信道編碼和差錯控制

信道編碼和差錯控制概述信道編碼：目的：提高信號傳輸?shù)目煽啃?。方法：增加多余比特，以發(fā)現(xiàn)或糾正錯誤。差錯控制：包括信道編碼在內(nèi)的一切糾正錯誤手段。產(chǎn)生錯碼的原因：乘性干擾引起的碼間串?dāng)_加性干擾引起的信噪比降低信道分類：按照加性干擾造成錯碼的統(tǒng)計特性不同劃分隨機信道：錯碼隨機出現(xiàn)，例如由白噪聲引起的錯碼突發(fā)信道：錯碼相對集中出現(xiàn)，例如由脈沖干擾引起的錯碼?；旌闲诺?差錯控制技術(shù)的種類：檢錯重發(fā)：能發(fā)現(xiàn)錯碼，但是不能確定錯碼的位置。通信系統(tǒng)需要有雙向信道。前向糾錯(FEC)：利用加入的差錯控制碼元，不但能夠發(fā)現(xiàn)錯碼，還能糾正錯碼。反饋校驗：將收到的碼元轉(zhuǎn)發(fā)回發(fā)送端，將它和原發(fā)送碼元比較。缺點：需要雙向信道，傳輸效率也較低。檢錯刪除：在接收端發(fā)現(xiàn)錯碼后，立即將其刪除。適用在發(fā)送碼元中有大量多余度，刪除部分接收碼元不影響應(yīng)用之處。2自動要求重發(fā)(ARQ)系統(tǒng)停止等待ARQ系統(tǒng)拉后ARQ系統(tǒng)停止等待ARQ系統(tǒng)接收數(shù)據(jù)ACKACKNAKACKACKNAKACK1233455t發(fā)送數(shù)據(jù)12334556t有錯碼組有錯碼組拉后ARQ系統(tǒng)214365798接收數(shù)據(jù)有錯碼組有錯碼組91011101112576ACK1NAK5NAK9ACK55769521436798發(fā)送數(shù)據(jù)1011101112重發(fā)碼組重發(fā)碼組3選擇重發(fā)ARQ系統(tǒng)ARQ和FEC比較：優(yōu)點監(jiān)督碼元較少，即碼率較高檢錯的計算復(fù)雜度較低能適應(yīng)不同特性的信道缺點需要雙向信道。不適用于一點到多點的通信系統(tǒng)或廣播系統(tǒng)。傳輸效率降低，可能因反復(fù)重發(fā)而造成事實上的通信中斷。選擇重發(fā)ARQ系統(tǒng)9接收數(shù)據(jù)有錯碼組有錯碼組21436575981011131412發(fā)送數(shù)據(jù)995852143671011131412重發(fā)碼組重發(fā)碼組NAK9ACK1NAK5ACK5ACK9410.2糾錯編碼的基本原理分組碼舉例設(shè)：有一種由3個二進制碼元構(gòu)成的編碼，它共有23=8種 不同的可能碼組： 000–晴001–云010–陰011–雨 100–雪101–霜110–霧111–雹 這時，若一個碼組中發(fā)生錯碼，則將收到錯誤信息。若在此8種碼組中僅允許使用4種來傳送天氣，例如：令 000–晴011–云101–陰110–雨 為許用碼組，其他4種不允許使用，稱為禁用碼組。 這時，接收端有可能發(fā)現(xiàn)（檢測到）碼組中的一個錯碼。這種編碼只能檢測錯碼，不能糾正錯碼。若規(guī)定只許用兩個碼組：例如 000–晴111–雨 就能檢測兩個以下錯碼，或糾正一個錯碼。 5分組碼概念分組碼＝信息位＋監(jiān)督位分組碼符號：(n,k) 其中，n－碼組總長度，

k－信息碼元數(shù)目。

r=n–k－監(jiān)督碼元數(shù)目。 右表中的碼組為(3,2)碼。分組碼的一般結(jié)構(gòu)：分組碼的參數(shù)：碼重：碼組內(nèi)“1”的個數(shù)碼距：兩碼組中對應(yīng)位取值不同的位數(shù)，又稱漢明距離最小碼距(d0)：各碼組間的最小距離信息位監(jiān)督位晴000云011陰101雨110k個信息位r個監(jiān)督位an-1an-2...arar-1an-2...a0t碼長n=k+r分組碼的結(jié)構(gòu)6編碼序列的參數(shù)n－編碼序列中總碼元數(shù)量k－編碼序列中信息碼元數(shù)量r－編碼序列中差錯控制碼元數(shù)量 （差錯控制碼元，以后稱為監(jiān)督碼元或監(jiān)督位）k/n－碼率(n-k)/k=r/k－冗余度7碼距的幾何意義：以n=3的編碼為例一般而言，碼距是n維空間中單位正多面體頂點之間的漢明距離。(0,0,0)(0,0,1)(1,0,1)(1,0,0)(1,1,0)(0,1,0)(0,1,1)(1,1,1)a2a0a18一種編碼的糾檢錯能力：決定于最小碼距d0的值。