材料力學(xué)第3章-扭轉(zhuǎn)

1材料力學(xué)第3章-扭轉(zhuǎn).汽車傳動軸§3-1概述圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對轉(zhuǎn)動；桿表面上的縱向線變成螺旋線。受力特點(diǎn)：圓截面直桿受到一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿的軸線的外力偶作用變形特點(diǎn)：Me

Me

§3-2傳動軸的外力偶矩

·扭矩及扭矩圖Ⅰ、傳動軸上外力偶矩的計算轉(zhuǎn)速：n(轉(zhuǎn)/分)輸入功率：P(kW)Me1分鐘輸入功：1分鐘me作功主動輪上的外力偶矩轉(zhuǎn)向與傳動軸的轉(zhuǎn)向相同從動輪上的外力偶矩轉(zhuǎn)向與傳動軸的轉(zhuǎn)向相反。Me1

Me2

Me3

n從動輪主動輪從動輪Ⅱ、扭矩及扭矩圖

圓軸受扭時其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用符號T表示。

扭矩大小可利用截面法來確定。

仿照軸力圖的做法，可作扭矩圖，表明沿桿軸線各橫截面上扭矩的變化情況。扭矩T的正負(fù)規(guī)定右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向?yàn)檎?+),反之為負(fù)(-)例一傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速n=300r/min；主動輪輸入的功率P1=500kW，三個從動輪輸出的功率分別為：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。試作軸的扭矩圖。首先必須計算作用在各輪上的外力偶矩解：221133M1

M2

M3

M4

ABCD分別計算各段的扭矩221133M1

M2

M3

M4

ABCDT111xM2AT2AM2

BM3

22xT333DM4

x扭矩圖Tmax=9.56kN·m在BC段內(nèi)M1

M2

M3

M4

ABCD4.789.566.37T圖(kN·m)§3-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)——通常指的圓筒，可假定其應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布內(nèi)力偶矩——扭矩T薄壁圓筒nnMeMe

dlTMe

nndr0圓筒兩端截面之間相對轉(zhuǎn)過的圓心角相對扭轉(zhuǎn)角表面正方格子傾斜的角度—直角的改變量切應(yīng)變即gjABDCMe

Me

薄壁圓筒受扭時變形情況：gABCDB1A1D1

C1

D'D1'C1'C'Me

Me

圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動，其形狀、大小、間距不變；表面變形特點(diǎn)及分析：——橫截面在變形前后都保持為形狀、大小未改變的平面，沒有正應(yīng)力產(chǎn)生所有縱向線發(fā)生傾斜且傾斜程度相同?！獧M截面上有與圓軸相切的切應(yīng)力且沿圓筒周向均勻分布gjABDCMe

Me

1、橫截面上無正應(yīng)力；2、只有與圓周相切的切應(yīng)力，且沿圓筒周向均勻分布；

薄壁圓筒橫截面上應(yīng)力的分布規(guī)律分析：gjABDCgABCDB1A1D1

C1

D'D1'C1'C'

nnMe

r0xt3、對于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚也均勻分布。薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計算公式：靜力學(xué)條件因薄壁圓環(huán)橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等得tdAnnMe

r0xdr0剪切胡克定律由前述推導(dǎo)可知薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)曲線Me

Me

gjABDC鋼材的切變模量值約為：這就是剪切胡克定律其中：G——材料的切變模量tp——剪切屈服極限§3-4等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強(qiáng)度條件Ⅰ、橫截面上的應(yīng)力幾何方面——表面變形情況相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動，但圓周的大小、形狀、間距都未變；縱向線傾斜了同一個角度g，表面上所有矩形均變成平行四邊形。g(a)Me

Me

(b)

桿的橫截面上只有垂直于半徑的切應(yīng)力，沒有正應(yīng)力產(chǎn)生。平面假設(shè)

等直圓桿受扭轉(zhuǎn)時其橫截面如同剛性平面一樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動。推論：(a)gMe

Me

(b)橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力隨點(diǎn)的位置的變化規(guī)律abdxabTT①變形幾何關(guān)系gMeMedxO2grgr②物理關(guān)系(剪切虎克定律)Or③靜力學(xué)關(guān)系dAdA稱為極慣性矩其中

