2021年上海市黃浦區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷解析版

2021年上海市黃浦區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷已知集合，，則______.方程的解______.已知球的表面積為，則該球的體積為______.已知函數(shù)的定義域為R，函數(shù)是奇函數(shù)，且，若，則______.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若其中i為虛數(shù)單位，則______.已知長方體的棱，，則異面直線與所成角的大小是______結(jié)果用反三角函數(shù)值表示

已知隨機(jī)事件A和B相互獨(dú)立，若，表示事件A的對立事件，則______.無窮等比數(shù)列的前n項和為，且，則首項的取值范圍是______.已知的二項展開式中第三項的系數(shù)是112，則行列式中元素的代數(shù)余子式的值是______.已知實數(shù)x、y滿足線性約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是______.某企業(yè)開展科技知識搶答抽獎活動，獲獎號碼從用0、1、2、3、?、9這十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中產(chǎn)生，并確定一等獎號碼為：由三個奇數(shù)字組成的三位數(shù)，且該三位數(shù)是3的倍數(shù).若某位職工在知識搶答過程中搶答成功，則該職工隨機(jī)抽取一個號碼能抽到一等獎號碼的概率是______結(jié)果用數(shù)值作答已知，函數(shù)的最小值為2a，則由滿足條件的a的值組成的集合是______.已知空間直線l和平面，則“直線l在平面外”是“直線平面”的A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.非充分非必要條件某賽季甲乙兩名籃球運(yùn)動員在若干場比賽中的得分情況如下：

甲：21、22、23、25、28、29、30、30；

乙：14、16、23、26、28、30、33、

則下列描述合理的是A.甲隊員每場比賽得分的平均值大 B.乙隊員每場比賽得分的平均值大

C.甲隊員比賽成績比較穩(wěn)定 D.乙隊員比賽成績比較穩(wěn)定已知點(diǎn)是直線l：是參數(shù)和圓C：是參數(shù)的公共點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的切線，則切線的方程是A. B.

C. D.已知x、y是正實數(shù)，的三邊長為，，，點(diǎn)P是邊與點(diǎn)A、B不重合上任一點(diǎn)，且若不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是A. B. C. D.已知長方體中，棱，，點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn).

聯(lián)結(jié)CE，求三棱錐的體積V；

求直線和平面所成角的大小結(jié)果用反三角函數(shù)值表示

已知中，內(nèi)角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，且，

求正實數(shù)a的值；

若函數(shù)，求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間.

某民營企業(yè)開發(fā)出了一種新產(chǎn)品，預(yù)計能獲得50萬元到1500萬元的經(jīng)濟(jì)收益.企業(yè)財務(wù)部門研究對開發(fā)該新產(chǎn)品的團(tuán)隊進(jìn)行獎勵，并討論了一個獎勵方案：獎金單位：萬元隨經(jīng)濟(jì)收益單位：萬元的增加而增加，且，獎金金額不超過20萬元.

請你為該企業(yè)構(gòu)建一個y關(guān)于x的函數(shù)模型，并說明你的函數(shù)模型符合企業(yè)獎勵要求的理由；答案不唯一

若該企業(yè)采用函數(shù)作為獎勵函數(shù)模型，試確定實數(shù)a的取值范圍.

橢圓的右頂點(diǎn)為，焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓C上的任一點(diǎn).

試寫出向量、的坐標(biāo)用含、、c的字母表示；

若的最大值為3，最小值為2，求實數(shù)a、b的值；

在滿足的條件下，若直線l：與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)、N與橢圓的左、右頂點(diǎn)不重合，且以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A，求證：直線l必經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

定義：符號表示實數(shù)、、中最大的一個數(shù)；表示、、中最小的一個數(shù).如，，

設(shè)K是一個給定的正整數(shù)，數(shù)列共有K項，記，，由的取值情況，我們可以得出一些有趣的結(jié)論.比如，若，則理由：，則又，，于是，有試解答下列問題：

若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的通項公式；

若數(shù)列滿足，，求通項公式；

試構(gòu)造項數(shù)為K的數(shù)列，滿足，其中是等比數(shù)列，是公差不為零的等差數(shù)列，且數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，并說明理由答案不唯一

答案和解析【答案】1.

2.4

3.

4.

5.5

6.

7.

8.

9.5

10.

11.

12.