為了能檢測e個錯碼，要求最小碼距為了能糾正t個錯碼，要求最小碼距0123BA漢明距離ed0碼距等于3的兩個碼組BtA漢明距離012345td0碼距等于5的兩個碼組9為了能糾正t個錯碼，同時檢測e個錯碼，要求最小碼距 糾檢結(jié)合工作方式：當(dāng)錯碼數(shù)量少時，系統(tǒng)按前向糾錯方式工作，以節(jié)省重發(fā)時間，提高傳輸效率；當(dāng)錯碼數(shù)量多時，系統(tǒng)按反饋重發(fā)的糾錯方式工作，以降低系統(tǒng)的總誤碼率。AB1tt漢明距離e碼距等于(e+t+1)的兩個碼組1010.3糾錯編碼系統(tǒng)的性能10.3.1誤碼率性能和帶寬的關(guān)系 采用編碼降低誤碼率 所付出的代價是帶寬的增大。10-610-510-410-310-210-1編碼后Eb/n0(dB)編碼和誤碼率關(guān)系PeCDEAB2PSK1110.3.2功率和帶寬的關(guān)系 采用編碼以節(jié)省功率，并保持誤碼率不變，付出的代價也是帶寬增大。10-610-510-410-310-210-1編碼后Eb/n0(dB)編碼和誤碼率關(guān)系PeCDEAB2PSK12

10.3.3傳輸速率和帶寬的關(guān)系 對于給定的傳輸系統(tǒng)，其傳輸速率和Eb/n0的關(guān)系： 式中，RB－碼元速率。 提高傳輸速率，采用編 碼以保持誤碼率不變；付出 的代價仍是帶寬增大。10-610-510-410-310-210-1編碼后Eb/n0(dB)編碼和誤碼率關(guān)系PeCDEAB2PSK1310.3.4編碼增益 定義：在保持誤碼率恒定條件下，采用糾錯編碼所節(jié)省的信 噪比Eb/n0稱為編碼增益： 式中，(Eb/n0)u－未編碼時的信噪比(dB)； (Eb/n0)c－編碼后所需的信噪比(dB)。1410.4奇偶監(jiān)督碼

10.4.1一維奇偶監(jiān)督碼奇偶監(jiān)督碼－分為奇數(shù)監(jiān)督碼和偶數(shù)監(jiān)督碼兩類。在奇偶監(jiān)督碼中，監(jiān)督位只有1位，故碼率等于k/(k+1)。偶數(shù)監(jiān)督碼中，此監(jiān)督位使碼組中“1”的個數(shù)為偶數(shù)： 式中，a0為監(jiān)督位，其他位為信息位。奇數(shù)監(jiān)督碼中，此監(jiān)督位使碼組中“1”的個數(shù)為奇數(shù)：15檢錯塞能力誤－察能掉夠檢圖測奇跌數(shù)個輝錯碼鋤。設(shè)：股碼組泉長度廉為n，碼組研中各本個錯大碼的羽發(fā)生煙是獨庫立的考和等狹概率遷的，則在盆一個是碼組及中出戴現(xiàn)j個錯割碼的態(tài)概率謀為式中棉，—為在n個碼顏元中劉有j個錯叮碼的雄組合仆數(shù)。奇偶漲監(jiān)督依碼不劈燕能檢塵測碼慨組中扇出現(xiàn)下的偶淘數(shù)個覆錯碼淚，所廢以在活一個撈碼組陡中有奮錯碼惰而不睜能檢脂測的再概率過等于:－誰當(dāng)n為偶很數(shù)時－聾當(dāng)n為奇溝數(shù)時16[例]右表勢中的水編碼痕是偶畫數(shù)監(jiān)澤督碼愁。設(shè)信菜道的萬誤碼動率為10-4，錯銀碼的腰出現(xiàn)是膠獨立屯的。笑試計握算其雅不能迎檢測的誤雕碼率邊。將給賄定條真件代己入式計算環(huán)得出由計畫算結(jié)野果可漸見，促糾錯仿編碼所可以烈將誤賓碼率獻從10-4降低規(guī)到10-8量級汗，顯色著提敵高了乖通信痕的可積靠性趕，效幸果非爹常明田顯。信息位監(jiān)督位晴000云011陰101雨1101710晉.4棟.2二維掛奇偶遷監(jiān)督勵碼碼率秋等于有可匙能檢臉測偶四數(shù)個古錯碼適合隙檢測乘突發(fā)詢錯碼能夠慰糾正監(jiān)部分捕錯碼1810奏.5線性粉分組羊碼基本遮概念代數(shù)咬碼兆－付利用部代數(shù)階關(guān)系粥式產(chǎn)紋生監(jiān)宿督位則的編比碼線性究分組虎碼繭－偽代數(shù)妥碼的后一種板，其監(jiān)督削位和蹈信息畝位的稀關(guān)系饑由線憲性代散數(shù)方罷程決攪定漢明愉碼員－陽一種寧能夠榨糾正皺一個墻錯碼辯的線冰性分燥組碼校正利子：在偶超數(shù)監(jiān)找督碼紅中，夢計算實際井上就弊是計袋算并檢別驗S是否須等于0。S稱為賓校正拔子。監(jiān)督旅關(guān)系凡式：19糾錯告基本榜原理中，S只有社兩種解取值粉，故膀只能叛表示籃有錯購和無繡錯，亂而不劑能進副一步敢指明堅錯碼蓋的位詞置。若此和碼組鋒長度襖增加肥一位議，則沿能增疏加一銷個監(jiān)朱督關(guān)完系式紐奉。這馬樣，霜就能秀得到置兩個涼校正敗子。盟兩個賭校正渾子的俘可能亡取值瞎有4種組攝合，熊即00，01，10，11，故凱能表兼示4種不況同的麗信息繼。若晌用其枕中一庸種組秋合表已示無基錯碼宋，則丘還有麻其他3種組漫合可其以用水于指漁明一敏個錯誕碼的3種不澤同位苦置，葛從申而可效以有吼糾錯衰能力斜。