2022-2023學年廣東省廣州十六中八年級（下）期中數學試卷（含解析）

2022-2023學年廣東省廣州十六中八年級（下）期中數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.若a+1在實數范圍內有意義，則a的取值范圍是(

)A.a??1 B.a>?1 C.a≠?1 D.a??12.下列各組數中，不是勾股數的是(

)A.3，4，5 B.5，12，13 C.7，25，26 D.6，8，103.一個四邊形的三個相鄰內角度數依次如下，那么其中是平行四邊形的是(

)A.88°，108°，88° B.88°，104°，108°

C.88°，92°，92° D.88°，92°，88°4.下列計算正確的是(

)A.3+23=53 B.35.如圖，直線AO⊥OB，垂足為O，線段AO=3，BO=4，以點A為圓心，AB的長為半徑畫弧，交直線AO于點C.則OC的長為(

)A.5

B.4

C.3

D.26.已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中錯誤的是(

)A.當∠ABC=90°時，它是矩形 B.當AB=BC時，它是菱形

C.當AC⊥BD時，它是菱形 D.當AC=BD時，它是正方形7.若使算式的運算結果最小，則〇表示的運算符號是(

)A.+ B.? C.× D.÷8.下列命題的逆命題成立的是(

)A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B.正方形的對角線相等

C.對頂角相等 D.若a=b，則9.如圖，是由一系列直角三角形組成的螺旋，則第2023個直角三角形S2023的面積為(

)A.2023

B.2023

C.2023210.已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD為邊AB上的中線，若E是線段CA上

任意一點，DF⊥DE，交直線BC于E點.G為EF的中點，連接CG并延長交直線AB

于點H.若AE=6，CH=10，則CE的長為(

)A.7 B.8 C.9 D.10二、填空題（本大題共6小題，共18分）11.比較大?。?6______5(選填“>”、“=”、“<”)．12.利用平方差公式在實數范圍內分解因式：a2?6=______．13.在菱形ABCD中，AB=2，∠A=30°，則菱形的面積(底×高)是______．14.如圖，點D、E、F分別是直角△ABC各邊的中點，∠C=90°，EF、DE分別為3cm，5cm，則DF的長為______cm．

15.有一長，寬，高分別為5cm，4cm，3cm的木箱，在它里面放入一根細木條(木條的粗細，形變忽略不計)，要求木條不能露出木箱，請你算一算，能放入的細木條的最大長度是______cm．16.如圖，矩形ABCD中，已知AB=3，BC=BE=6，F為BE上一點，且，連接DE、CE、CF.以下說法中：

①BF=2；

②當點E在AD邊上時，則∠DCE=15°；

③當∠EBC=60°時，則∠ADE=30°；

的最小值為5．

正確的有______(填序號即可)三、解答題（本大題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題分)

計算：(1)18?18.(本小題分)

如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，試求∠A的度數．19.(本小題分)

如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O.點E、F分別為OD、OB的中點，連接CE、AF．

求證：CE=AF．20.(本小題分)

先化簡，再求值：(1x+1?1)÷x21.(本小題分)

(1)尺規(guī)作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)：如圖，①作線段AC的垂直平分線交AC于點O；②連接BO并延長，在延長線上截取OD=OB；③連接AD，CD．

(2)證明所作的四邊形ABCD是矩形．22.(本小題分)

我國古代數學著作《九章算術》中“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”今譯：一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落地，離竹子底端3尺處．折斷處離地面的高度是多少？(1丈=10尺)

23.(本小題分)

如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BE=5cm，點E是AD邊上的一點，AE、DE分別長a?cm、b?cm，滿足(a?3)2+|2a+b?9|=0.動點P從B點出發(fā)，以2cm/s的速度沿B→C→D運動，最終到達點D.設運動時間為t秒．

(1)a=______cm，b=______cm；

(2)t=______時，EP把四邊形BCDE的周長平分；

(3)另有一點Q從點E出發(fā)，按照E→D→C的路徑運動，且速度為1cm/s，若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動.求t為何值時，△BPQ的面積等于6c24.(本小題分)

定義：我們將(a+b)與(a?b)稱為一對“對偶式”.因為，可以有效的去掉根號，所以有一些題可以通過構造“對偶式”來解決．

例如：已知，求的值，可以這樣解答：

因為，

所以．

(1)已知：，求：______；

②結合已知條件和第①問的結果，解方程：；

(2)代數式中x的取值范圍是______，最大值是______，最小值是______；

(3)計算：．25.(本小題分)

