是2或3時(shí)，回代數(shù)錯(cuò)結(jié)構(gòu)碰中運(yùn)絕算常挨常用姨這種誦表給血出。居優(yōu)點(diǎn)猜是簡(jiǎn)澤明直逼觀，牢一目威了然砍。6.筋2代數(shù)足系統(tǒng)斃的基蒼本性脹質(zhì)⊙描0詞10艱10哪0它0橋0乞0噴11查0緊1餓1霉1顆1性質(zhì)4吸收瀉率給定<S，⊙誰(shuí)，*>，則⊙對(duì)流于*茅滿足股左吸揚(yáng)收律州：(x)(y)(x，y∈S→x⊙(x*y)=x)⊙對(duì)于砌*滿似足右戴吸收扎律：(x)(y)(x，y∈S→(x*y)⊙x=x)若⊙鐵對(duì)于乖*既筒滿足不左吸卡收律事又滿板足右杏吸收呼律，隙則稱擇⊙對(duì)約于*攻滿足帥吸收席律或襲者可征吸收寸的。*對(duì)上于⊙跨滿足倡左、毀右吸烘收律鴿和吸半收律飛類似訂地定亞義。若⊙炊對(duì)于沒(méi)*是蛙可吸議收的頂且*夏對(duì)于致⊙也棕是可您吸收饒的，賄則⊙災(zāi)和*秩是互嘉為吸梳收的稼或⊙甩和*徹同時(shí)則滿足饑吸收孟律。6.凝2代數(shù)比系統(tǒng)梨的基番本性奴質(zhì)例6.養(yǎng)14給定<N，⊙撲，*>，其軍中N是自罪然數(shù)連集合識(shí)，⊙奸和*免定義貧如下滿：對(duì)任衰意a，b∈N有a⊙b=ma桿x{a，b}，a*b=mi哲n{a，b}，試憂證，滔⊙和病*互暖為吸待收的膏。6.道2代數(shù)凱系統(tǒng)秀的基振本性蝦質(zhì)性質(zhì)5幺元查或單切位元給定<S，⊙>且el，er，e∈S，則el為關(guān)痰于⊙勿的左匆幺元:(x)(x∈S→el⊙x=x)er為關(guān)撒于⊙榜的右杰幺元:(x)(x∈S→x⊙er=x)若e既為彎⊙的劈燕左幺帆元又辦為⊙榆的右插幺元呼，稱e為關(guān)鬧于⊙蛛的幺籌元。務(wù)亦可貍定義等如下垃：e為關(guān)政于⊙略的幺改元：(x)(x∈S→e⊙x=x⊙e=x)6.銷2代數(shù)斯系統(tǒng)炸的基堂本性?shī)Z質(zhì)例6.滔15給定<{煤α，β}，*>，表6.猶4，表6.炊5和表6.必6分別盡給出沈*的澇不同暴定義蘿的運(yùn)仁算表至，試島指出頁(yè)左幺度元、爸右幺辭元及風(fēng)幺元拜。表6.姥4表6.港5表6.糊6*嗎α繼β解*扎α告β先*面α歪βα麗α?xí)rβ場(chǎng)α猜α程α計(jì)α英β隱ββ惱β戒β樸β裹β秘β窄β冒α透β6.擔(dān)2代數(shù)想系統(tǒng)胡的基卵本性隔質(zhì)定理6.爬3給定<S，⊙>且el和er分別嘗關(guān)于瘡⊙的摘左、忍右幺拔元，共則el=er=e且幺堵元e惟一蘋。性質(zhì)6零元給定<S，*>及θl，θr，θ∈S，則θl為關(guān)代于*刑的左烏零元照：(x)(x∈S→豈θl*x=椒θl)θr為關(guān)疲于*擾的右宴零元錫：(x)(x∈S→x*θr=揀θr)θ為關(guān)星于*跡的零澡元：(x)(x∈S→照θ*x=x*θ攏=攜θ捉)例6.泊17在例6.共15中，癢*如嗓表6.膝4所定戀義，β是*偵的零寫元；例*如相表6.坡2.絲式3所定次義，α和β都是逆*的拾左零霸元；僚*如捕表6.杏2.傷4所定諷義，β是*延的右份零元思。6.郊2代數(shù)鹿系統(tǒng)搞的基仆本性似質(zhì)定理6.楊2.棋4給定<S，⊙>且θl和θr分別籃為關(guān)勵(lì)于⊙洲的左女零元籍和右扎零元瓦，則θl=砌θr=面θ且零小元θ是惟家一的矛。定理6.戴2.萌5給定<S，⊙>且|S|＞1。如起果θ，e∈S，其隱中θ和e分別璃為關(guān)掏于⊙敢的零千元和壘幺元稻，則θ默≠e。6.諷2代數(shù)禮系統(tǒng)降的基糟本性姨質(zhì)性質(zhì)7等冪森律與蛋等冪莊元給定<S，⊙>，則厘“⊙先”是啄等冪寒的或棋“⊙順”滿菌足等行冪律咳：(x)(x∈S→x⊙x=x)給定<S，⊙>且x∈S，則x是關(guān)效于“象⊙”州的等圾冪元誕：x⊙x=x于是包，不千難證糖明下杜面定孤理：定理6.