一般唱而言予，若殲有r個監(jiān)求督關(guān)路系式桂，則r個校誼正子依可以貌指明軍一個廢錯碼姿的(2查^r–鐮1)個不絮同位禮置。當(dāng)校桂正子絲式可以忍指明動的錯繼碼位旅置數(shù)模目等貪于或喇大于濕碼組刊長度n時，辛才能位夠糾薯正碼盟組中續(xù)任何債一個在位置物上的所錯碼跟，即勾要求20漢明倚碼例：總要求侍設(shè)計牌一個矛能夠塌糾正1個錯玩碼的桂分組洋碼(n,k)，給溫定的幣碼組居中有4個信耐息位姨，即k=刑4。由這時稼要求路監(jiān)督亦位數(shù)r3。若憂取r=綠3，則n=k+r=鎖7?，F(xiàn)隨在用a6a5a4a3a2a1a0表示星這7個碼造元，喇用S1S2S3表示蜻校正聾子，倘則這3個校剪正子友恰好洽能夠碌指明23–社1價=民7個錯躺碼的何位置澡。若規(guī)乘定校抵正子喂和錯圣碼位匆置的甩關(guān)系窗如下乘表，連則僅躍當(dāng)在a6,a5,a4,a2位置表上有策錯碼賓時，很校正擺子S1的值造才等陽于1；否孝則S1的值父為零植。這孫就意圍味著a6a5a4a2四個嬌碼元艇構(gòu)成事偶數(shù)誦監(jiān)督昨關(guān)系綱：同理躺，有S1S2S3錯碼位置S1S2S3錯碼位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000無錯碼21在編口碼時予，信浸息位a6a5a4a3的值展決定寺于輸滔入信避號，施它們省是隨控機的胖。監(jiān)少督位a2a1a0是按析監(jiān)督椅關(guān)系島確定魂的，扯應(yīng)該坑保證籠上列3式中剃的校嗓正子宰等于0，即門有給定默信息哲位后香，為侵了計算輕監(jiān)督年位，逆上式坑可以改以寫為按照潔上式商計算名結(jié)果展為信息位a6a5a4a3監(jiān)督位a2a1a0信息位a6a5a4a3監(jiān)督位a2a1a0000000010001110001011100110000101011010010001111010110010100110110000101011011101010011001111101000111000111111122在接沿收端菌解碼嫩時，罰對于奴每個慌接收鑼碼組榜，先明按式計算浴出校偵正子S1，S2和S3，然伸后按癢照表判斷頂錯碼烤的位奴置。例：眨若接婆收碼日組為00件00扁01遙1，則兩按上已三式許計算隆得到勵：S1=盾0，S2=協(xié)1，S3=購1。這丸樣，可由上蹦表可板知，敞錯碼程位置無在a3。S1S2S3錯碼位置S1S2S3錯碼位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000無錯碼23上例脾中的舟漢明服碼是(7需,膜4)碼，允其最凱小碼帶距d0=洋3。由式可知水，此武碼能遙夠檢品測2個錯艷碼，終或糾起正1個錯徑碼。漢明捏碼的壞碼率乞：當(dāng)r(或n)很大喜時，捐上式篇趨近家于1。所中以漢店明碼地是一俗種高餡效編波碼。24分組涼碼的概一般膠原理線性歌分組梁碼的油監(jiān)督燃位和掠信息擴位的倉關(guān)系可以衫改寫車為上式應(yīng)中，向已經(jīng)麥將“”簡屯寫成南“+”。25監(jiān)督而矩陣上式神可以撇寫成柏矩陣溫形式閘：（模2）將上灑式簡瘡寫為HAT=攪0T或AHT=尸026HAT=有0T式中馳，－競稱為挖監(jiān)督啊矩陣監(jiān)督櫻矩陣病的性寄質(zhì)監(jiān)督心矩陣H確定罰碼組匪中的井信息掙位和站監(jiān)督納位的扯關(guān)系已。H的行怖數(shù)就賠是監(jiān)爪督關(guān)論系式打的數(shù)威目，徐即監(jiān)斧督位年數(shù)r。H的每誓行中穴“1”的位愧置表蠶示相榴應(yīng)的彼碼元本參與材監(jiān)督筆關(guān)系狗。H可以動分成趨兩部籃分，除例如－典陳型監(jiān)斥督矩伶陣式中扶，P為rk階矩拌陣，Ir為rr階單膨位方莖陣。

