廣西貴港市桂平市2023屆初三下學期4月教學診斷考試數學試題含解析

廣西貴港市桂平市2023屆初三下學期4月教學診斷考試數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=120°，∠C=80°．將△BMN沿著MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，則∠F的度數為（）A．70° B．80° C．90° D．100°2．碳納米管的硬度與金剛石相當，卻擁有良好的柔韌性，可以拉伸，我國某物理所研究組已研制出直徑為0.5納米的碳納米管，1納米＝0.000000001米，則0.5納米用科學記數法表示為（）A．0.5×10﹣9米 B．5×10﹣8米 C．5×10﹣9米 D．5×10﹣10米3．鄭州某中學在備考2018河南中考體育的過程中抽取該校九年級20名男生進行立定跳遠測試，以便知道下一階段的體育訓練，成績如下所示：成績（單位：米）2.102.202.252.302.352.402.452.50人數23245211則下列敘述正確的是（）A．這些運動員成績的眾數是5B．這些運動員成績的中位數是2.30C．這些運動員的平均成績是2.25D．這些運動員成績的方差是0.07254．如圖所示，直線a∥b，∠1=35°，∠2=90°，則∠3的度數為（）A．125° B．135° C．145° D．155°5．如圖，在底邊BC為2，腰AB為2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于點D，交BC于點E，則△ACE的周長為()A．2+ B．2+2 C．4 D．36．下列博物院的標識中不是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．7．為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方將明文加密后傳輸給接收方，接收方收到密文后解密還原為明文，已知某種加密規(guī)則為，明文a，b對應的密文為a＋2b，2a－b，例如：明文1，2對應的密文是5，0，當接收方收到的密文是1，7時，解密得到的明文是()A．3，－1 B．1，－3 C．－3，1 D．－1，38．有五名射擊運動員，教練為了分析他們成績的波動程度，應選擇下列統(tǒng)計量中的（）A．方差 B．中位數 C．眾數 D．平均數9．某校40名學生參加科普知識競賽（競賽分數都是整數），競賽成績的頻數分布直方圖如圖所示，成績的中位數落在（）A．50.5～60.5分 B．60.5～70.5分 C．70.5～80.5分 D．80.5～90.5分10．某中學籃球隊12名隊員的年齡如下表：年齡：（歲）13141516人數1542關于這12名隊員的年齡，下列說法錯誤的是()A．眾數是14歲 B．極差是3歲 C．中位數是14.5歲 D．平均數是14.8歲11．已知關于x的方程恰有一個實根，則滿足條件的實數a的值的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．412．如圖，直立于地面上的電線桿AB，在陽光下落在水平地面和坡面上的影子分別是BC、CD，測得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D處測得電線桿頂端A的仰角為30°，則電線桿AB的高度為（）A． B． C． D．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB′，若∠B=48°，則∠ACB′=_____．14．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，1），以點O為旋轉中心，將點A逆時針旋轉到點B的位置，則的長為_____．15．在某一時刻，測得一根高為2m的竹竿的影長為1m，同時測得一棟建筑物的影長為9m，那么這棟建筑物的高度為_____m．16．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=45°，BC=4，以BC為直徑的⊙O與AC相交于點O，則陰影部分的面積為_____．17．如圖，小明在A時測得某樹的影長為3米，B時又測得該樹的影長為12米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為_________米.18．如圖，直線y=x，點A1坐標為（1，0），過點A1作x軸的垂線交直線于點B1，以原點O為圓心，OB1長為半徑畫弧交x軸于點A2，再過點A2作x軸的垂線交直線于點B2，以原點O為圓心，OB2長為半徑畫弧交x軸于點A3，……按此作法進行去，點Bn的縱坐標為(n為正整數)．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C.（1）求證：AB=AC；（2）若，求⊙O的半徑.20．（6分）如圖，AB為⊙O的直徑，點E在⊙O，C為弧BE的中點，過點C作直線CD⊥AE于D，連接AC、BC．試判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由若AD=2，AC=，求⊙O的半徑．21．（6分）已知甲、乙兩地相距90km，A，B兩人沿同一公路從甲地出發(fā)到乙地，A騎摩托車，B騎電動車，圖中DE，OC分別表示A，B離開甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數關系的圖象，根據圖象解答下列問題：（1）請用t分別表示A、B的路程sA、sB；（2）在A出發(fā)后幾小時，兩人相距15km？22．（8分）在正方形ABCD中，AB＝4cm，AC為對角線，AC上有一動點P，M是AB邊的中點，連接PM、PB，設A、P兩點間的距離為xcm，PM＋PB長度為ycm.小東根據學習函數的經驗，對函數y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.下面是小東的探究過程，請補充完整：（1）通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如表：x/cm012345y/cm6.04.84.56.07.4（說明：補全表格時相關數值保留一位小數）（2）建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象.（3）結合畫出的函數圖象，解決問題：PM＋PB的長度最小值約為______cm.23．（8分）如圖，在?ABCD中，以點A為圓心，AB的長為半徑的圓恰好與CD相切于點C，交AD于點E，延長BA與⊙O相交于點F．若的長為，則圖中陰影部分的面積為_____．24．（10分）關于x的一元二次方程ax2+bx+1=1．當b=a+2時，利用根的判別式判斷方程根的情況；若方程有兩個相等的實數根，寫出一組滿足條件的a，b的值，并求此時方程的根．25．（10分）(1)計算：(2)先化簡，再求值：，其中x是不等式的負整數解.26．（12分）如圖，在△ABC中，（1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．（2）在（1）條件下，求證：AB2=BD?BC．27．（12分）已知：a+b＝4（1）求代數式（a+1）（b+1）﹣ab值；（2）若代數式a2﹣2ab+b2+2a+2b的值等于17，求a﹣b的值．