13.B 14.C

15.A 16.A 17.解：因為是長方體，且棱，，

所以平面ABCD，即三棱錐的高等于，

所以，

故；

以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則，，，，

所以，，，

設(shè)平面的法向量，

則，即，

令，得，故平面的一個法向量為，

設(shè)直線和平面所成的角為，

則，

所以直線和平面所成角的大小為

18.解

在中，，，

根據(jù)正弦定理，

得，

由知，，

，

函數(shù)的最小正周期為

由，

得

函數(shù)的遞增區(qū)間是

19.解

答案不唯一．

構(gòu)造出一個函數(shù)，說明是單調(diào)增函數(shù)且函數(shù)的取值滿足要求，

如，，就是符合企業(yè)獎勵的一個函數(shù)模型，

理由：

根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，易知，y隨x增大而增大，即為增函數(shù)，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

即獎金金額且不超過20萬元，

故該函數(shù)是符合企業(yè)獎勵要求的一個函數(shù)模型．

當(dāng)時，易知是增函數(shù)，

且當(dāng)時，；當(dāng)時，，即滿足獎金且不超過20萬的要求，

故當(dāng)時，符合企業(yè)獎勵要求，

當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)，

即對任意、且時，成立，

故當(dāng)且僅當(dāng)，即時，此時函數(shù)在上是增函數(shù)，

由，得，

進(jìn)一步可知，，故成立，

即當(dāng)時，函數(shù)符合獎金且金額不超過20萬的要求，

依據(jù)函數(shù)模型是符合企業(yè)的獎勵要求，即此函數(shù)為增函數(shù)，

于是，有，

解得

綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是

20.解：根據(jù)題意，可知、，

于是，、，

由可知，在橢圓上，

，則

依據(jù)橢圓的性質(zhì)，可知

當(dāng)且僅當(dāng)時，，

當(dāng)且僅當(dāng)時，

又，的最大值為3，最小值為2，

解得即為所求．

證明：由知，橢圓又l：，

聯(lián)立方程組

得

設(shè)、是直線l：與橢圓C的兩個交點(diǎn)，于是，有，

以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，，即，

進(jìn)一步得，化簡得

解得經(jīng)檢驗，都滿足，

當(dāng)時，直線l過點(diǎn)不滿足M、N與橢圓的左右頂點(diǎn)不重合要求，故舍去．

，即

直線l必經(jīng)過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為

21.解

數(shù)列的通項公式為，

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，可知數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，

即

，

為所求的通項公式．

數(shù)列滿足，，

依據(jù)題意，由，知；由，知；依此類推，有，即，

于是，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列．

，

，，即

數(shù)列是首項，公差為的等差數(shù)列．

構(gòu)造數(shù)列：，數(shù)列：，，2，?，K，

設(shè)，則數(shù)列滿足題設(shè)要求．理由如下：

構(gòu)造數(shù)列：，數(shù)列：，，2，?，K，

易知，數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列．

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知，即數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列；

由函數(shù)的性質(zhì)，知數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列．

，即

數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列．

，即數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列．

數(shù)列是滿足條件的數(shù)列．

【解析】1.或，

，，

故答案為：

先利用二次不等式和絕對值不等式的解法化簡集合，再利用交集的定義求交集．

本題考查二次不等式和絕對值不等式的解法和交集的概念，屬于基礎(chǔ)題．2.解：方程，即方程，，

故答案為：

由題意利用對數(shù)的性質(zhì)，求得x的值．

本題主要考查對數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3.解：設(shè)球的半徑為R，則，即

該球的體積為

故答案為：

設(shè)出球的半徑，由表面積求得半徑，再代入體積公式求解．

本題考查球的表面積與體積，是基礎(chǔ)的計算題．4.解：根據(jù)題意，，則，，

又由是奇函數(shù)，則，

解可得：，

故答案為：

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得、的表達(dá)式，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，計算可得答案．

本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)解析式的計算，屬于基礎(chǔ)題．5.解：因為，

所以，故

故答案為：

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則進(jìn)行化簡即可．

本題考查復(fù)數(shù)模和復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，比較基礎(chǔ)．6.解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

由長方體中，，，

所以，，，，

所以，，

計算，，

所以異面直線與所成角的大小是

故答案為：

建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，求出兩向量的夾角，從而求出異面直線與所成角的大小．

本題考查了異面直線所成角的計算問題，也考查了數(shù)形結(jié)合應(yīng)用思想，是基礎(chǔ)題．7.解：隨機(jī)事件A和B相互獨(dú)立，，表示事件A的對立事件，

，

故答案為：

由對立事件概率計算公式先求出，再由相互獨(dú)立事件概率計算公式得，由此能求出結(jié)果．

本題考查概率的求法，考查對立事件概率計算公式、相互獨(dú)立事件概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．8.解：無窮等比數(shù)列的前n項的和是，且，