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0=[000]27H矩陣閥的各獎行應(yīng)批該是囑線性哲無關(guān)豈的，忙否則詞將得希不到r個線卷性無絡(luò)關(guān)的川監(jiān)督燦關(guān)系第式。若一比個矩上陣能許寫成尺典型膚陣形泰式[PIr]，則且其各狼行一篇定是艷線性很無關(guān)聰?shù)摹Ｉ刹辆仃嚴嚎梢栽鈱憺樯鲜侥w兩端朗分別任轉(zhuǎn)置令后，爽可以澤變成式中訂，Q為kr階矩綢陣，撓是P的轉(zhuǎn)拘置，東即Q=PT28將Q的左腫邊加貞上一獅個k階單照位方方陣，凳稱為頓生成葬矩陣都：－野生撇成矩析陣G稱為銜生成遍矩陣厲，因容為可拉以用膚它產(chǎn)么生整肥個碼藍組A，即醫(yī)有生成寬矩陣棚的性毯質(zhì)具有[IkQ]形式斑的生肝成矩堵陣稱漠為典型闊生成飾矩陣。由典彎型生蒜成矩捕陣得岸出的招碼組A中，渴信息仆位的遭位置靠不變末，監(jiān)變督位糠附加稿于其追后。仿這種贊形式差的碼銀組稱店為系統(tǒng)曾碼。矩陣G的各等行也輪必須簡是線隱性無廳關(guān)的釀。如果狠已有k個線葛性無炭關(guān)的桃碼組假，則胖可以灶將其態(tài)用來齡作為眠生成搞矩陣G，并獲由它棍生成愁其余化碼組常。29錯誤痛圖樣設(shè)：初發(fā)送務(wù)碼組A是一黨個n列的繪行矩艷陣：接收拆碼組榜是一士個n列的殖行矩府陣B：令接匯收碼削組和裁發(fā)送超碼組燥之差財為E就是清錯碼響的行懲矩陣－稱催為錯覆誤圖拾樣式中深，(i=醬0,黃1疑,旁…,n-1喉)若ei=饅0，表乏示該鞋碼元驚未錯桿；若ei=診1，表翠示該蜜碼元癥為錯外碼。B–A=E(模2)30校正期子矩標陣B–A=E可以葡改寫辦成B=A+E上式歌表示丈發(fā)送疲碼組A與錯收碼矩裁陣E之和濫等于仔接收詠碼組B。例如遮，杰若發(fā)迅送碼炕組A=護[1皆0疼0巷0鳴1偉1察1辦]，錯碼巨矩陣E=悲[0壩0般0詳0隱1由0杠0籠]，則堡接園收碼錦組B=氣[1抽0錯0息0忽0恨1例1貞]。在接籃收端肺解碼咬時，喚將接秀收碼別組B代入否式AHT=廟0中A的位鑰置進留行計爪算。慰若接呆收碼炮組中掉無錯拍碼，粥則B=A。代暮入后倘，該雅式仍哈成立貞，即冒有BHT=蕩0只有鈔當(dāng)錯猴碼未防超出教檢測歲能力牌時，葵上式屑才成加立。假設(shè)駐，這而時該糕式的驗右端琴等于S，即肅有BHT=S將B=A+E代入填上式展得到:S=辯(A+E)HT=AHT+EHT31S=糊(A+E)HT=AHT+EHT上式莖右端妙第一糠項等眠于0，所厲以S=EHT－碼校正南子矩澇陣當(dāng)H確定腔后，幟上式隨中S只與E有關(guān)黨，而媽與A無關(guān)壞。這意捏味著茂，S和錯范碼E之間攏有確滿定的熟線性簡變換如關(guān)系連。若S和E有一談一對貧應(yīng)關(guān)鉆系，蘇則S將能圣代表該錯碼看位置柴。線性直碼的羞封閉姐性：午若A1和A2是一悔種線遙性碼題中的章兩個邪碼組辭，則(A1+A2)仍是鐮其中脆一個蝦碼組春。『證』若A1和A2是兩幣個碼情組，地則有文：A1HT=粱0,即A2HT=亞0將上價兩式五相加澇，得斧出A1HT+濟A2HT=(A1+泉A2)HT=怖0所以(A1+A2)也是屬一個件碼組黃。由于牧線性勞碼具齡有封博閉性龍，所祥以兩噴個碼刮組(A1和A2)之間赴的距患離（油即對芽應(yīng)位封不同挖的數(shù)盲目）忙必定聲是另灑一個孟碼組(A1+膜A2)的重滴量（匙即“1”的數(shù)塔目）怖。因概此，都碼的裝最小垂距離落就是你碼的墳最小傍重量有（除庫全“0”碼組術(shù)外）尼。3210廊.6循環(huán)鎮(zhèn)碼10侍.6輛.1循環(huán)尿碼的菠概念顫：循環(huán)裙性是涼指任詠一碼觸組循歌環(huán)一役位后氏仍然加是該碰編碼厘中的圓一個孫碼組沸。例：謹一種(7極,法3)循環(huán)僻碼的丸全部搞碼組無如下表中寄第2碼組備向右這移一吐位即腳得到懇第5碼組轟；第5碼組雅向右彼移一谷位即撒得到盯第7碼組捏。碼組編號信息位監(jiān)督位碼組編號信息位監(jiān)督位A6a5a4a3a2a1a0a6a5a4A3a2a1a0100000005100101120010111610111003010111071100101401110018111001033一般厘情況若(an-1an-2…a0)是循族環(huán)碼盾的一俊個碼根組，丑則循披環(huán)移番位后拜的碼齒組：(an-2an-3…a0an-1)(an-3an-4…an-1an-2)…溜…吩(a0an-1…a2a1)仍然采是該筐編碼壇中的覺碼組孤。多項牧式表浮示法一個布長度尖為n的碼銳組(an-1an-2…a0)可以宵表示噴成上式坡中x的值央沒有瞞任何劑意義昨，僅輩用它寺的冪猾代表巨碼元撥的位貓置。例：什碼組1非1裝0量0戴1昆0粗1可以芹表示魔為3410載.6順.2循環(huán)吐碼的適運算整數(shù)者的按旗模運六算在整茶數(shù)運沿算中膽，有課模n運算疏。例冰如，喉在模2運算代中，挎有1慣+惡1妨=帥20錦(模2)，1膝+楚2仁=慮31反(模2)，23舞=緊60紀(模2)等等卵。一般確說來缸，若凝一個去整數(shù)m可以寸表示憤為式中腫，Q為整攔數(shù)，籍則在價模n運算脖下，肚有mp(模n)所以連，在欺模n運算視下，則一個賤整數(shù)m等于時它被n除得邁的余即數(shù)。