中考數(shù)學(xué)：第四講-一元一次方程、分式方程、二元一次方程組的概念及應(yīng)用

——中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四講一元一次方程、分式方程、二元一次方程組的概念及其應(yīng)用主要考點(diǎn)：1.一元一次方程的概念及其解法；2.二元一次方程組的概念及其解法；3.一次方程（組）的應(yīng)用；4.分式方程及其應(yīng)用?？键c(diǎn)一、一元一次方程的概念及其解法1.方程含有未知數(shù)的等式叫做方程。2.方程的解能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。3.等式的性質(zhì)（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式即:若a=b,則a±c=b±c;（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式即：若a=b,c≠0,則ac=bc,【特別提醒】只要符合“含有未知數(shù)的等式”就叫做方程，不管它有解還是無(wú)解，因此x+1=x-1也是方程。例：8x，4x+y，3x+7>12都不是方程；2x+4=9，4.一元一次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng)。5.解一元一次方程的一般步驟步驟具體做法注意事項(xiàng)去分母若未知數(shù)的系數(shù)為分?jǐn)?shù),則去分母不要漏乘不含分母的項(xiàng)去括號(hào)若方程中有括號(hào),先去括號(hào)括號(hào)前是負(fù)號(hào)時(shí),去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)均要變號(hào)移項(xiàng)把含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的一邊,其他項(xiàng)移到等號(hào)的另一邊移項(xiàng)要變號(hào)合并同類項(xiàng)把方程化成ax=b(a≠0)的形式系數(shù)相加,字母及其指數(shù)均不變系數(shù)化為1方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)a,得到方程的解x=b分子、分母不要顛倒【特別提醒】一元一次方程只有一個(gè)根。解方程后要代回去檢驗(yàn)解是否正確；當(dāng)遇到方程中反復(fù)出現(xiàn)相同的部分時(shí)，可以將這個(gè)相同部分看作一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，從而使運(yùn)算簡(jiǎn)便。【中考真題】1.(2017·湖南永州)x=1是關(guān)于x的方程2x-a=0的解,則a的值是(B)A.-2 B.2 C.-1 D.12.(2017·內(nèi)蒙古赤峰)正整數(shù)x,y滿足(2x-5)(2y-5)=25,則x+y等于(A)A.18或10 B.18 C.10 D.263.(2016·廣東廣州)解方程:5x=3(x-4).解析：去括號(hào),得5x=3x-12.移項(xiàng),得5x-3x=-12.合并同類項(xiàng),得2x=-12.系數(shù)化為1,得x=-6.2.（2018·安徽）《孫子算經(jīng)》中有過(guò)樣一道題，原文如下：“今有百鹿入城，家取一鹿不盡，又三家共一鹿適盡，問(wèn)城中家?guī)缀?？”大意為：今?00頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒(méi)有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問(wèn)城中有多少戶人家？請(qǐng)解答上述問(wèn)題。解：設(shè)城中有x戶人家，由題意得x+x=100，解得x=75答：城中有75戶人家.3.（2018·湖北黃岡）在端午節(jié)來(lái)臨之際，某商店訂購(gòu)了型和型兩種粽子，型粽子元/千克，型粽子元/千克，若型粽子的數(shù)量比型粽子的倍少千克，購(gòu)進(jìn)兩種粽子共用了元，求兩種型號(hào)粽子各多少千克.解：設(shè)型粽子千克，型粽子千克，由題意得：解得：，并符合題意.答：型粽子千克，型粽子千克?？键c(diǎn)四、分式方程及其應(yīng)用1.分式方程分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母（2）解所得的整式方程（3）驗(yàn)根：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。3.分式方程的特殊解法換元法：換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時(shí)，可考慮用換元法。4.列分式方程解應(yīng)用題的常見(jiàn)類型分式方程的應(yīng)用題主要涉及工程問(wèn)題、工作量問(wèn)題、行程問(wèn)題等，每個(gè)問(wèn)題中涉及三個(gè)量的關(guān)系，如：工作時(shí)間=工作總量工作效率，時(shí)間=路程速度。如果工作總量和路程是已知條件，另外的兩個(gè)量又分別具有某種等量關(guān)系，5.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟列分式方程解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的步驟基本相同：審題、設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程、解方程、檢驗(yàn)、作答。