2pò=AdAIr相對扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率，對于給定的橫截面為常量由上式得剪切胡克定律物理方面靜力學(xué)方面稱為橫截面的極慣性矩trdA

trdA

rrrO令得T

圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式1)橫截面上任意點(diǎn)：2)橫截面邊緣點(diǎn)：其中：抗扭截面模量空心圓實(shí)心圓tmaxOdrtrT圓截面的極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp實(shí)心圓截面：—幾何性質(zhì)Odrrd空心圓截面：DdrrOd注意：對于空心圓截面DdrrOdⅢ、強(qiáng)度條件等直圓軸材料的許用切應(yīng)力例：圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm

。扭轉(zhuǎn)力偶矩MA=22kN?m，MB=36kN?m，MC=14kN?m。材料的許用切應(yīng)力[t]=80MPa

，試校核該軸的強(qiáng)度。解：1、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖2214T圖（kN·m）MA

MBⅡⅠMC

ACBBC段AB段2、計算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度即該軸滿足強(qiáng)度條件。2214T圖（kN·m）（補(bǔ)）例：某汽車主傳動軸鋼管外徑D=76mm，壁厚t=2.5mm，傳遞扭矩T=1.98kN·m，[t]=100MPa，（1）試校核軸的強(qiáng)度。（2）若換為實(shí)心軸，在同樣強(qiáng)度下其直徑為何？二者重量比？

解：（1）計算截面參數(shù)：由強(qiáng)度條件：故軸的強(qiáng)度滿足要求。

可見：同樣強(qiáng)度下，空心軸使用材料僅為實(shí)心軸的三分之一，故空心軸較實(shí)心軸合理。

（2）若將空心軸改成實(shí)心軸，仍使

則：由上式解出：d=46.9mm?？招妮S與實(shí)心軸的截面面積比(重量比)為：§3-5等直圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形?剛度條件Ⅰ、扭轉(zhuǎn)時的變形——兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角j扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率相距dx的微段兩端截面間相對扭轉(zhuǎn)角為gMe

Me

jdjgD'TTO1O2ababdxDA等直圓桿僅兩端截面受外力偶矩Me

作用時稱為等直圓桿的扭轉(zhuǎn)剛度相距l(xiāng)的兩橫截面間相對扭轉(zhuǎn)角為gMe

Me

j(單位：rad)例圖示鋼制實(shí)心圓截面軸，已知：M1=1592N?m,M2=955N?m，M3=637N?m，d=70mm，lAB=300mm，lAC=500mm，鋼的切變模量G=80GPa。求橫截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角jCB。解：1、先用截面法求各段軸的扭矩：BA段AC段M1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC2、各段兩端相對扭轉(zhuǎn)角：jCAjABM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC3、橫截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角：jABjCAM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC**例：圖示空心圓桿

AB，A端固定，底板B為剛性桿，在其中心處焊一直徑為d2的實(shí)心圓桿CB?？招臈U的內(nèi)、外徑分別為D1和

d1，外力偶矩Me、兩桿的長度l1、l2及材料的切變模量G

均為已知。試求：1、兩桿橫截面上的切應(yīng)力分布圖；2、實(shí)心桿C端的絕對扭轉(zhuǎn)角jC。ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板解：1、分析兩軸的受力如圖，求出其扭矩分別為ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板MeMeABMeBCMe2、求橫截面上的切應(yīng)力空心圓軸實(shí)心圓軸空心圓軸實(shí)心圓軸t2,maxt1,maxt1,minT1T23、計算絕對扭轉(zhuǎn)角jCABCMeMeMeBCABMeMeACjCjBAjCBⅡ、剛度條件等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的剛度條件：對于精密機(jī)器的軸對于一般的傳動軸常用單位：/m例由45號鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比a

=0.5。已知材料的許用切應(yīng)力[t

]=40MPa

，切變模量G=80GPa

。軸的橫截面上最大扭矩為Tmax=9.56kN?m

，軸的許可單位長度扭轉(zhuǎn)角[j']=0.3/m

。試選擇軸的直徑。解：1、按強(qiáng)度條件確定外直徑D2、由剛度條件確定所需外直徑D3、確定內(nèi)外直徑

（補(bǔ)）例：傳動軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動輪A

輸入功率P1=400kW，從動輪C，B

分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。

(1)試確定AC

段的直徑d1和BC

段的直徑d2；

(2)若AC

和BC

兩段選同一直徑，試確定直徑d；

(3)主動輪和從動輪應(yīng)如何安排才比較合理?解：1）外力偶矩