鼓6若x是<S，⊙>中關(guān)炮于⊙晃的等敏冪元腐，對(duì)冷于任懂意正跪整數(shù)n，則xn=x。例6.彎19給定<P(S)，∪純，∩>，其貿(mào)中P(S)是集叛合S的冪墊集，榨∪和斤∩分迫別為講集合受的并庫(kù)和交協(xié)運(yùn)算紫。驗(yàn)溝證：冒∪和司∩是俘等冪況的6.甘2代數(shù)浸系統(tǒng)圖的基過(guò)本性濱質(zhì)性質(zhì)8逆元給定<S，⊙>且幺仰元e，x∈S，則x為關(guān)直于⊙刊的左狗逆元波：(y)(y∈S∧x⊙y=e)x為關(guān)爛于⊙氏的右痕逆元留：(y)(y∈S∧y⊙x=e)x為關(guān)接于⊙糕可逆胡的：(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)給定<S，⊙>及幺敗元e；x，y∈S，則y為x的左樣逆元?。簓⊙x=y為x的右溪逆元溪：x⊙y=ey為x的逆錘元：y⊙x=x⊙y=e6.疑2代數(shù)釀系統(tǒng)既的基裹本性外質(zhì)顯然硬，若y是x的逆巡壽元，徒則x也是y的逆盤元，艦因此賽稱x與y互為塊逆元災(zāi)。通銳常x的逆謠元表傲為x-1。一般懼地說(shuō)臭來(lái)，違一個(gè)傾元素片的左堅(jiān)逆元值不一喬定等丈于該明元素拖的右叔逆元叮。而單且，乎一個(gè)魄元素程可以紐奉有左絮逆元庸而沒(méi)僚有右舅逆元五，反克之亦飛然。須甚至真一個(gè)賭元素只的左隆或右跑逆元邀還可麥以不芬是惟浸一的或。例6.尤20給定<S，*>，其崇中S={上α，β，γ，δ，ζ}且*畢的定龜義如趕表6.鉆10所示鏟。試呢指出蒜該代蜘數(shù)結(jié)織構(gòu)中腸各元藝素的膏左、角右逆誤元情耽況6.篩2代數(shù)慌系統(tǒng)遲的基路本性丟質(zhì)表6.寸10*眾α室β盯γ所δ鄉(xiāng)豐ζα虹α父β賴γ溪δ役ζβ悅β濁δ作α瓣γ家δγ默γ林α類β享α陵βδ馳δ乎α五γ勞δ帶γζ核ζ叛δ旨α練γ嬸ζ定理6.憲7給定<S，⊙>及幺填元e∈S。如將果⊙園是可毛結(jié)合絕的并匯且一典個(gè)元薪素x的左執(zhí)逆元xl-1和右多逆元xr-1存在徹，則xl-1=xr-1。定理6.普8給定<S，⊙>及幺進(jìn)元e∈S。如炎果⊙女是可仆結(jié)合辨的并駛且x的逆名元x-1存在埋，則x-1是惟替一的冶。例如汽在例6.預(yù)1中，拾顯然<R，+，×>中運(yùn)賄算+和×都是已可結(jié)南合的渠，而1和0分別向?yàn)椤梁?的幺汪元，懇故可脫驗(yàn)證惑，對(duì)靠于×來(lái)說(shuō)第，除0外每脖個(gè)元孔素r∈R都有愿逆元1/r；對(duì)驅(qū)于+而言普，對(duì)惑每個(gè)重元素r∈R都有咱逆元(-r)。6.歌2代數(shù)爽系統(tǒng)腫的基妖本性珠質(zhì)性質(zhì)9可約舊率與攔可約捆元給定<S，⊙>且零棉元θ∈S，則⊙滿取足左勢(shì)可約偶律或法是左互可約侍的：(x)(y)(z)(街(x，y，z∈S∧x≠繡θ∧x⊙y=x⊙z)饞→y=z)，并孤稱x是關(guān)道于⊙妹的左?？杉s陸元?！褲M藏足右妖可約困律或潮是右證可約蓮的：(x)(y)(z)(期(x，y，z∈S∧x≠御θ∧y⊙x=z⊙x)→y=z)，并串稱x是關(guān)遮于⊙覺(jué)的右圍可約壺元。若⊙丟既滿軍足左凱可約識(shí)律又導(dǎo)滿足語(yǔ)右可厭約律歪或⊙掙既是持左可禁約又窮是右觸可約備的，防則稱箭⊙滿橡足可闊約律聲或⊙并是可塔約的央。若x既是糾關(guān)于負(fù)⊙的辟左可鞋約元濟(jì)又是檢關(guān)于掉⊙的賭右可躁約元儀，則蒼稱x是關(guān)艱于⊙抄的可胳約元陜。6.燥2代數(shù)疾系統(tǒng)甜的基臘本性瓦質(zhì)可約權(quán)律與墊可約兩元也肺可形解式地悟定義凝如下層：⊙滿練足可塵約律逃：(x)(y)(z)(x，y，z∈S∧x≠折θ∧兆((x⊙y=x⊙z∨y⊙x=z⊙x)→y=z))給定<S，⊙>且零姻元θ，x∈S。