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、B【解析】

首先利用平行線的性質得出∠BMF=120°，∠FNB=80°，再利用翻折變換的性質得出∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，進而求出∠B的度數以及得出∠F的度數．【詳解】∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=120°，∠C=80°，

∴∠BMF=120°，∠FNB=80°，

∵將△BMN沿MN翻折得△FMN，

∴∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，

∴∠F=∠B=180°-60°-40°=80°，

故選B．【點睛】主要考查了平行線的性質以及多邊形內角和定理以及翻折變換的性質，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解題關鍵．2、D【解析】解：0.5納米=0.5×0.000000001米=0.0000000005米=5×10﹣10米．故選D．點睛:在負指數科學計數法中，其中，n等于第一個非0數字前所有0的個數（包括下數點前面的0）.3、B【解析】

根據方差、平均數、中位數和眾數的計算公式和定義分別對每一項進行分析，即可得出答案．【詳解】由表格中數據可得：A、這些運動員成績的眾數是2.35，錯誤；B、這些運動員成績的中位數是2.30，正確；C、這些運動員的平均成績是2.30，錯誤；D、這些運動員成績的方差不是0.0725，錯誤；故選B．【點睛】考查了方差、平均數、中位數和眾數，熟練掌握定義和計算公式是本題的關鍵，平均數平均數表示一組數據的平均程度．中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（或最中間兩個數的平均數）；方差是用來衡量一組數據波動大小的量．4、A【解析】分析：如圖求出∠5即可解決問題．詳解：∵a∥b，∴∠1=∠4=35°，∵∠2=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠5=55°，∴∠3=180°-∠5=125°，故選：A．點睛：本題考查平行線的性質、三角形內角和定理，鄰補角的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．5、B【解析】分析：根據線段垂直平分線的性質，把三角形的周長問題轉化為線段和的問題解決即可.詳解：∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴AE+CE=BC=2，∴△ACE的周長=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，故選B．點睛：本題考查了等腰三角形性質和線段垂直平分線性質的應用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．6、A【解析】

如果一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸,對題中選項進行分析即可.【詳解】A、不是軸對稱圖形，符合題意；B、是軸對稱圖形，不合題意；C、是軸對稱圖形，不合題意；D、是軸對稱圖形，不合題意；故選：A．【點睛】此題考查軸對稱圖形的概念，解題的關鍵在于利用軸對稱圖形的概念判斷選項正誤7、A【解析】

根據題意可得方程組，再解方程組即可．【詳解】由題意得：，解得：，故選A．8、A【解析】試題分析：方差是用來衡量一組數據波動大小的量，體現數據的穩(wěn)定性，集中程度；方差越大，即波動越大，數據越不穩(wěn)定；反之，方差越小，數據越穩(wěn)定．故教練要分析射擊運動員成績的波動程度，只需要知道訓練成績的方差即可．故選A.考點：1、計算器-平均數，2、中位數，3、眾數，4、方差9、C【解析】分析：由頻數分布直方圖知這組數據共有40個，則其中位數為第20、21個數據的平均數，而第20、21個數據均落在70.5～80.5分這一分組內，據此可得．詳解：由頻數分布直方圖知，這組數據共有3+6+8+8+9+6=40個，則其中位數為第20、21個數據的平均數，而第20、21個數據均落在70.5～80.5分這一分組內，所以中位數落在70.5～80.5分．故選C．點睛：本題主要考查了頻數（率）分布直方圖和中位數，解題的關鍵是掌握將一組數據按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數．如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．10、D【解析】分別利用極差以及中位數和眾數以及平均數的求法分別分析得出答案．解：由圖表可得：14歲的有5人，故眾數是14，故選項A正確，不合題意；極差是：16﹣13=3，故選項B正確，不合題意；中位數是：14.5，故選項C正確，不合題意；平均數是：（13+14×5+15×4+16×2）÷12≈14.5，故選項D錯誤，符合題意．故選D．“點睛”此題主要考查了極差以及中位數和眾數以及平均數的求法，正確把握相關定義是解題關鍵．11、C【解析】