35碼多騙項式吉的按桂模運面算若任奮意一診個多逢項式F(x)被一慕個n次多撐項式N(x)除，據(jù)得到餃商式Q(x)和一棒個次械數(shù)小墊于n的余潛式R(x)，即則在甲按模N(x)運算粉下，唉有這時姨，碼糖多項啄式系器數(shù)仍汪按模2運算喝。例1：x3被(x3+嚷1)除，盾得到進余項1，即例2：因為xx3+它1x4+x2+苗1x4+xx2+x+1在模2運算潛中,加法立和減鹿法一尤樣。36循環(huán)購碼的吃數(shù)學(xué)哨表示釘法在循倦環(huán)碼逆中，版設(shè)T(x)是一顏個長紫度為n的碼逝組，攔若則T(x)也是飛該編數(shù)碼中棄的一僑個碼全組。[證]設(shè)一架循環(huán)釣碼為則有上式壩中的T(x)正是矮碼組T(x)向左辨循環(huán)其移位i次的口結(jié)果么。例：訴一曲循環(huán)劃碼為11肥00架10處1，即若給圾定i=越3，則棒有上式請對應(yīng)啄的碼絮組為01篩01綿11踏0，它而正是T(x)向左節(jié)移3位的祖結(jié)果舟。結(jié)論句：一服個長配為n的循盛環(huán)碼繡必定偷為按豎模(xn+根1)運算蠶的一陰個余鮮式。37循環(huán)奴碼的億生成有了暢生成螞矩陣G，就年可以壓由k個信渴息位斜得出餃整個個碼組滔：例：式中忌，生成習(xí)矩陣G的每杜一行覆都是解一個畜碼組蹄。因此傷，若蟻能找酸到k個已冷知的命碼組責(zé)，就舞能構(gòu)善成矩鄰陣G。如杠前所雖述，遺這k個已麻知碼腥組必跪須是獵線性雄不相院關(guān)的奪。在循軌環(huán)碼訪中，思一個(n,k)碼有2k個不怎同的常碼組促。若挽用g(x)表示代其中戚前(k-1提)位皆盡為“0”的碼溉組，研則g(x)，xg(x)，x2g(x)，，xk-狹1g(x)都是掙碼組描，而籌且這k個碼墾組是久線性糊無關(guān)藏的。蜘因此挽它們竊可以慌用來跌構(gòu)成單此循感環(huán)碼剛的生男成矩秒陣G。38在循怪環(huán)碼壘中除潔全“0”碼組榴外，侵再沒捎有連遵續(xù)k位均筒為“0”的碼欣組?？戏駝t肥，在蛙經(jīng)過米若干們次循輕環(huán)移蜓位后理將得堤到k位信朗息位規(guī)全為襯“0”，但坡監(jiān)督鑄位不誕全為鋪“0”的一它個碼旬組。否這在縱線性愛碼中喝顯然記是不拆可能貸的。因此饒，g(x)必須陶是一董個常梨數(shù)項竹不為飛“0”的(n-k)次多毯項式突，而漢且這戀個g(x)還是枕這種(n,k)碼中薯次數(shù)乓為(n–k)的唯遲一一臉個多梁項式團。因沃為如仆果有延兩個倉，則疾由碼翻的封矩閉性薄，把駕這兩雜個相辦加也制應(yīng)該阻是一攻個碼浪組，下且此呼碼組首多項柄式的樂次數(shù)叼將小轟于(n–k)，即釣連續(xù)牽“0”的個擾數(shù)多撓于(k–謝1)。顯資然，鍵這是冊與前姥面的脫結(jié)論為矛盾挎的。我們循稱這包唯一漠的(n–k)次多就項式g(x)為碼充的生爭成多椒項式省。一碧旦確眉定了g(x)，則往整個(n,k)循環(huán)鑼碼就社被確寫定了顏。39因此中，循菌環(huán)碼滾的生面成矩匯陣G可以娛寫成例：上表鴉中的柱編碼滲為(7母,紗3)循環(huán)賞碼，n=紛7,k=螺3,n–k=鏈4，其勸中唯仇一的龜一個(n–k)濃=旺4次碼貪多項眠式代紀表的回碼組殲是第貿(mào)二碼父組00柳10膏11子1，與坊它對架應(yīng)的嫁碼多撲項式氣，即淡生成次多項排式，丸為g(x)抓=x4交+x2緩+x+休1。碼組編號信息位監(jiān)督位碼組編號信息位監(jiān)督位A6a5a4a3a2a1a0a6a5a4A3a2a1a0100000005100101120010111610111003010111071100101401110018111001040g(x)船=x4鏡+x2厭+x+醬1即武“1舉0宇1撞1塊1”將此g(x)代入借上矩珍陣，仙得到或上式孝不符嗚合G=[IkQ]形式剩，所紀以它插不是紋典型植生成航矩陣撒。但漫它經(jīng)刺過線途性變贈換后腰，不圓難化亡成典暮型陣從。此循香環(huán)碼盾組的譽多項推式表低示式T(x)：上式壤表明軌，所聾有碼電多項園式T(x)都能翻夠被g(x)整除吹，而衰且任依意一值個次毒數(shù)不禽大于(k–誓1)的多奴項式訴乘g(x)都是坦碼多霧項式缸。41尋求動碼生咐成多恰項式因為凝任意升一個裕循環(huán)掠碼T(x)都是g(x)的倍貢式，曠故它養(yǎng)可以故寫成T(x)逐=h(x)g(x)而生擊成多記項式g(溝x)本身語也是宇一個戴碼組禽，即雄有T(x)案=g(x)由于嗚碼組T(x)是一蜻個(n–k)次多鴨項式趨，故xkT(x)是一座個n次多隙項式比。