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，以BD為邊在BD上方作一△BED，連接AE，且．

(1)填空：∠AEB=______°；

(2)求證：；

(3)連接CE，設△ADE的周長為l，△BCE的周長為m，求的值．

答案和解析1.【答案】A

解：∵a+1在實數范圍內有意義，

∴a+1≥0，

∴a≥?1．

故選：A．

根據二次根式的被開方數是非負數即可得出答案．

2.【答案】C

解：A、32+42=52，能構成直角三角形，是整數，故是勾股數，此選項不符合題意；

B、52+122=132，是正整數，同時能構成直角三角形，故是勾股數，此選項不符合題意；

C、，不是勾股數，此選項符合題意；

D、62+83.【答案】D

【解析】【解答】

解：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，故B不是；

當三個內角度數依次是88°，108°，88°時，第四個角是76°，故A不是；

當三個內角度數依次是88°，92°，92°，第四個角是88°，而C中相等的兩個角不是對角，故C錯，D中滿足兩組對角分別相等，因而是平行四邊形．

故選：D．

【分析】

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，根據所給的三個角的度數可以求出第四個角，然后根據平行四邊形的判定方法驗證即可．

此題主要考查平行四邊形的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．注意角的對應的位置關系，并不是有兩組角相等的四邊形就是平行四邊形，易錯選C．

4.【答案】B

解：A、3與23不能合并，故A不符合題意；

B、3÷5=155，故B符合題意；

C、53×23=30，故C不符合題意；5.【答案】D

解：∵AO⊥OB，

∴∠AOB=90°，

∵AO=3，BO=4，

∴AB=AO2+OB2=32+42=5，

∴AC=AB=5，

∴OC=2．6.【答案】D

解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，

又∵∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；

B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，

又∵AB=BC，

∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；

C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，

又∵AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；

D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，

又∵AC=BD，

∴四邊形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本選項符合題意；

故選：D．

根據矩形、菱形、正方形的判定逐個判斷即可．

本題考查了對矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的應用，能正確運用判定定理進行判斷是解此題的關鍵，難度適中．

7.【答案】B

解：，

18?8=32?22=2，

，

，

∵12>52>328.【答案】A

解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形的逆命題是平行四邊形的對角線互相平分，逆命題是真命題，符合題意；

B、正方形的對角線相等的逆命題是對角線相等的四邊形是正方形，逆命題是假命題，不符合題意；

C、對頂角相等的逆命題是相等的角是對頂角，逆命題是假命題，不符合題意；

D、若a=b，則a2=b2的逆命題是若a2=b29.【答案】C

解：由圖可得，

OA2=12+12=2，，OA4=12+(3)2=4，…，OAn=n，

S10.【答案】B

解：連接DG，如圖所示：

∵DF⊥DE，

∴∠EDF=90°，

∵∠ACB=90°，G是EF的中點，

∴CG=DG，

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，且CD為邊AB上的中線，

∴CD⊥AB，CD=AD，

∴∠CDG+∠HDG=90°，∠DCH+∠DHC=90°，

∵CG=DG，

∴∠HCD=∠CDG，

∴∠CHD=∠HDG，

∴GH=GD，

∴H是CH的中點，

∵CH=10，

∴CG=5，

∴EF=10，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=45°，∠ACD=45°，∠DCF=45°，

∴∠A=∠DCF，

∵∠EDF=∠ADC=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

∴△ADE≌△CDF(ASA)，

∴CF=AE=6，

在△ECF中，根據勾股定理得CE=8，

故選：B．

連接DG，易證G是Rt△DCH的斜邊CH的中點，可得CG=5，進一步可知EF=10，證明△ADE≌△CDF(ASA)，可得CF=AE=6，根據勾股定理，可得CE=8即可．