先將原方程變形，轉化為整式方程后得2x2-3x+（3-a）=1①．由于原方程只有一個實數根，因此，方程①的根有兩種情況：（1）方程①有兩個相等的實數根，此二等根使x（x-2）≠1；（2）方程①有兩個不等的實數根，而其中一根使x（x-2）=1，另外一根使x（x-2）≠1．針對每一種情況，分別求出a的值及對應的原方程的根．【詳解】去分母，將原方程兩邊同乘x（x﹣2），整理得2x2﹣3x+（3﹣a）=1．①方程①的根的情況有兩種：（1）方程①有兩個相等的實數根，即△=9﹣3×2（3﹣a）=1．解得a=．當a=時，解方程2x2﹣3x+（﹣+3）=1，得x1=x2=．（2）方程①有兩個不等的實數根，而其中一根使原方程分母為零，即方程①有一個根為1或2．（i）當x=1時，代入①式得3﹣a=1，即a=3．當a=3時，解方程2x2﹣3x=1，x（2x﹣3）=1，x1=1或x2=1.4．而x1=1是增根，即這時方程①的另一個根是x=1.4．它不使分母為零，確是原方程的唯一根．（ii）當x=2時，代入①式，得2×3﹣2×3+（3﹣a）=1，即a=5．當a=5時，解方程2x2﹣3x﹣2=1，x1=2，x2=﹣．x1是增根，故x=﹣為方程的唯一實根；因此，若原分式方程只有一個實數根時，所求的a的值分別是，3，5共3個．故選C．【點睛】考查了分式方程的解法及增根問題．由于原分式方程去分母后，得到一個含有字母的一元二次方程，所以要分情況進行討論．理解分式方程產生增根的原因及一元二次方程解的情況從而正確進行分類是解題的關鍵．12、B【解析】

延長AD交BC的延長線于E，作DF⊥BE于F，∵∠BCD=150°，∴∠DCF=30°，又CD=4，∴DF=2，CF==2，由題意得∠E=30°，∴EF=，∴BE=BC+CF+EF=6+4，∴AB=BE×tanE=（6+4）×=（2+4）米，即電線桿的高度為（2+4）米．點睛：本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵.二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、6°【解析】∠B=48°，∠ACB=90°，所以∠A=42°，DC是中線，所以∠BCD=∠B=48°，∠DCA=∠A=48°，因為∠BCD=∠DCB’=48°，所以∠ACB′=48°-46°=6°.14、．【解析】

由點A(1，1)，可得OA的長，點A在第一象限的角平分線上，可得∠AOB=45°，，再根據弧長公式計算即可．【詳解】∵A(1，1)，∴OA=，點A在第一象限的角平分線上，∵以點O為旋轉中心，將點A逆時針旋轉到點B的位置，∴∠AOB=45°，∴的長為=，故答案為：．【點睛】本題考查坐標與圖形變化——旋轉，弧長公式，熟練掌握旋轉的性質以及弧長公式是解題的關鍵.本題中求出OA=以及∠AOB=45°也是解題的關鍵．15、1【解析】分析：根據同時同地的物高與影長成正比列式計算即可得解．詳解：設這棟建筑物的高度為xm，由題意得，，解得x=1，即這棟建筑物的高度為1m．故答案為1．點睛：同時同地的物高與影長成正比，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求出這棟高樓的高度，體現了方程的思想．16、6﹣π【解析】

連接、，根據陰影部分的面積計算.【詳解】連接、，，，，，為的直徑，，，，，，陰影部分的面積.故答案為.【點睛】本題考查的是扇形面積計算，掌握直角三角形的性質、扇形面積公式是解題的關鍵.17、1【解析】