由可知修，xkT(x)在模(xn+邀1)運算勻下也影是一話個碼犁組，跡所以桶有上式逆左端派分子戰(zhàn)和分叼母都所是n次多到項式糠，故寺相除賄的商拖式Q(x)儉=擇1。因芽此，曉上式宇可以貍寫成42將T(x)陰=h(x)g(x)和T(x)牙=g(x)代入化簡攜后，渣得到上式覆表明孤，生特成多梁項式g(x)應(yīng)該涼是(xn+殊1)的一后個因謀子。例：(x7+窄1)可以田分解華為為了清求出(7漸,州3)循環(huán)煙碼的瀉生成格多項緩式g(x)，需晨要從詞上式湖中找恒到一裁個(n后–婦k)亭=便4次的改因子季。這解樣的干因子從有兩詢個，雖即以上笑兩式心都可硬以作紹為生掏成多榆項式討。選用顛的生易成多蘆項式如不同抄，產(chǎn)朵生出繼的循慰環(huán)碼主碼組砌也不差同。4310蒸.6塘.3循環(huán)橡碼的種編碼批方法用xn-辛k乘m(x)。這暑一運購算實個際上必是在立信息薪碼后忙附加膏上(n–k)個“0”。例百如，無信息賊碼為11革0，它迅寫成翻多項線式為m(x)益=x2+x。當(dāng)n–k=楚7意–索3置=4時，xn-由km(x)繳=x4(x2+x)燙=x6+x5，它院表示賣碼組11江00床00蜜0。用g(x)除xn-趴km(x)，得酸到商Q(x)和余疼式r(x)，即紙有例：基若選顆定g(x)斜=x4+x2+x+垃1，則火有上式凝是用胸碼多凈項式勁表示挨的運浙算。雀它和奇下式扔等效杜：編出嘉的碼憐組T(x)為：T(x)尾=xn-縫km(x)役+r(x)在上飲例中隙，T(x)腳=習(xí)11酬00遞00會0鉆+川10睜1讓=飛11碧00死10侍14410蚊.6賓.4循環(huán)約碼的盤解碼纖方法在檢陷錯時多：當(dāng)咐接收搏碼組絲式?jīng)]有領(lǐng)錯碼耽時，著接收認碼組R(x)必定劈燕能被g(x)整除男，即相下式中余夕項r(x)應(yīng)為較零；響否則碼，有眼誤碼嫁。當(dāng)接址收碼帶組中鈔的錯雖碼數(shù)廚量過笛多，工超出柴了編挽碼的脖檢錯佛能力紅時，滲有錯炊碼的什接收額碼組汽也可大能被g(x)整除鏟。這旬時，聰錯碼奇就不報能檢蜂出了辮。在糾客錯時鑰：用生散成多打項式g(x)除接園收碼聲組R(x)，得鹽出余污式r(x)。按照般余式r(x)，用洪查表門的方辯法或活計算招方法右得出誰錯誤珍圖樣E(x)。從R(x)中減婚去E(x)，便眼得到瓜已經(jīng)翅糾正研錯碼討的原華發(fā)送隙碼組T(x)。4510灰.6多.5截短侮循環(huán)脖碼截短宮目的爹：在設(shè)碼計時艱，通氏常信筋息位菌數(shù)k、碼緞長n和糾吐錯能朋力都觀是預(yù)蜓先給傍定的千。但夜是，插并不須一定寸有恰評好滿堵足這坐些條旅件的苦循環(huán)惜碼存熟在。進故采帳用截藝短碼炕長截帽短，匹得出唱滿足針要求渴的編敏碼。截短咐方法吳：設(shè)給昏定一闖個(n,k)循環(huán)蔬碼，壯它共考有2k種碼林組，恐現(xiàn)使哭其前i(0午<i<k)個信雄息位盲全為溪“0”，于匆是它泡變成觸僅有2k-i種碼驗組。嘉然后裝從中間刪去陣這i位全蔽“0”的信曾息位趙，最飾終得并到一增個(n–i，k–i)的線敘性碼總。將塔這種播碼稱龍為截笑短循藍環(huán)碼陳。截短女循環(huán)利碼與龍截短仍前的挪循環(huán)太碼至廚少具障有相咬同的束糾錯骨能力荒，并喬且截寶短循疤環(huán)碼測的編叼解碼扭方法趣仍和眨截短暮前的街方法償一樣敏。例：昌要求星構(gòu)造腔一個衡能夠德糾正1位錯摸碼的(1僅3,予9舒)碼。這時靈可以靠由(1欲5,市1膛1)循環(huán)枝碼的11種碼莖組中逗選出窮前兩史信息饞位均谷為“0”的碼匙組，澡構(gòu)成蠟一個跳新的跳碼組箏集合雹。然嚼后在在發(fā)送跨時不豎發(fā)送翠這兩留位“0”。于延是發(fā)蕉送碼兔組成針為(1材3,共9映)截短膠循環(huán)竿碼。4610遇.6視.6徒B止CH碼BC鵲H碼是特能夠統(tǒng)糾正凝多個孤隨機挽錯碼桶的循膀環(huán)碼彈。BC嶺H碼分灑為兩索類：分本原BC掀H碼和椅非本紗原BC醒H碼。本原BC貼H碼：桑碼長n=州2m–棒1狠(m3，任嗎意正扁整數(shù))，它笛的生錯成多俗項式g(x)中含柿有最胡高次配數(shù)為m次的輕本原南多項輸式；非本近原BC仆H碼：富碼長n是(2m–怕1)的一氧個因賓子，塑它的遣生成辮多項見式g(x)中不冶含有悶最高迎次數(shù)服為m的本視原多亞項式圓。BC情H碼的愁工程盤設(shè)計都：可噸以用蜜查表波法找流到所奔需的閘生成地多項撥式。例：評二進款制非確本原BC重H碼的訪生成叔多項舅式系職數(shù)表中g(shù)(x)是用8進制仔數(shù)字婦表示姥的；t為糾沒錯能狐力。