鹽水混合模型試驗(yàn)報(bào)告

一個(gè)圓柱形的容器，內(nèi)裝350升均勻混合的鹽水溶液。如果純水以每秒14升的速度從容器頂部流入，同時(shí)，容器內(nèi)的混合的鹽水以每秒10.5升的速度從容器底部流出。開(kāi)始時(shí)，容器內(nèi)鹽的含量為7千克。求經(jīng)過(guò)時(shí)間t后容器內(nèi)鹽的含量。一.問(wèn)題分析已知：水的密度為1kg/L,鹽溶解度為36g（在假設(shè)（1）中）由題意可以知道，此題中的t時(shí)間時(shí)容器內(nèi)的鹽含量的問(wèn)題即為關(guān)于t的微分方程的求解問(wèn)題。在流入到流出的過(guò)程中，由于混合在水中的鹽含量是不同的，所以溶解于水中的鹽的量每一時(shí)刻都是不同的。而所求的這個(gè)瞬時(shí)量即為微分方程的解。而由題意知，可計(jì)算出7kg鹽所需要的溶劑為194L水。因此，由混合液體積即可知開(kāi)始時(shí)刻的7kg鹽是完全溶于水中的，并且沒(méi)有飽和。所以，整個(gè)過(guò)程為食鹽水被再次稀釋的過(guò)程，則不會(huì)出現(xiàn)有鹽析出現(xiàn)象。即加入純水鹽水就被稀釋，同時(shí)向外流出含有鹽的混合液。因此，整體變量只與時(shí)間t有關(guān)。則可根據(jù)時(shí)間t列出微分方程求解。二假設(shè)1） 由資料知，溫度對(duì)鹽在水中的溶解度變化影響不大，我們可以假設(shè)鹽溶解度恒為室溫條件下的溶解度為36g，又由條件知該過(guò)程為稀釋過(guò)程，則不存在鹽析出結(jié)品的過(guò)程，即不考慮結(jié)晶度問(wèn)題。2） 任意時(shí)刻容器內(nèi)混合的、流出的鹽水都均勻（即任意時(shí)刻容器內(nèi)及流出的鹽水密度恒定包含初始狀態(tài)350升混合鹽水）3） 水流入及鹽水流出的速度均為勻速的。4） 假設(shè)注水時(shí)間為t、t時(shí)刻時(shí)容器內(nèi)含鹽量為S（t）、純水流入容器的速度為v1,混合液流出的速度為v2。模型建立計(jì)算過(guò)程如下：1） t時(shí)刻容器內(nèi)含鹽量可表示為S（t）2） 純水以v1=14L/s的速度流入容器，混合液以v2=10.5L/s的速度流出容器，則根據(jù)溶解度公式：溶解度=巴溶質(zhì)*i00g，可推出7kg食鹽是完全溶解在水中m溶劑的r時(shí)刻混合液中鹽含量

t時(shí)刻混合液量3）根據(jù)假設(shè)1）、r時(shí)刻混合液中鹽含量

t時(shí)刻混合液量*△t時(shí)刻流出的混合液量=△t時(shí)刻混合液中鹽的變化量（假設(shè)其中At足夠?。?）根據(jù)上述比例式即可得到相應(yīng)的方程為： 一*10.5*At=P（r）-（t+At）350+3.5*t而使At-0可得微分方程：*=-10.5*P（t）。dt350+3.5*t5）求解該微分方程當(dāng)0<p（t）<7時(shí)的曲線圖像模型求解與檢驗(yàn)設(shè)溶液中鹽的濃度為C,時(shí)間變量為t當(dāng)t=0時(shí)，C=C0,t=t時(shí)，C=C當(dāng)由t變化到t+dt,C變化到C+dC由物料守恒，輸入一輸出=積累+反應(yīng)0—VoCdt=(350+(Vin-Vo)t)*C-(350+(Vin-Vo)*(t+dt))*(C+dC)化簡(jiǎn)此方程，并從上面兩個(gè)條件積分，得到C=C0/(1+0.01t)人4從而，含量為：M=C*(350+3.5t)數(shù)值解dsolve('Dy=-10.5*y/(350+3.5*x)','x')ans=C2/(x+100)人3又由于初始x=0，時(shí)溶液中鹽含量為7kg，所以可以計(jì)算出C2=7000000圖形解則帶入C2=7000000則可求出解的圖像：x=linspace(0,300,10000);y=7000000./(x+100).人3;plot(x,y),xlabel('時(shí)間’)，ylabel('混合中鹽含量')，title('混合液中鹽含量曲線')將仁0代入y(t)可以得到y(tǒng)=7,與初始狀態(tài)的含鹽量為7相符。顯然可以得到y(tǒng)(t)在區(qū)間［0，8)上函數(shù)是連續(xù)的。使用MATLAB求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以看出，y(t)在區(qū)間［0，8)上導(dǎo)數(shù)恒小于0，所以y(t)在［0，8)為減函數(shù)。使用MATLAB求函數(shù)右極限，可以得出t越大時(shí)y是接近于0的，但是不等于0，與真實(shí)情況相符。六.模型評(píng)估模型模型模型模型評(píng)估評(píng)估評(píng)估評(píng)估：：：：該模型在水流速度較小的情況下能較為真實(shí)的反應(yīng)容器內(nèi)的含鹽量，但是水流速度如果較大的時(shí)，達(dá)到鹽在不同濃度的水中的擴(kuò)散至均勻的時(shí)間不能忽略的時(shí)候?qū)⒉荒芎芎玫姆磻?yīng)容器內(nèi)的含鹽量。結(jié)論及應(yīng)用溶液混合問(wèn)題的更一般的提法是□設(shè)有一容器裝有某種質(zhì)量濃度的溶液,以流量1V注入質(zhì)量濃度為1C的溶液口指同一種類溶液,只是質(zhì)量濃度不同口，假定溶液立即被攪勻，并以2V的流量流出這種混合溶液，試建立容器中質(zhì)量濃度與時(shí)間的數(shù)學(xué)模型.該模型不僅適用于液體的混合，而且還適用于討論氣體的混合.求鹽水混合物含鹽量的問(wèn)題不僅僅局限于數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解，在實(shí)際中也有廣泛的應(yīng)用：在農(nóng)田的施肥過(guò)程中，施化肥的過(guò)程相當(dāng)于注入較高濃度的鹽水，而在農(nóng)田的實(shí)際管理過(guò)程中，灌溉用水得從農(nóng)田流過(guò)，因此，農(nóng)田里化肥水濃度會(huì)發(fā)生改變，而農(nóng)作物需要在一個(gè)適當(dāng)?shù)臐舛确秶虏拍芨玫纳L(zhǎng)，為了將農(nóng)田化肥水的濃度保持在一個(gè)最適合農(nóng)作物生長(zhǎng)的濃度范圍，需要對(duì)化肥水的濃度做一個(gè)粗略估計(jì)，而計(jì)算的方法就可以用到本題建立的數(shù)學(xué)模型。測(cè)量計(jì)算：估計(jì)農(nóng)田的面積s和初始條件下農(nóng)田水的深度h水的體積7乘以h施用化肥的質(zhì)量為mk