理學68二重積分

二重積分的計算（一)二重積分在直角坐標系下的計算在直角坐標系二重積分的計算化二重積分為二次積分或累次積分把二重積分化為二次積分的關鍵：（1）選擇積分次序（2）確定定積分的上、下限

根據積分區(qū)域D的圖形和被積函數(shù)f(x,y)的特點

從左端點a值到右端點b值.累次積分中積分限的確定方法yxabyxdc區(qū)域D為X-型區(qū)域區(qū)域D為Y-型區(qū)域

從穿入的邊界方程作為下限，穿出的邊界方程作為上限.第二次積分:第一次積分:

從左端點c值到右端點d值.

從穿入的邊界方程作為下限，穿出的邊界方程作為上限.第二次積分:第一次積分:X-型積分Y-型積分

在計算二重積分時，甚至是積分區(qū)域D造成的困難是主要的。有時而且還在于積分區(qū)域D,求積分的困難不僅在于例

計算其中xyo因此,針對不同形狀的積分區(qū)域D以及被積函數(shù)的特點,選擇不同的坐標系來計算二重積分是一個很重要的問題.被積函數(shù)

一般地,當二重積分的積分區(qū)域D的邊界通常采用極坐標變換,就可使二重積分的計算或被積函數(shù)用極坐標表示更加方便扇形等）（如被積函數(shù)為

等時，大大得以簡化。曲線用極坐標表示更加簡單（如D為圓形、環(huán)形、極軸X極點Orxy

如果選取以直角坐標系的原點O為極點，以x軸為極軸，原點Ox軸用以極點O為中心的一族同心圓,1.利用極坐標系計算二重積分

設過極點O的射線與積分區(qū)域D的邊界曲線的交點不多于兩點，把區(qū)域D分成n個小區(qū)域，在極坐標系下，以及從極點出發(fā)的一族射線,在直角坐標系下在極坐標系下如何表示？極坐標系下的面積微元則得面積微元為所以，

于是得到直角坐標系下與極坐標系下二重積分的轉換公式

如何計算極坐標系下的二重積分？化為二次積分或累次積分來計算這樣二重積分在極坐標系下的表達式為

在極坐標系下化二重積分為二次積分或累次積分，同樣要解決下面兩個問題：（2）確定積分的上、下限（1）選擇積分次序化為二次積分或累次積分來計算2.極坐標系下化二重積分為二次積分(1)若極點O在區(qū)域D

之外則有

(2)極點O在區(qū)域D的邊界線上D:則有xoxoDD（只研究先對r后對θ的積分次序）下面根據極點O與區(qū)域D的位置分三種情況討論(3)若極點O在區(qū)域D的內部則有D:或被積函數(shù)為f(x2+y2)、利用極坐標計算二重積分積分特征xo利用極坐標常能簡化計算.如果積分區(qū)域D為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域等，D等形式，3.極坐標下二重積分計算的基本步驟

(1)將直角坐標系下的二重積分轉化為極坐標系下的二重積分.①將

代入被積函數(shù),②將區(qū)域D

的邊界曲線換為極坐標系下的表達式，確定相應的積分限.

將面積元素dxdy換為

.2.將極坐標系下的二重積分轉化為二次積分.3.計算二次積分.則例1

計算其中解故

注：由于的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角坐標計算.xyo在極坐標系下

例2

計算二重積分

其中區(qū)域D為由x=0及

x2+y2=2y圍成的第一象限內的區(qū)域.解D的邊界曲線為x2+y2=2y，此時D可以表示為xyo其極坐標表達式例3

計算積分積分域是圓環(huán)，xyo解D：解故

例5

計算

,其中D是由不等式

所確定的區(qū)域.解極點在區(qū)域D的邊界曲線上.曲線的極坐標方程為曲線的極坐標方程為因此xyor=2.解因為被積函數(shù)為偶函數(shù),例6

求廣義積分所以，不能直接用一元函數(shù)的廣義積分計算。(泊松積分）又因為被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),令利用極坐標計算H，所以D正態(tài)分布

當積分區(qū)域由直線和除圓以外的其它曲線圍成時，

一般說來，當積分區(qū)域為圓形、扇形、環(huán)形區(qū)域，

選取適當?shù)淖鴺讼祵τ嬎愣胤e分的計算是至關重要的.而被積函數(shù)中含有

項時,選擇坐標系選擇積分次序二重積分計算過程通常選擇在直角坐標系下計算.

下的計算方法往往比較簡便.二重積分計算方法總結：化為累次積分計算累次積分二重積分可在兩種坐標系中的計算.采用極坐標系四、二重積分的幾何應用1.平面圖形的面積

由二重積分的幾何意義可知，xyD

利用二重積分的幾何意義可以求解平面圖形的面積(為平面圖形的面積值）表示成二重積分

可成的平面區(qū)域D的面積值，xOy平面上封閉曲線所圍和空間幾何體的體積.

例求由曲線

所圍成的區(qū)域的面積.

解xy2-6作出區(qū)域的圖形，所求面積為

解2利用定積分求面積，2.幾何體的體積

(1)以連續(xù)曲面

為頂，有界閉區(qū)域D為底的曲頂柱體體積為

(2)由連續(xù)曲面所圍成的幾何體的體積為zxyzxy

例用二重積分計算由平面和三個坐標平面所圍成的四面體的體積.解xzy由二重積分幾何意義知所求四面體體積為yx232x+3y+z=6

例求橢圓拋物面與平面所圍成的立體體積.

考慮到圖形的對稱性，xyz解只需計算第一卦限部分即可，畫出曲面所圍立體的圖形,xy22Ｏ在極坐標系下計算xy22Ｏ顯然，該題利用極坐標系來計算要簡便。

例求由錐面與橢圓拋物面所圍立體的體積.解消去z得投影區(qū)域邊界為xyz由xyo練習：解

故所求的立體的體積為xyo12.因曲面是由得兩曲面的公共面為有則解故曲面方程為由因曲面是由xyo旋轉（橢圓）拋物面一、二重積分在極坐標系中的計算小結作業(yè)：P747（