nktg(x)nktg(x)1721233341912122221223247271663534351456647133476565732453404652444307335710761354300067171777353747常用BC圍H碼：戈萊(Go錯la宿y)碼：(2勻3,或1盛2)非本期原BC不H碼，漂它能自糾正3個隨川機錯周碼，皮并且芹容易伍解碼就。擴展BC頓H碼(n+己1,k)：BC址H碼的粱長度季為奇碎數(shù)。衡在應(yīng)地用中膛，為晶了得效到偶夢數(shù)長絡(luò)度的嚼碼，景并增迫大檢盾錯能徹力，療可以纏在BC怎H碼生俊成多數(shù)項式撞中乘千上一難個因白式(x+望1)，從進而得深到擴逐展BC冠H碼(n+霸1,k)。擴展BC兇H碼已南經(jīng)不狠再具鳥有循倍環(huán)性級。擴展退戈萊咬碼(2華4,辭1急2)：其嫩最小詳碼距氏為8，碼逐率為1/慰2，能稅夠糾停正3個錯錄碼和塘檢測4個錯英碼。48幾種屋二進恨制分沉組碼共的性鏡能比蓄較2PSK漢明碼(7,4)t=1漢明碼(31,26)t=1擴展戈萊碼(24,12)t=3BCH碼(127,64)t=10Eb/n0(dB)Pe4910體.6勺.7討R恒S碼RS碼：偉是q進制BC寶H碼的智一個佩特殊擾子類擋，并抱且具想有很策強的良糾錯命能力彩。RS碼的槽參數(shù)怕：碼炒長n=q–泛1，監(jiān)特督位辯數(shù)目r=滴2t，其技中t是能臺夠糾鋼正的槽錯碼糕數(shù)目景；其林生成物多項繼式為g(x)獲=證(x+)(x+2)爽…依(x+2t)式中血，為伽悶羅華餐域GF墻(2m)中的謎本原皺元。RS碼的于主要養(yǎng)優(yōu)點曲：它是播多進舞制糾華錯編花碼，廉所以帽特別千適合遵用于超多進猜制調(diào)雷制的亞場合蒼；它能吳夠糾耐正t個q位二秧進制丸錯碼柿，即論能夠蠢糾正貝不超叢過q個連扛續(xù)的雨二進籮制錯怖碼，談所以老適合提在衰腔落信干道中照糾正叫突發(fā)封性錯派碼。5010次.7卷積任碼卷積單碼的企特點評：監(jiān)督梯碼元拉不僅賣和當(dāng)顧前的k比特搶信息士段有藥關(guān)，餓而且螞還同闖前面m=矩(N–撲1)個信陸息段拍有關(guān)攪。將N稱為攏碼組雹的約援束長算度。將卷蹈積碼搞記作(n,k,m)，其驢碼率糧為k/n。51卷積響碼的改編碼一般耕原理伸方框葡圖編碼輸出每次輸入k比特1k…1k…1k…1k…………

1…k…2k3kNk……………

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12nNk級移存器n個模2加法器每輸入k比特旋轉(zhuǎn)1周52卷積帽碼編個碼器奏的實辯例方摘框圖鍬：(n徐,執(zhí)k,掠m量)誓=（3,恐1鋪,奏2）每當(dāng)資輸入1比特粱時，方此編君碼器集輸出3比特c1c2c3：編碼搞器的吉工作其狀態(tài)123b3b1輸入b2編碼輸出c2c1c3b11101000b3b200011110011000c1c2c3111110010100001011000狀態(tài)abdcbca53000111001110011100010101000111001110011100010101c1c2c3000100111011001101110010c1c2c3111000001110c1c2c3信息位 1 1 0 1ba起點信息位000111c1c2c3abcdabcdabcdabcd上半部下半部10a狀態(tài)b3b2a00b01c10d11abcdabcdcdab↑0↓1↓1↑0↑0↓110殃.7補.2卷積漂碼的康解碼碼樹者搜索糕法：(3沈,陽1,劉2難)卷積郊碼的動碼樹直圖此法丑不實劫用：揚因為講隨信啦息位蝕增多揮，分輩支數(shù)酒目按緣瑞指數(shù)叫規(guī)律態(tài)增長54狀態(tài)理圖和嫁網(wǎng)格筑圖移存膝器狀建態(tài)和滴輸入葉輸出憲碼元瘦的關(guān)抹系狀態(tài)斷圖前一狀態(tài)b3b2當(dāng)前輸入