不同點(diǎn)：一是列分式方程解應(yīng)用題是用分式表示數(shù)量間的等量關(guān)系；二是列分式方程解應(yīng)用題必須驗(yàn)根，既要檢驗(yàn)是否為分式方程的增根(增根應(yīng)舍去)，又要看是否滿足應(yīng)用題的實(shí)際意義?！咎貏e提醒】解分式方程必須驗(yàn)根,一般方法為把所解得的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母,若為零則為増根,不為零則為原分式方程的解；如果是應(yīng)用題，還要看是否滿足應(yīng)用題的實(shí)際意義?！局锌颊骖}】1.（2017·四川眉山）解方程:1x-2+2解:方程兩邊同乘x-2,得1+2(x-2)=x-1,解得x=2,經(jīng)檢驗(yàn),x=2是增根,原方程無(wú)解。2.（2018·江蘇南京）劉阿姨到超市購(gòu)買大米，第一次按原價(jià)購(gòu)買，用了元。幾天后，遇上這種大米折出售，她用元又買了一些，兩次一共購(gòu)買了kg。這種大米的原價(jià)是多少？解：設(shè)這種大米的原價(jià)為每千克元，根據(jù)題意，得.解這個(gè)方程，得.經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解.答：這種大米的原價(jià)為每千克元。3.（2018·廣東）某公司購(gòu)買了一批A、B型芯片，其中A型芯片的單價(jià)比B型芯片的單價(jià)少9元，已知該公司用3120元購(gòu)買A型芯片的條數(shù)與用4200元購(gòu)買B型芯片的條數(shù)相等．（1）求該公司購(gòu)買的A、B型芯片的單價(jià)各是多少元？（2）若兩種芯片共購(gòu)買了200條，且購(gòu)買的總費(fèi)用為6280元，求購(gòu)買了多少條A型芯片？解：（1）設(shè)B型芯片的單價(jià)為x元/條，則A型芯片的單價(jià)為（x﹣9）元/條，根據(jù)題意得：=，解得：x=35，經(jīng)檢驗(yàn)，x=35是原方程的解，∴x﹣9=26．答：A型芯片的單價(jià)為26元/條，B型芯片的單價(jià)為35元/條。（2）設(shè)購(gòu)買a條A型芯片，則購(gòu)買（200﹣a）條B型芯片，根據(jù)題意得：26a+35（200﹣a）=6280，解得：a=80．答：購(gòu)買了80條A型芯片。【本講小結(jié)】列方程解應(yīng)用題，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。應(yīng)用題是考試中區(qū)分度較高的題目，是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，它綜合考察了學(xué)生的閱讀理解、題意轉(zhuǎn)化表達(dá)、計(jì)算等多種綜合能力。在初中七年級(jí)階段，數(shù)學(xué)應(yīng)用題題目涉及到很多實(shí)際生活中的例子，例如：分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題、銷售利潤(rùn)問(wèn)題等。應(yīng)用題百變，然而萬(wàn)變不離其宗，只要掌握多個(gè)解題模型，就可以做到百戰(zhàn)不殆了。【隨堂練習(xí)】1.方程2x＋3＝7的解是(D)A．x＝5B．x＝4C．x＝3.5D．x＝22.若x＝2是關(guān)于x的方程2x＋3m－1＝0的解，則m的值為(A)A．－1B．0C．1D.eq\f(1,3)3.利用消元法解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝－10，①,5x－3y＝6，②))下列做法正確的是(D)A．要消去y，可以將①×5＋②×2B．要消去x，可以將①×3＋②×(－5)C．要消去y，可以將①×5＋②×3D．要消去x，可以將①×(－5)＋②×24.若x，y滿足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝7，,3x＋y＝5，))則x－y的值等于(A)A．－1B．1C．2D．35.已知甲、乙兩數(shù)的和是7，甲數(shù)是乙數(shù)的2倍．設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，根據(jù)題意，列方程組正確的是(A)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7,x＝2y))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7,y＝2x))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝7,x＝2y))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝7,y＝2x))6.已知關(guān)于x，y的方程x2m－n－2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，則m，n的值為(A)A．m＝1，n＝－1B．m＝－1，n＝1C．m＝eq\f(1,3)，n＝－eq\f(4,3)D．m＝－eq\f(1,3)，n＝eq\f(4,3)7.某車間有26名工人，每人每天可以生產(chǎn)800個(gè)螺釘或1000個(gè)螺母，1個(gè)螺釘需要配2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套．