，即，

由題意可得，且，

，且，

，且，

首項的取值范圍是

故答案為：

利用無窮等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合公比的范圍，即可求得首項的范圍．

本題考查數(shù)列的極限，考查無窮等比數(shù)列的求和公式，正確運(yùn)用公比的范圍是解題的關(guān)鍵，是中檔題．9.解：因為的二項展開式中第三項的系數(shù)是112，

所以，解得，

所以行列式中元素的代數(shù)余子式為

故答案為：

由二項展開式的通項公式可求得n的值，再由代數(shù)余子式的定義求解即可．

本題主要考查二項式定理，代數(shù)余子式的定義，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．10.解：畫出可行域，如圖所示：

當(dāng)直線過點(diǎn)B時，z取得最大值，

聯(lián)立方程，解得，

點(diǎn)，

故答案為：

畫出可行域，利用簡單線性規(guī)劃知識求解．

本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃求最值問題，是基礎(chǔ)題．11.解：獲獎號碼從用0、1、2、3、…、9這十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中產(chǎn)生，

基本事件總數(shù)，

一等獎號碼為：由三個奇數(shù)字組成的三位數(shù)，且該三位數(shù)是3的倍數(shù)，

滿足條件的三個奇數(shù)可能為，，，，

一等獎號碼包含的基本事件個數(shù)，

某位職工在知識搶答過程中搶答成功，

則該職工隨機(jī)抽取一個號碼能抽到一等獎號碼的概率是

故答案為：

基本事件總數(shù)，滿足條件的三個奇數(shù)可能為，，，，從而一等獎號碼包含的基本事件個數(shù)，由此能求出結(jié)果．

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．12.解：①若時，

則的對稱軸為，

當(dāng)時，，

又當(dāng)時，，

，，或舍去，

②若時，則，，，

③若時，

則的對稱軸為，

當(dāng)時，單調(diào)遞減，，

當(dāng)時，，

，，，

又，，，

綜上所述：

故答案為：

分類討論a的值，求出二次函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而得到分段函數(shù)的最值．

本題主要考查了二次函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查分類討論思想，是中檔題．13.解：若直線l在平面外，則或l與相交，

故“直線l在平面外”推不出“直線平面”，

由“直線平面”則推出“直線l在平面外”，

故“直線l在平面外”是“直線平面”的必要不充分條件，

故選：

直接利用線面平行的判定和性質(zhì)，根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷即可．

本題考查了線面平行的判定和性質(zhì)，充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．14.解：甲隊員得分的平均值為，

乙隊員得分的平均值為，

故甲隊員和乙隊員每場比賽得分的平均值相等，故選項A，B錯誤；

甲隊員得分的方差為，

甲隊員得分的方差為，

所以甲隊員的成績比較穩(wěn)定，故選項C正確，選項D錯誤．

故選：

由題中的數(shù)據(jù)，分別計算甲隊員和乙隊員的平均值以及方差，由此判斷選項即可．

本題考查了特征數(shù)的求解，主要考查了平均數(shù)以及方差的計算公式的運(yùn)用，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.解：直線l：是參數(shù)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為

由于點(diǎn)在直線上，

故，

所以，

設(shè)圓C的切線的方程為，整理得

由于直線與圓相切，故圓心到直線的距離，

解得

所以切線的方程為

故選：

首先把參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步利用點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用和直線的方程的求法的應(yīng)用求出結(jié)果．

本題考查的知識要點(diǎn)：參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．16.解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

因為，分別為，方向上的單位向量，

則為，，

則，

故，

因為AB所在的直線方程為，即，，

因為恒成立，

所以，

令，則，

易得，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，

故當(dāng)時取得最小值，

故

故選：

由已知建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得x，y的關(guān)系，然后由已知不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求．

本題主要考查了由不等式恒成立求解參數(shù)范圍，分離法的應(yīng)用是求解問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．17.利用錐體的體積公式求解計算即可；

建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由線面角的計算公式求解即可．

本題考查了錐體體積的求解以及線面角的求解，在求解有關(guān)空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題．18.由已知結(jié)合正弦定理，求出a的值；

先利用輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間．

本題主要考查了正弦定理，輔助角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．19.答案不唯一．

構(gòu)造出一個函數(shù)，說明是單調(diào)增函數(shù)且函數(shù)的取值滿足要求，如，，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知符合題意．

由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時，符合企業(yè)獎勵要求，又因為當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)，所以，再由，得，即當(dāng)時，函數(shù)符合獎金且金額不超過20萬的要求，由分段函數(shù)在連接點(diǎn)出也單調(diào)遞增可得，從而求出實數(shù)a的取值范圍．