b1輸出c1c2c3下一狀態(tài)b3b2a(00)01000111a(00)b(01)b(01)01001110c(10)d(11)c(10)01011100a(00)b(01)d(11)01010101c(10)d(11)123b3b1輸入b2編碼輸出c2c1c3abcd00011110111001001110000155(3敲,獄1,外2衛(wèi))卷積眼碼網(wǎng)防格圖網(wǎng)格市圖中萍的編早碼路芬徑舉混例輸入副信息炕位為11渾01時輸出滋編碼稿序列齒是：11芝1研11炒0罷01諸0咬10外0術(shù)01檔1…110110110110011011011010010010101101101001001001001abcdabcd000000000000000111111111111111100100100abcd000111101110010011100001abcdabcd11001000111110056維特幫比算明法基本噴原理鵲：將運接收原到的怕序列懸和所烘有可刑能的繡發(fā)送振序列棍作比倦較，雷選擇仿其中機漢明她距離氣最小績的序普列當(dāng)尾作是構(gòu)現(xiàn)在傍的發(fā)強送序油列例：蜓設(shè)卷墊積碼懷為(n,k,m)艷=樹(3壺,鴉1,頸2腐)碼現(xiàn)在撐的發(fā)罷送信謹息位香為11哪01為了次使移現(xiàn)存器手中的出信息須位全嬸部移漲出，歷在信飯息位褲后面瞧加入丸了3個“0”，即11煎01百00夏0編碼因后的談發(fā)送勉序列涂：11駕1垂11發(fā)0后01驢0切10糠0招00讓1嚇01兼1循00瘦0接收鍋序列哭：11蒙101001朽0110縫00遞1能01尊1貪00喪0(紅色抗為錯叫碼)由于微這是案一個(3劍,離1,塞2設(shè))卷積賭碼，膀發(fā)送丈序列柳的約招束長歷度為N=m+哥1＝3，所堵以首瞞先需耕考察3個信宅息段康，即資考察3n＝9比特貞，即程接收穴序列珍前9位“11鮮1促01蜘001宮0”。57解碼抓第1步由網(wǎng)脾格圖淹可見奸，沿辟路徑歡每一占級有4種狀向態(tài)a,b,c和d。每仔種狀曠態(tài)只茄有兩薯條路窮徑可客以到證達。畫故4種狀碌態(tài)共蘿有8條到藝達路紅徑。比較順網(wǎng)格解圖中火的這8條路湊徑和姓接收磁序列蔬之間耐的漢池明距激離。譽例如盈，由走出發(fā)勉點狀忘態(tài)a經(jīng)過3級路勞徑后括到達幟狀態(tài)a的兩綢條路如徑中筒上面柄一條檢為“00隙000斑000貞0”。它亞和接卷收序蝴列“11貫1搭01遇001診0”的漢澆明距況離等腔于5；下樣面一狡條為爹“11屈1洗00伯1扮01筋1”佩,它和甜接收格序列撤的漢梯明距績離等摩于3。110110110110011011011010010010101101101001001001001abcdabcd00000000000000011111111111111110010010058將這8個比疼較結(jié)構(gòu)果列筐表如塌下：比較磨到達與每個蝦狀態(tài)她的兩第條路客徑的嘆漢明澆距離雕，將嘗距離鳳小的童一條宜路徑開保留談，稱犬為幸生存路灶徑。漲這樣傍，就謙剩下4條路睡徑了淡，即應(yīng)表中灑第2,夠4芝,鳥6和8條路巷徑。序號路徑對應(yīng)序列漢明距離幸存否？1aaaa0000000005否2abca1110010113是3aaab0000001116否4abcb1110011004是5aabc0001110017否6abdc1111100101是7aabd0001111106否8abdd1111101014是59解碼柔第2步：士繼續(xù)詢考察冷接收雜序列允中的僑后繼3個比乞特“11緊0”計算4條幸救存路鳴徑上用增加1級后臟的8條可姻能路面徑的止?jié)h明蒼距離鐮。計紡算結(jié)濾果列材于下疑表中度。表中傅總距吹離最謹小為2，其蒸路徑齡是ab郵dc搭+b，相發(fā)應(yīng)序含列為11桌1紡11您0不01倍0叢10辛0。它五和發(fā)病送序割列相玩同，城故對枯應(yīng)發(fā)六送信謠息位11項01。序號路徑原幸存路徑的距離新增路徑段新增距離總距離幸存否？1abca+a3aa25否2abdc+a1ca23是3abca+b3ab14否4abdc+b1cb12是5abcb+c4bc37否6abdd+c4dc15是7abcb+d4bd04是8abdd+d4dd26否60按照苦上表恥中的勤幸存蚊路徑崇畫出不的網(wǎng)屢格圖例示于藏下圖根中。圖中暮粗線尋路徑苗是距估漢明場離最遍?。ù涞扔?）的攏路徑智。abcd011010010101001abcd11110010011011061在編縮慧碼時含，信弦息位雙后面針加了3個“0”。若征把這3個“0”仍然階看作勞是信邁息位有，則不可以培按照膏上述悠算法賞繼續(xù)糟解碼販。這暖樣得顫到的同幸存遇路徑鉛網(wǎng)格草圖示缺于下坦圖中卷。圖芒中的蓬粗線鐘仍然寬是漢授明距襖離最哪小的溫路徑適。110011010010101101001001abcdabcd00011110010000001101100110162若已浩知這3個碼橋元是咸（為億結(jié)尾銀而補弟充的默）“0”，則掉在解地碼時效就預(yù)也先知座道在猴接收隱這3個“0”碼元聯(lián)后，稠路徑滅必然妥應(yīng)該喪回到籌狀態(tài)a。而疲由圖