x是關(guān)奧于⊙稈的可浩約元穗：(y)(z)(y，z∈S∧x≠糞θ∧智((x⊙y)=x⊙z∨y⊙x=z⊙x)→y=z))。6.律2代數(shù)郊系統(tǒng)鵲的基益本性熊質(zhì)例6.鑒24給定<Z，×>，其禽中Z是整問(wèn)數(shù)集寄合，×是一刑般乘娛法運(yùn)點(diǎn)算。止顯然括，每?jī)磦€(gè)非聰零整行數(shù)都豆是可葵約元兼，而乒且運(yùn)繼算×滿足由可約束律。定理6.蘋9給定<S，*>且*膜是可甘結(jié)合頌的，屑如果x是關(guān)考于*寨可逆芬的且x≠絮θ，則x也是被關(guān)于丟*的俯可約股元。6.短2代數(shù)芽系統(tǒng)精的基何本性烤質(zhì)最后攻，作鵝一補(bǔ)捧充說(shuō)皂明，肆用運(yùn)里算表諒定義膛一代譜數(shù)結(jié)脾構(gòu)的掌運(yùn)算見(jiàn)，從性表上病能很盆好地親反映嚼出關(guān)華于運(yùn)瞇算的博各種弓性質(zhì)討。為希確定謹(jǐn)起見(jiàn)去，假跑定<S，*>及x，y，θ，e∈S。(1萍)運(yùn)算晝*具坑有封顆閉性她，當(dāng)另且僅厭當(dāng)表講中的牧每個(gè)件元素鄰都屬氧于S。(2甜)運(yùn)算據(jù)*滿哲足交卵換律柏，當(dāng)舅且僅撈當(dāng)表綁關(guān)于飯主對(duì)己角線嫁是對(duì)寧稱的習(xí)。(3垮)運(yùn)算遺*是纏等冪艇的，帝當(dāng)且四僅當(dāng)佳表的閃主對(duì)婆角線夏上的疫每個(gè)政元素稍與所距在行搬或列賠表頭親元素仙相同(4訊)元素x是關(guān)自于*妙的左杜零元成，當(dāng)嶼且僅欠當(dāng)x所對(duì)伙應(yīng)的今行中愚的每弓個(gè)元成素都藏與x相同診；元胡素y是關(guān)身于*頁(yè)的右摧零元流，當(dāng)?shù)虑覂H筍當(dāng)y所對(duì)飯應(yīng)的晚列中那的每顆個(gè)元炕素都逮與y相同平；元殖素θ是關(guān)磚于*幣的零址元，魯當(dāng)且綢僅當(dāng)θ所對(duì)餓應(yīng)的炎行和貴列中廉的每乘個(gè)元遷素都負(fù)與θ相同追。6.巴2代數(shù)哭系統(tǒng)為的基百本性擴(kuò)質(zhì)(5拋)元素x為關(guān)談?dòng)?繳的左嚼幺元彼，當(dāng)鉗且僅仇當(dāng)x所對(duì)妖應(yīng)的留行中株元素宏依次延與行漫表頭匹元素戶相同鑰；元意素y為關(guān)賤于*而的右呆幺元金，當(dāng)繼且僅販當(dāng)y所對(duì)姜應(yīng)的研列中私元素世依次靈與列略表頭肥元素簡(jiǎn)相同盾；元蛋素e是關(guān)卷于*崇的幺捕元，斯當(dāng)且鉛僅當(dāng)e所對(duì)鉗應(yīng)的鋸行和萍列中仙元素伙分別泛依次萍地與揮行表搞頭元李素和患列表肌頭元奪素相質(zhì)同。(6螞)x為關(guān)石于*叛的左塊逆元齊，當(dāng)當(dāng)且僅五當(dāng)位餅于x所在盤行的輩元素胞中至畫少存嘆在一逮個(gè)幺鈴元，y為關(guān)倚于*鋤的右政逆元辜，當(dāng)妥且僅體當(dāng)位祝于y所在舞列的舊元素填中至泛少存呆在一貓個(gè)幺開(kāi)元；x與y互為擺逆元許，當(dāng)沫且僅作當(dāng)位樸于x所在孫行和y所在貿(mào)列的址元素薪以及y所在挨行和x所在孝列的勵(lì)元素經(jīng)都是士幺元屠。6.宣2代數(shù)因系統(tǒng)大的基忍本性廁質(zhì)6.純2代數(shù)擴(kuò)系統(tǒng)惹的基館本性討質(zhì)PART01PART02PART03代數(shù)結(jié)系統(tǒng)尾的一沈般概制念代數(shù)抗系統(tǒng)刺的基搏本性史質(zhì)同態(tài)懲與同朗構(gòu)PART04代數(shù)滑系統(tǒng)甲實(shí)例PART05同余盼、商凝代數(shù)悟、積秩代數(shù)6.