設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺釘，則下面所列方程正確的是(C)A．2×1000(26－x)＝800xB．1000(13－x)＝800xC．1000(26－x)＝2·800xD．1000(26－x)＝800x8.為了豐富學(xué)生課外小組活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力，王老師讓學(xué)生把5m長(zhǎng)的彩繩截成2m或1m長(zhǎng)的彩繩，用來(lái)做手工編織，在不造成浪費(fèi)的前提下，你有幾種不同的截法(C)A．1B．2C．3D．49.某加工車間共有26名工人，現(xiàn)要加工2100個(gè)A零件，1200個(gè)B零件，已知每人每天加工A零件30個(gè)或B零件20個(gè)，問(wèn)怎樣分工才能確保同時(shí)完成兩種零件的加工任務(wù)(每人只能加工一種零件)？設(shè)安排x人加工A零件，由題意列方程得(A)A.eq\f(2100,30x)＝eq\f(1200,20（26－x）)B.eq\f(2100,x)＝eq\f(1200,26－x)C.eq\f(2100,20x)＝eq\f(1200,30（26－x）)D.eq\f(2100,x)×30＝eq\f(1200,26－x)×2010.一件服裝的標(biāo)價(jià)為300元，打八折銷售后可獲利60元，則該件服裝的成本價(jià)是180元．11.解方程：eq\f(x,x－7)－eq\f(1,7－x)＝2.解：去分母，得x＋1＝2(x－7)．解得x＝15.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原方程的解．∴原方程的解是x＝15．12.解方程：eq\f(x,6)－eq\f(30－x,4)＝5.解：去分母，得2x－3(30－x)＝60.去括號(hào)，得2x－90＋3x＝60.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得5x＝150.解得x＝30.13.為了響應(yīng)“十三五”規(guī)劃中提出的綠色環(huán)保的倡議，某校文印室提出了每個(gè)人都踐行“雙面打印，節(jié)約用紙”．已知打印一份資料，如果用A4厚型紙單面打印，總質(zhì)量為400克，將其全部改成雙面打印，用紙將減少一半；如果用A4薄型紙雙面打印，這份資料的總質(zhì)量為160克，已知每頁(yè)薄型紙比厚型紙輕0.8克，求A4薄型紙每頁(yè)的質(zhì)量．(墨的質(zhì)量忽略不計(jì))解：設(shè)A4薄型紙每頁(yè)的質(zhì)量為x克，則A4厚型紙每頁(yè)的質(zhì)量為(x＋0.8)克，根據(jù)題意，得eq\f(400,x＋0.8)＝eq\f(160,x)×2.解得x＝3.2.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3.2是原分式方程的解，且符合題意．答：A4薄型紙每頁(yè)的質(zhì)量為3.2克．14．一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成．現(xiàn)在兩隊(duì)合作3天，余下的由乙單獨(dú)完成．問(wèn)開(kāi)始到完工共用了多少天時(shí)間？解：設(shè)余下的由乙單獨(dú)完成用了x天，由題意，得(eq\f(1,10)＋eq\f(1,30))×3＋eq\f(1,30)x＝1.解得x＝18.18＋3＝21.答：開(kāi)始到完工共用了21天時(shí)間．15.為了響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，某校計(jì)劃為學(xué)校足球隊(duì)購(gòu)買一批足球，已知購(gòu)買2個(gè)A品牌的足球和3個(gè)B品牌的足球共需380元；購(gòu)買4個(gè)A品牌的足球和2個(gè)B品牌的足球共需360元．(1)求A，B兩種品牌的足球的單價(jià)；(2)求該校購(gòu)買20個(gè)A品牌的足球和2個(gè)B品牌的足球的總費(fèi)用．解：(1)設(shè)A品牌的足球的單價(jià)為x元，B品牌的足球的單價(jià)為y元．依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝380，,4x＋2y＝360.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝40，,y＝100.))答：A，B兩種品牌的足球的單價(jià)分別為40元，100元．(2)20×40＋2×100＝1000(元)．答：該校購(gòu)買20個(gè)A品牌的足球和2個(gè)B品牌的足球的總費(fèi)用是1000元．16．若－2amb4與5an＋2b2m＋n可以合并成一項(xiàng)，則mn的值是(D)A．2B．0C．－1D．117.已知關(guān)于x，y的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝k，,x＋2y＝－1))的解互為相反數(shù)，則k的值是－1．18.A，B兩地相距25千米，甲、乙兩人同時(shí)從A地去B地，甲騎車乙步行，甲的速度是乙的速度的3倍，甲到達(dá)B地停留40分鐘，然后從B地返回A地，在途中遇見(jiàn)乙，這時(shí)距他們出發(fā)的時(shí)間恰好3小時(shí)，問(wèn)甲、乙兩人的速度各是多少？解：設(shè)乙的速度為x千米/時(shí)，則甲的速度為3x千米/時(shí)．依題意得(3－eq\f(40,60)