根據題意，畫出示意圖，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，進而可得；即DC2=ED?FD，代入數據可得答案．【詳解】根據題意，作△EFC，樹高為CD，且∠ECF=90°，ED=3，FD=12，易得：Rt△EDC∽Rt△DCF，有，即DC2=ED×FD，代入數據可得DC2=31，DC=1，故答案為1．18、．【解析】尋找規(guī)律：由直線y=x的性質可知，∵B2，B3，…，Bn是直線y=x上的點，∴△OA1B1，△OA2B2，…△OAnBn都是等腰直角三角形，且A2B2=OA2=OB1=OA1；A3B3=OA3=OB2=OA2=OA1；A4B4=OA4=OB3=OA3=OA1；……．又∵點A1坐標為（1，0），∴OA1=1．∴，即點Bn的縱坐標為．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、（1）證明見解析；（2）1．【解析】

（1）由同圓半徑相等和對頂角相等得∠OBP=∠APC，由圓的切線性質和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°，則∠ABP=∠ACB，根據等角對等邊得AB=AC；（2）設⊙O的半徑為r，分別在Rt△AOB和Rt△ACP中根據勾股定理列等式，并根據AB=AC得52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r的值即可．【詳解】解：（1）連接OB，∵OB=OP，∴∠OPB=∠OBP，∵∠OPB=∠APC，∴∠OBP=∠APC，∵AB與⊙O相切于點B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴∠ABP+∠OBP=90°，∵OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∴∠ACB+∠APC=90°，∴∠ABP=∠ACB，∴AB=AC；（2）設⊙O的半徑為r，在Rt△AOB中，AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，在Rt△ACP中，AC2=PC2﹣PA2，AC2=（2）2﹣（5﹣r）2，∵AB=AC，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=1，則⊙O的半徑為1．【點睛】本題考查了圓的切線的性質，圓的切線垂直于經過切點的半徑；并利用勾股定理列等式，求圓的半徑；此類題的一般做法是：若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系；簡記作：見切點，連半徑，見垂直．20、（1）直線CD與⊙O相切；（2）⊙O的半徑為1.1．【解析】

（1）相切，連接OC，∵C為的中點，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，∴∠2=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直線CD與⊙O相切；（2）連接CE，∵AD=2，AC=，∵∠ADC=90°，∴CD==，∵CD是⊙O的切線，∴=AD?DE，∴DE=1，∴CE==，∵C為的中點，∴BC=CE=，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AB==2．∴半徑為1.121、（1）sA＝45t﹣45，sB＝20t；（2）在A出發(fā)后小時或小時，兩人相距15km．【解析】

（1）根據函數圖象中的數據可以分別求得s與t的函數關系式；（2）根據（1）中的函數解析式可以解答本題．【詳解】解：（1）設sA與t的函數關系式為sA＝kt+b，，得，即sA與t的函數關系式為sA＝45t﹣45，設sB與t的函數關系式為sB＝at，60＝3a，得a＝20，即sB與t的函數關系式為sB＝20t；（2）|45t﹣45﹣20t|＝15，解得，t1＝，t2＝，，，即在A出發(fā)后小時或小時，兩人相距15km．【點睛】本題主要考查一次函數的應用，涉及到直線上點的坐標與方程，利用待定系數法求一次函數的解析式是解題的關鍵．22、（1）2.1；（2）見解析；（3）x＝2時，函數有最小值y＝4.2【解析】

（1）通過作輔助線，應用三角函數可求得HM+HN的值即為x=2時，y的值；（2）可在網格圖中直接畫出函數圖象；（3）由函數圖象可知函數的最小值．【詳解】（1）當點P運動到點H時，AH=3，作HN⊥AB于點N．∵在正方形ABCD中，AB=4cm，AC為對角線，AC上有一動點P，M是AB邊的中點，∴∠HAN=42°，∴AN=HN=AH?sin42°=3，∴HM，HB，∴HM+HN==≈≈2.122+2.834≈2.1．故答案為：2.1；（2）（3）根據函數圖象可知，當x=2時，函數有最小值y=4.2．故答案為：4.2．【點睛】本題考查了二次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．23、S陰影＝2﹣．【解析】

由切線的性質和平行四邊形的性質得到BA⊥AC，∠ACB=∠B=45°，∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE，根據弧長公式求出弧長，得到半徑，即可求出結果.【詳解】如圖，連接AC，∵CD與⊙A相切，∴CD⊥AC，在平行四邊形ABCD中，∵AB=DC,AB∥CD∥BC，∴BA⊥AC，∵AB=AC,∴∠ACB=∠B=45°，∵AD∥BC,∴∠FAE=∠B=45°，∴∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE，∴∴的長度為解得R=2，S陰=S△ACD-S扇形=【點睛】此題主要考查圓內的面積計算，解題的關鍵是熟知平行四邊形的性質、切線的性質、弧長計算及扇形面積的計算.24、（2）方程有兩個不