憑3同構(gòu)慕與同綱態(tài)6.僵3.邁1同態(tài)定義6.盈6：設(shè)有豆兩個(gè)堪代數(shù)衫系統(tǒng)<A，°>，<B，*>，其組中*與o均為詳二元絲式運(yùn)算砌，則酷稱<A，o>同態(tài)宵于<B，*>，若脆存在對(duì)映射f：AB，使劈燕得對(duì)址任意壓的a，bA。有瓶：f（a*侮b）=f（a）of（b）其中f（a），f（b）與f（a*北b）均黨為B中的揀元素殼。此漫時(shí)稱f為代貫數(shù)系械統(tǒng)<A，°>到代兇數(shù)系忘統(tǒng)<B，*>的一擴(kuò)個(gè)同堤態(tài)映釀射。6.溪3同構(gòu)度與同字態(tài)例6.含25：考慮帳帶加貓法運(yùn)踢算的自然簽數(shù)，即并代數(shù)嘆系統(tǒng)<N后,+贊>。保駝持加親法不引變的他函數(shù)籠有如貌下性龍質(zhì)：f(恥a恩+芹b)課=寧f股(a推)商+芬f(須b)白.不妨五取映愧射f(形x)攝=醋3睜x，f（x）就濕是這扮樣的彩一個(gè)血同態(tài)朋，因杰為f(豆a摸+線b)數(shù)=介3筍(a還+兵b飛)偵=評(píng)3a蛛+友3妨b澇=餐f(權(quán)a)始+便f尺(b還)。注招意這援個(gè)同青態(tài)從源自然柜數(shù)映膠射回刺自然照數(shù)，耍代數(shù)摧系統(tǒng)<N癥,+廉>到代皺數(shù)系衫統(tǒng)<N壞,+走>在f（x）的暮映射爸下是屬同態(tài)年的，窩這個(gè)揀性質(zhì)僅也成狹為自同槐態(tài)，f（x）稱滑為自同六態(tài)映籃射。同態(tài)噸不必?zé)o從集駛合映羞射到倡帶相微同運(yùn)羊算的佛集合裝。6.阻3同構(gòu)拒與同夢(mèng)態(tài)例6.睬26：考慮早保持腹運(yùn)算現(xiàn)的從出帶加嚼法的志實(shí)數(shù)化集到叢帶乘諒法的社正實(shí)祥數(shù)集冬，即喜考慮季兩個(gè)弊代數(shù)絮系統(tǒng)過(guò)，<R味,+掌>和<趣R+,*織>,其中+，*是普遞通的熄加法嬸和乘弄法，R+表示供正實(shí)字?jǐn)?shù)集泄合。步保持尤運(yùn)算硬的函梁數(shù)滿援足：f(輪a造+巾b)巧=狗f鈔(a約)玩*描f(監(jiān)b)，因墻為加芹法是萬(wàn)第一黃個(gè)集畫合的悔運(yùn)算換而乘慘法是逐第二云個(gè)集恥合的放運(yùn)算爭(zhēng)。指座數(shù)定陸律表冠明f(臭x)雨=漂ex滿足竟如下框條件:披2霸+休3仍=歐5變?yōu)閑2*蓋e3=幫e5.因此蛙取R到R+的映艙射為別如上貨的指忘數(shù)函鋒數(shù)，疫則<R緩,+則>和<掙R+,*侮>在f（x）的樓映射雙下是崇同態(tài)見(jiàn)的。同態(tài)功的一名個(gè)特揪別重訴要的掙屬性御是幺喉元具鄉(xiāng)豐有保獵持性斤。也漢即，寇如果趙幺元污存在過(guò)，它迅將被奸保持豆，一涂個(gè)集龜合的遺幺元脂被映筒射為強(qiáng)另一巾個(gè)集厚合中進(jìn)的幺賣元。叼注意畫在例6.有10中，f(答0)根=充0匙,而零炸是加倡法幺戀元。楚在例6.非11中，f(蜂0)唱=沙1，因資為0是加酬法幺倚元，物而1是乘曲法幺閃元，豆代數(shù)掠系統(tǒng)<R蛾,+脫>的幺溉元被f（x）映繡射到<鵲R+,*叼>的幺隙元。若考態(tài)慮集押合上阻的多未個(gè)運(yùn)尤算，究則保爪持所頃有運(yùn)賓算的己函數(shù)猾可以潔視為擺同態(tài)匯。6.王3同構(gòu)無(wú)與同街態(tài)例6.笑27：設(shè)<Σ為*，∥>與<N，+>是同烈類型疊的，燦其中Σ*為有漫限字脖母表斃上的刮字母陵串集捎合，過(guò)∥為框并置鞏運(yùn)算嘩，N為自血然數(shù)壁集合螺，+為普計(jì)通加板法。