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文檔簡介

2、數(shù)學歸納法：

我們知道，有一些命題是和正整數(shù)有關的，如果這個命題的情況有無限種，那么我們不可能用完全歸納法逐一進行證明，而不完全歸納法又不可靠，怎么辦？----用數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)n有關命題的步驟是：（1）證明當取第一個值（如或2等）時結(jié)論正確；

（2）假設時結(jié)論正確，證明時結(jié)論也正確.(歸納假設必須用到).歸納奠基歸納遞推(3)下結(jié)論：命題A對于所有的都成立。例1、用數(shù)學歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2（n∈N*）.

證明：

②假設n=k(k∈N,k≥1)時等式成立,即：

1+3+5+……+(2k-1)=k2，

當n=k+1時：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2

所以當n=k+1時等式也成立。

由①和②可知，對n∈，原等式都成立。①當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立。1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，重點：兩個步驟、一個結(jié)論；注意：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。1、三個步驟缺一不可:第一步是是奠基步驟，是命題論證的基礎，稱之為歸納基礎；第二步是歸納步驟，是推理的依據(jù)，是判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般,它反映了無限遞推關系,其中“假設n=k時成立”稱為歸納假設(注意是“假設”，而不是確認命題成立)。如果沒有第一步，第二步就沒有了意義；如果沒有第二步，就成了不完全歸納，結(jié)論就沒有可靠性；第三步是總體結(jié)論，也不可少。2、在第二步的證明中必須用到前面的歸納假設，否則就不是數(shù)學歸納法了。3、數(shù)學歸納法只適用于和正整數(shù)有關的命題。由以上可知，用數(shù)學歸納法需注意：

例2.求證：當時，

①當n=2時顯然成立②假設當n=k（）時不等式成立

即

當n=k+1時，左邊=

=>=>即當n=k+1時，不等式亦成立。

我們用數(shù)學歸納法證明.①當n＝1時，c1＝0<2，不等式成立；那么，當n＝k＋1時，

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