本題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質等相關知識，本題綜合性較強．

11.【答案】<

解：因為26=24，5=25，

而24<25，

所以26<512.【答案】

解：．

故答案為：．

利用平方差公式進行因式分解解決此題．

本題主要考查因式分解，熟練掌握利用平方差公式進行因式分解是解決本題的關鍵．

13.【答案】2

【解析】解；如圖所示：過點D作DE⊥BC于點E，

在菱形ABCD中，AB=AD=2，∠A=30°，

∴DE=12AD=1，

∴菱形ABCD的面積．

故答案為：2．

根據菱形的性質以及直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得出DE的長，即可得出菱形的面積．

此題主要考查了菱形的面積以及其性質，得出DE的長是解題關鍵．14.【答案】4

解：∵點D、E、F分別是直角△ABC各邊的中點，

∴DF，EF是△ABC的中位線，

∴DF//BC，EF/?/AC，

∴∠ADF=∠C=90°，，

∴∠DFE=90°，

，DE=5cm，

．

故答案為：4．

由三角形中位線定理，得到DF/?/BC，EF/?/AC，由平行線的性質推出∠DFE=90°，由勾股定理即可求出DF的長．

本題考查三角形中位線定理，平行線的性質，勾股定理，關鍵是由三角形中位線定理，平行線的性質，證明△DEF是直角三角形．

15.【答案】5解：木箱底面對角線長：，

則木箱對角線長：，

放入的細木條的最大長度是52cm．

長方體對角線是最長的，當木條在木箱里對角放置的時候露在外面的長度最小，這樣就是求出木箱的對角線長度即可．

本題重點考查學生的空間想象能力及勾股定理的應用．16.【答案】①②④

解：∵BE=6，BF=12EF，

∴BF=2，EF=4，故①正確；

如圖1，當點E在AD上時，取BE的中點H，連接AH，

∵點H是BE的中點，∠BAE=90°，

，

，

∴△ABH是等邊三角形，

∴∠ABE=60°，

∴∠EBC=30°，

∵BE=BC，

，

∴∠DCE=15°，故②正確；

如圖2，當∠EBC=60°時，設AD與CE交于H，與BE交于點G，

∵∠EBC=60°，BC=BE，

∴△EBC是等邊三角形，

，

，

∴AB=3AG，，

，

，

∵AD/?/BC，

，，

∴△GEH是等邊三角形，

，

，

；故③錯誤；

如圖3，在BC上截取BM=BF=2，連接EM，DM，

∵BE=BC，，

∴△BFC≌△BME(SAS)，

∴CF=EM，

，

∴當點E，點D，點M三點共線時，DE+CF有最小值，最小值為DM的長，

，CD=AB=3，

，

的最小值為5，故④正確；

故答案為：①②④．

由線段的數量關系可求BF=2，EF=4，故①正確；由直角三角形的可求，可證△ABH是等邊三角形，可得∠ABE=60°，由等腰三角形的性質可求∠DCE=15°，故②正確；由等邊三角形的性質和直角三角形的性質可求，，可得；故③錯誤；由“SAS”可證△BFC≌△BME，可得CF=EM，由三角形的三邊關系和勾股定理可求DE+CF的最小值為5，故④正確，即可求解．

本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，矩形的性質，等邊三角形的判定和性質等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．

17.【答案】解：(1)原式=32?42+2

=0；

【解析】(1)先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；

(2)先利用二次根式的乘法和除法法則運算，然后化簡即可．

本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則、除法法則是解決問題的關鍵．

18.【答案】解：

連接AC，∵AB=BC=2，且∠ABC=90°，

∴AC=22且∠CAB=45°，

又∵AD=1，CD=3，

∴AD2+AC2=C【解析】連接AC，根據勾股定理求出A的C，再△ADC中利用勾股定理逆定理得到∠CAD=90°，進而求出∠A的度數．

本題考查了勾股定理和其逆定理的運用，解題的關鍵是連接AC，構造直角三角形．

19.【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO，BO=DO，

∵E，F分別為OD，OB的中點，

∴EO=FO，

在△AFO和△CEO中，

AO=CO∠AOF=∠COEFO=EO，

∴△AFO≌△CEO(SAS)，

∴CE=AF【解析】根據平行四邊形的性質的AO=CO，BO=DO，根據線段中點的定義得到EO=FO，根據全等三角形的性質即可得到結論．

此題主要考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質、正確應用全等三角形的判定方法是解題關鍵．

20.【答案】解：原式=(1x+1?x+1x+1)?(x+1)(x?1)x

=1?x【解析】根據分式的混合運算法則把原式化簡，把x的值代入計算即可．

本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．

21.【答案】(1)解：如圖，

(2)證明：∵O點為AC的垂直平分線與AC的交點，

∴OA=OC，

∵OB=OD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∵∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD為矩形．

【解析】(1)利用基本作圖作AC的垂直平分線得到AC的中點O，然后在BO的延長線上截取OD=OB，從而得到四邊形ABCD；

(2)利用對角線互相平分判斷四邊形ABCD為平行四邊形，所以利用∠ABC=90°判斷四邊形ABCD為矩形．

本題考查了作圖?復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質和矩形的判定．

22.【答案】解：設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為(10?x)尺，

根據勾股定理得：x2+32=(10?x)2．

解得：【解析】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是利用題目信息構造直角三角形，從而運用勾股定理解題．

竹子折斷后剛好構成一直角三角形，設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為(10?x)尺，利用勾股定理解題即可．

23.【答案】3

3

2s

解：(1)∵(a?3)2+|2a+b?9|=0，

∴a?3=0，2a+b?9=0，

∴a=3，b=3；

故答案為：3，3；

(2)∵AE=3cm，DE=3cm，

∴AD=6cm=BC，

∴C四邊形BCDE=BC+CD+DE+EB=18cm，

∵EP把四邊形BCDE的周長平分，

∴BE+BP=9cm，

∴點P在BC上，BP=4cm，

∴t=42=2s，

故答案為：2s；

(3)①點P在BC上(0<t≤3)，

∵S△BPQ=12×2t×4=6，

∴t=32；

②相遇前，點P在CD上(3<t≤133)，

∴t=113；

③相遇后，點P在CD上(133<t≤5)，

∵S△BPQ=12×[(t?3)+(2t?6)?4]×6=6，

∴t=5；

綜上所述，當t=324.【答案】2

2≤x≤10

4

2解：，且，

；

故答案為：2；

，

，

兩邊同時平方得：，

4?x=3，

兩邊同時平方得：，

∴x=?5，

經檢驗：x=?5是原方程的解；

(2)由題意得：，

解得：2≤x≤10，

當x=2時，，

當x=6時，，

∴最大值是4，最小值是22；

故答案為：2≤x≤10，4，22；

．

(1)①根據平方差公式可解答；

②兩邊同時平方將根號化去，解方程并