遭若定忠義f：Σ*后→N為f(x)=占|x|其中x∈Σ于*，這掠里|x|表示壓字母宴串的肺長(zhǎng)度古。解：因?yàn)轱h對(duì)任條意x，y∈Σ詞*，有f(x∥y)=眨|x∥y|驕=咐|x|才+墳|y|證=f(x)+f(y)，故<Σ踢*，∥>~<N，+>。顯然傅，f是滿朱射，菊因此數(shù)，f為從<Σ釋*，∥>到<N，+>的滿翁同態(tài)顏映射英。6.壟3同構(gòu)闊與同倡態(tài)例6.拋29：考察番代數(shù)刮系統(tǒng)U=盯<N，*>和V=舍<{怎0,廢1}，*>，其殃中*是普飯通意寒義下智的乘肯法運(yùn)物算。莊定義f：N{0黃,1淋}為證明欄：f是U到V的同杰態(tài)映鎖射。設(shè)φ是V1=<的S1,o共>到V2=<糞S2,*清>的同午態(tài)映另射，摔如果φ是滿繁射，謙稱V1和V2是滿同舞態(tài)的，恭記為V1V2；如捆果φ是單政射，飄稱V1和V2是單同塵態(tài)的；若存膜在從V1到V2的滿涌同態(tài)φ，則樸稱V2為V1在φ下的同態(tài)桌象。6.補(bǔ)3同構(gòu)尿與同聽(tīng)?wèi)B(tài)6.未3.慣2同構(gòu)定義6.略7設(shè)有脫兩個(gè)突代數(shù)達(dá)系統(tǒng)<A，°>，<B，*>，若露能在腳集合A與B之間談構(gòu)造躍映射f，滿狗足如緊下要針求：(1搏)yB均xA，使灣得y=息f(成x)。(2傷)當(dāng)x1,x2A,施x1x2有f(冬x1),賓f(捎x2)B,摧f嚴(yán)(x1)f(蟻x2)。(3杯)x1,x2A有f(蘋x1ox2)=左f(辦x1)稈of牲(x2)。則稱泡二個(gè)求代數(shù)晃系統(tǒng)疫的結(jié)派構(gòu)相氣同，駐簡(jiǎn)稱妹同構(gòu)密，記耗為<A，°>≌<B，*>。此廊時(shí)，漸一個(gè)榆系統(tǒng)司的運(yùn)燦算性晝質(zhì)與服規(guī)律乞，可合以完駐全遷逆移到塞另一小個(gè)代描數(shù)系睜統(tǒng)中瓶。6.秘3同構(gòu)槳與同迅態(tài)由定育義可園知，態(tài)同構(gòu)啦的條柏件比丈同態(tài)屢強(qiáng)，巾關(guān)鍵旋是同細(xì)構(gòu)映米射是旁雙射蚊，即辣一一燭對(duì)應(yīng)史。而磚同態(tài)鼻映射澡不一需定要陡求是果雙射趕。正盡因?yàn)榭淙绱藞?jiān)，同妻構(gòu)不供再僅送僅象感滿同振態(tài)那洪樣對(duì)易保持礦運(yùn)算福是單侍向的伐了，界而對(duì)港保持前運(yùn)算羅成為烤雙向韻的。維兩個(gè)墊同構(gòu)播的代蘆數(shù)，俱表面劃上似撲乎很癥不相籠同，秘但在李結(jié)構(gòu)敞上實(shí)從際是陷沒(méi)有豈什么捉差別孝，只悄不過(guò)畏是集咱合中睛的元蒙素名消稱和沃運(yùn)算伯的標(biāo)匹識(shí)不應(yīng)同而蠅已，鞠而它句們的標(biāo)所有絨發(fā)生滾“彼柿此相銷通”惜。這湯樣，夕當(dāng)探彩索新李的代要數(shù)結(jié)蘆構(gòu)的攝性質(zhì)蔑時(shí)，地如果退發(fā)現(xiàn)蓄或者梯能夠川證明慎該結(jié)筆構(gòu)同碗構(gòu)于毀另外會(huì)一個(gè)專性質(zhì)溪已知輩的代宴數(shù)結(jié)潛構(gòu)，辱便能藍(lán)直接尖地知消道新俯的代件數(shù)結(jié)陶構(gòu)的遙各種樣性質(zhì)碑了。鄭對(duì)于腫同構(gòu)形的兩裹個(gè)代助數(shù)系天統(tǒng)來(lái)畜說(shuō)，川在它盜們的仿運(yùn)算唯表中企除了框元素慕和運(yùn)叮算的咽標(biāo)記根不同劇外，鹿其它幫一切塞都是踩相同叛的。仍因此列，可偵以根擔(dān)據(jù)這換些特極征來(lái)敢識(shí)別草同構(gòu)悟的代飯數(shù)系闊統(tǒng)。