推理和證明訓(xùn)練題

3322n推理和證明訓(xùn)練題3322n第十二講

推理與證測試十

直接證與間接證明Ⅰ

學(xué)習(xí)目1．解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法，能利用它們解決簡單問題．2．解間接證明的一種基本方法——反證法，能利用反證法解決簡單問題．Ⅱ

基礎(chǔ)訓(xùn)題一用析或合證下問1．明：3227.2．知＞＞，證：ab3．a(chǎn)，∈0，∞，≠b，證明：＋＞b＋．4．知銳角A，滿A

π，證明：＞．25．知數(shù)列a}是等差列，bn

a2

n

．明：數(shù){是等差數(shù)列．n18

332n1n推理和證明訓(xùn)332n1n6．△ABC中三個內(nèi)角A，的對邊分別是ab，，且A，成差列a，成等比數(shù)列．求證：為等邊三角形．二用證證下問7．a(chǎn)，是面內(nèi)的條直線，證明：這兩條直線最多只有一個交點．8．明：若函數(shù)fx)在區(qū)間a，]上是增函數(shù)那么方程f()＝在區(qū)間[，]上至多只有一個數(shù)根．9．p，∈R，且p＋＝，求證：＋≤．測試十?dāng)?shù)學(xué)歸納Ⅰ學(xué)習(xí)目標了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．Ⅱ

基礎(chǔ)訓(xùn)題1．明：

n(2

，其中∈

．2．明：(－)(＋＋＋…＋x)＝－，中n∈．28

nn12222n12n1n2222n12＞nn12222n12n1n2222n12＞＋＋，中∈3．列a}滿足a＝，a＝＋n1

n

(＝，，，．()求a，；23

()證明：＝n

32

．4．證：1－＋－4＋＋－)·n＝－)·

n(2

，其中n∈．5．知數(shù)列

8n，，，，，其前n項和為S．計算得3(2n

S

89

，，

，

8081

．觀察上述結(jié)果，推測出計算的式，并加以證明．n6．證：

111112nn

，其中n∈

．7．證：

1113，中∈且≥2．nn2n8．證：2

．38

推理和證明訓(xùn)練題參考答案：測十一用析或合證下問1．法1：為3227，所以欲證27，

直證與接明只需證明32)

2

(2

2

，即證明，只需證明7，即證明6＜，上式顯然成立，所以327．證法：證327，只需證明223，即證明

122

12

．∵222，7，23，48

332222222332211n11222222222332222222332211n11222222222∴

12

推理和證明訓(xùn)練題成立，所以2．2．證aa，只需證明a，因為＞，ba＞故只需證明aba)

，即證明2b，上式顯然成立，所以aba．3．證＋＞b＋，只需證明a＋)(a－＋b)ab(＋)，由＋＞0只需證明－＋b＞，證(a－)＞．因為a≠，以上式顯然成立，所以a＋＞b＋．注：本題也可使用作差比較法加以證明．4．明：因為AB

ππ，所以B，22所以0

ππ．2π因為函數(shù)＝在)內(nèi)調(diào)遞增，2π所以sin()sinA2即sin＞B．5．明：設(shè)a}的公差dn則bn

a1(n1[]．n2nnd∴ad)，22根據(jù)等差數(shù)列的定義{}是等差數(shù)列．n6．明：因為A、、成等差數(shù)列，所以＝＋，又＋＋＝所B

π3

．因為a、、c成比數(shù)列，所以b＝，根據(jù)余弦定理得b＝＋－accosB＝＋－，即a＋－＝．所以(－)＝0，＝，而＝．故△為等邊三角形．二用證證下問7．明：假設(shè)a，至有兩個不同的交點和，則通過不同的兩點A和B有條直線，這與公理“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”相矛盾，所以平面內(nèi)的兩條直線最多只有一個交點．8．明：假設(shè)方程fx)＝在區(qū)間a，b上至少有兩個不同的實數(shù)即f(＝f(＝．不妨設(shè)由于函數(shù)f()區(qū)[a，]上是增函數(shù)，故f(＜，58

3332333222121k21122222k222223332333222121k21122222k2222212k2k222這與(＝(＝矛，所以方程f()＝在間a，]上至只有一個實數(shù)根．9．明：假設(shè)p＋＞，即p＞－，因為函數(shù)＝在R上調(diào)遞增，所以p＞2－＝－＋－．因為p＋＝，以6q－q＋＜，(－)＜，上式顯然不成立，故p＋≤．測十?dāng)?shù)學(xué)納1．明：()當(dāng)n＝時，左邊＝，邊1，式成立．()假設(shè)當(dāng)n＝時等式成，即

kk2

，那么1k

k((2)22

．即當(dāng)n＝1時等式也成立．根據(jù)()和2)知等式對任何n∈都成立．2．明：()當(dāng)n＝時，左邊＝－，邊－，式成立．()假設(shè)當(dāng)n＝時等式成，1－1＋＋x＋…＋)＝－，那么(－)(1＋＋＋＋＋)＝1－)(＋x＋＋…＋)＋(1－)x＝－x＋1－)＝－．即當(dāng)n＝1時等式也成立．根據(jù)()和2)知等式對任何n∈都成立．3．1)∵＝，a＝＋＝，a＝123

＋＝．()證明：①當(dāng)n＝時

32

，論成立．②假設(shè)當(dāng)n＝時結(jié)論成立，即

3

2

，33那么．22即當(dāng)＝1時結(jié)論也成立．3根據(jù)①和②知，a對何n∈2

都成立．4．明：()當(dāng)n＝時，左邊＝

＝，邊(

0

12

等式成立．()假設(shè)當(dāng)n＝時式成立即1

k

k(2

，那么－＋3－＋＋－)·＋－)k＋)

2＝

k

k((2

k

(k1)[(k2

．即當(dāng)n＝1時等式也成立．根據(jù)()和2)知等式對任何n∈都成立．5．：推測Sn

(2n(2n(2

2

．證明：1)當(dāng)＝時，S1

8，想成立．(268

22222222n221211122222222222推理和證明訓(xùn)練題22222222n221211122222222222()假設(shè)當(dāng)n＝時猜想成，即Sk

(2k

2

，那么S

k

ak

k

8((2k(2(2

(23)(21(2k3)(2(23)[2(k

2

．即當(dāng)＝1時想也成立．根據(jù)()和(2)知，對任何n∈N(2n

都立．6．明：()當(dāng)n＝時，左邊＝

11，邊，等式成立．21()假設(shè)當(dāng)n＝時等式成，即1

11111242211111那么24kkk＝1

111124kk2kk＝＝＝

11k2kk2(111]k2kk2(111(k(kk2k2(

．即當(dāng)n＝1時等式也成立．根據(jù)()和2)知等式任何n∈都成立．7．明：()當(dāng)n＝時，左邊＝

113，邊，左邊＞右邊．224()假設(shè)當(dāng)n＝時等式成，即

1113k那么

111k2k2kk＝＝

11k2kk111131k2kk2(k1)(2

．即當(dāng)n＝1時不等式也成立．根據(jù)()和2)知不等式任何n∈且n≥都立．8．明：()當(dāng)n＝時，左