6.參3同構(gòu)首與同堵態(tài)一般兇來(lái)說(shuō)已，如諒果忽但略掉不同構(gòu)冷的對(duì)醉象的冒屬性仔或操隔作的頓具體兆定義路，單跨從結(jié)背構(gòu)上希講，僅同構(gòu)米的對(duì)跟象是理完全手等價(jià)史的。勸同構(gòu)記是在鉗數(shù)學(xué)緞對(duì)象慈之間社定義拼的一敲類映射,它能隆揭示料出在蘆這些裕對(duì)象樓的屬促性或患者操哨作之縫間存根在的構(gòu)關(guān)系輩。若猛兩個(gè)溝數(shù)學(xué)聚結(jié)構(gòu)柿之間堂存在鋼同構(gòu)授映射托，那呈么這吼兩個(gè)床結(jié)構(gòu)紡叫做易是同偵構(gòu)的柳。6.佩3同構(gòu)湊與同霜態(tài)例6.淡32：V=遍<Z尋,+體>，給容定aZ，令則對(duì)所以是V到V的同惑態(tài)，來(lái)即自同裕態(tài)。當(dāng)a=與0時(shí)，景有,稱為零同域態(tài)。當(dāng)a=敲1時(shí)，艷有,即恒央等映絮射，寒它是撞雙射針的，艦這時(shí)何，是V的自同夜構(gòu)，同吊理可程證也是V的自柜同構(gòu)暴。當(dāng)且時(shí)，陳易證是單捷射的室，這黎時(shí)是V的單自騾同態(tài)。6.立3同構(gòu)籮與同萌態(tài)例6.板34：令<F，○>與<Z4，+4>是同鬼類型殊的，煮其中F={f0，f1，f2，f3}，“宗○”洲定義抱如表6.歉13所示致；Z4={藥[0輪]，[1磁]，[2都]，[3脹](méi)}，+4定義寸如表6.斧14，試說(shuō)憶明<F，○>鴉≌焦<Z4，+4>。表6.照13○f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f2表6.討14+40幟1抖2推30痕0見(jiàn)1倘2腹31穴1胳2清3州02照2盯3芒0良13鞠3呆0送1罷26.虎3同構(gòu)聲與同迫態(tài)例6.蜂35：給定<S，∩還，∪>，其咸中S={，A，B，C}，∪悠和∩雨是一老般的傻集合兇運(yùn)算堪；又驅(qū)有<T，，>，這暮里T=挑{1，2，5，10共}，且拾對(duì)于a，b∈T有ab=l拍cm濫{a，b}，ab=gc才d{a，b}，表6.攻15至表6.街18給出億四個(gè)六運(yùn)算紋表。乖試說(shuō)純明<S，∩狗，∪>≌粗<T，，>其中l(wèi)c例m動(dòng){a，b}表示a和b的最轟小公遞倍數(shù)比，gc位d{a，b}表示a和b的最恭大公織約數(shù)表6.哲1砌5∪ABC目ABCAAACCB責(zé)B猾C封B酒CC摔C綁C鵲C撇C6.腳3同構(gòu)篇與同螺態(tài)表6.16∩ABC多扯餃匪AAAB讓BBCA年B允C表6.哨171很2繳5污101拔1泛2章5柳102茫2都2岔10省105執(zhí)5鼻10娃5勉1010午1漢0您1兼0舌1燦0挽10表6.勇181胸2常5昆1職01曾1脹1債1網(wǎng)12圣1紫2米1抱25增1置1姨5功510符1躺2雨5匆1渾06.體3同構(gòu)坡與同倦態(tài)6.盟3.災(zāi)3同構(gòu)穩(wěn)與同戚構(gòu)的仙性質(zhì)定理6.誤10：給定<X，⊙澇，*>~<Y，，>且f為其魔滿同番態(tài)映堵射，誕則(a)如果搖⊙和*滿足貪結(jié)合拐律，隊(duì)則和也滿潛足結(jié)嗚合律柱。(b)如果垮⊙和*滿足儲(chǔ)交換災(zāi)律，農(nóng)則和也滿伍足交勵(lì)換律聞。(c)如果蠻⊙對(duì)敗于*或*對(duì)于仔⊙滿帥足分傷配律極，則對(duì)于或?qū)τ谝蚕嘤皯?yīng)滿選足分邪配律炊。(d)如果包⊙對(duì)養(yǎng)于*或*對(duì)于底⊙滿脅足吸額收律加，則對(duì)于或?qū)τ谝矟M掙足吸超收律暴。(e)如果韻⊙和*滿足爪等冪艷律，臂則和也滿梨足等窮冪律獵。(f)如果e1和e2分別卡是關(guān)校于⊙悠和*的幺邁元，天則f(e1)和f(e2)分別漿為關(guān)寶于和的幺旦元。(g)如果θ1和θ2分別輝是關(guān)牌于⊙啞和*的零常元，被則f(θ1)和f(θ2)分別難為關(guān)救于和的零余元。(h)如果跳對(duì)每稅個(gè)x∈X均存青在關(guān)痰于⊙桑的逆拴元x-1，則脅對(duì)每宰個(gè)f(x)∈Y也均鞭存在惜關(guān)于的逆迎元f(x-1)；如畝果對(duì)羊每個(gè)z∈X均存劈燕在關(guān)粒于*的逆舅元Z-1，則延對(duì)每成個(gè)f(z)∈Y也均常存在飲關(guān)于的逆耐元f(z-1)。6.腰3同構(gòu)賽與同勵(lì)態(tài)定理6.罷11:代數(shù)濾系統(tǒng)錄間的喇同構(gòu)爪關(guān)系離是等絡(luò)價(jià)關(guān)扭系。由于矮同構(gòu)舟關(guān)系立是等稻價(jià)關(guān)茫系，敞故令軋所有坡的代誓數(shù)系艘統(tǒng)構(gòu)補(bǔ)成一甚個(gè)集牛合S，于坊是可暈按同限構(gòu)關(guān)叼系將樹(shù)其分按類，顏得到餡商集S/≌?；ㄒ?yàn)閱T同構(gòu)照的代草數(shù)系術(shù)統(tǒng)具疏有相替同的莫性質(zhì)描，故捐實(shí)際和上代陷數(shù)系窯統(tǒng)所次需要培研究丈的總掃體并旺不是S而是S/≌。在同塞態(tài)與謝同構(gòu)們中有斜一個(gè)泄特例干，即脅具有濁相同副集合臺(tái)的任所兩個(gè)淺代數(shù)陰系統(tǒng)飲的同健態(tài)與礙同構(gòu)義，這論便是異自同咽態(tài)與拿自同倚構(gòu),如例6.暖25和例6.畏35。6.歉3同構(gòu)蠶與同賢態(tài)圖6.院3示出序了各展類同葛態(tài)與銅同構(gòu)論的關(guān)初系。檔圖中H禾=同態(tài)究的集趟合，M能=單同勁態(tài)的抄集合奏，P許=滿同永態(tài)的隔集合如，S謠=同構(gòu)浸的集悅合，N諸=子同要態(tài)的每集合崇，A唉=自同燦構(gòu)的憑集合.注意:屬M(fèi)∩P師=笛S,名S∩N碎=王A,腔(M∩N)仗\撿A并且(P∩N)役\私A只包暈含無(wú)楚限代株數(shù)結(jié)擱構(gòu)到狡自身齊的同顯態(tài)。PART01PART02PART03代數(shù)溪系統(tǒng)窯的一勿般概看念代數(shù)高系統(tǒng)全的基除本性翁質(zhì)同態(tài)捷與同馬構(gòu)PART04代數(shù)焦系統(tǒng)輔實(shí)例PART05同余漢、商犁代數(shù)柳、積貓代數(shù)6.械4同余軋關(guān)系定義6.臟8：給定<S，⊙>且E為S中的吧等價(jià)疑關(guān)系塘。E關(guān)于睛⊙有冠代換褲性質(zhì)相：(x1)(x2)(y1)(y2)(趴(x1，x2，y1，y2∈S∧x1Ex2∧y1Ey2)→位(x1⊙y1)E(x2⊙y2))。E為<S，⊙>中的容同余輸關(guān)系庸：E有代央換性侄質(zhì)。與此醒同時(shí)郵，稱擁同余葵關(guān)系E的等訊價(jià)類摩為同雷余類質(zhì)。6.李4同余富關(guān)系由定瘋義可他知，致同余慘關(guān)系棵是代襲數(shù)結(jié)薯構(gòu)的著集合離中的鞋等價(jià)銳關(guān)系勤，并黑且在騙運(yùn)算筑的作汁用下異，能嫂夠保薦持關(guān)踏系的匠等價(jià)速類。荷即在x1⊙y1中，嫂如果時(shí)用集待合S中的鎖與x1等價(jià)由的任由何其腸它元勇素x2代換x1，并消且用歌與y1等價(jià)獎(jiǎng)的任挪何其執(zhí)它元怖素y2代換y1，則總所求估的結(jié)僵果x2⊙y2與x1⊙y1位于怕同一嚴(yán)等價(jià)雨類之貸中。壁亦即愛(ài)若[x1]E=數(shù)[x2]E并且[y1]E=百[y2]E，則[x1⊙y1]E=林[x2⊙y2]E。此看外，哥同余影關(guān)系尸與運(yùn)術(shù)算密叫切相扒關(guān)。已如果婆一個(gè)示代數(shù)鋒結(jié)構(gòu)莖中有膚多個(gè)酷運(yùn)算疲，則飽需要量考察御等價(jià)麥關(guān)系揚(yáng)對(duì)于搏所有泉這些仆運(yùn)算猛是否早都有聽(tīng)代換通性質(zhì)均。如害果有目，則勾說(shuō)該邁代數(shù)召結(jié)構(gòu)酷存在蜘同余逝關(guān)系牽；否疤則，盜同余槽關(guān)系送不存咐在。6.蔽4同余枝關(guān)系定理6.暫12：設(shè)<S，⊙>與<T，*>是同甲類型內(nèi)的且f為其尤同態(tài)千映射谷。對(duì)葉應(yīng)于f，定抱義關(guān)撲系Ef如下駝：xEfy：f(x)=f(y)，其中x，y∈S則Ef是<S，⊙>中的歷同余嫂關(guān)系絮，并史且稱Ef為由陵同態(tài)虧映射f所誘權(quán)導(dǎo)的趁同余豎關(guān)系返。由于咸同態(tài)都映射插不惟壯一，田根據(jù)復(fù)定理6(洗1)畜.4終.1，可鼠以推晚知同盞余關(guān)挑系也布不惟投一。6.袍4同余旁關(guān)系例6.鐘37：設(shè)<Z，′驢>與<B，ˉ>是同吵類型畏的，扛其中Z是整屋數(shù)集種合，B=漿{0，1}，′和ˉ定義咳如下鏈：i′拆=i+崇1i∈Zb=(b+1飯)(mo卵d2)b∈B又設(shè)f∈BZ：f(i)=題(i)(mo飲d2)其中i∈Z試指臭出f所誘充導(dǎo)的徑同余輛關(guān)系料。6.兩5商代惕數(shù)定義6.枕9：給定<S，⊙>并且E為S中的告等價(jià)兔關(guān)系鍬。E關(guān)于扔⊙具貫有代笛換性寶質(zhì)：(?x1)(漂?x2)(悠?y1)(習(xí)?y2)(端(x1，x2，y1，y2∈S∧x1Ex2∧y1Ey2)→饅(x1⊙y1)E(x2⊙y2))。E為<S，⊙>中的堪同余兇關(guān)系依：E有代眉換性誕質(zhì)。拋與此陜同時(shí)摟，稱茄同余送關(guān)系E的等凱價(jià)類臘為同余配類。6.清5商代藥數(shù)例6.脹38：給定<Z，+，*>，其風(fēng)中Z是整蝴數(shù)集歷合，+和*是一角般意暮義下澆的加箭法和靠乘法殃。假穴設(shè)Z中的怒關(guān)系R定義左如下踏：?jiǎn)?，R是該歸結(jié)構(gòu)浩的同耐余關(guān)調(diào)系嗎駱，為片什么趟？6.普5商代輪數(shù)定義6.艱9：給定<S，⊙>及其贈(zèng)上的證同余額關(guān)系E，且表由E對(duì)S所產(chǎn)喘生同閥余類剪所構(gòu)迫成一法個(gè)商滿集S/拔E。若剝?cè)赟/濤E中定釘義運(yùn)她算*如下竟：[x穴]E摔*辭[y雜]E控=器[魚(yú)x⊙y]竭E其中[x問(wèn)]E，[y添]E∈S/芝E于是<S靠/E，*>構(gòu)成輩了一荒個(gè)代鉆數(shù)結(jié)科構(gòu)，過(guò)則稱<S輩/E，*>為代螞數(shù)結(jié)湊構(gòu)<S，⊙>的商代遇數(shù)。例6.室39給定<N，+>，其桌中N是自塞然數(shù)農(nóng)集合熟，+是一魂般意婚義下嶺加法廢。又截知<Zm，+m>其中拒，Zm={五0,泊1，，m-擠1}，+m為模m加法穴。并謹(jǐn)且在N中定善義關(guān)紫系E：試證鋪明E為<N，+>中的孕同余毫關(guān)系靜，并貝給出踢與E相關(guān)笨的自織然同途態(tài)映賀射gE。6.禮6積代咸數(shù)定義6.只11：設(shè)<S，⊙>與<T，*>是同嬌類型班的，酸而<S愧×T，?>成為姓新的堤代數(shù)僻結(jié)構(gòu)月，其劣中S×擇T是集嗚合S和集膝合T的笛租卡兒炕積，乘且?定義雕如下梁：<s1，t1>?<s2，t2>團(tuán)=