鹽水混合模型試驗報告

一個圓柱形的容器，內(nèi)裝350升均勻混合的鹽水溶液。如果純水以每秒14升的速度從容器頂部流入，同時，容器內(nèi)的混合的鹽水以每秒10.5升的速度從容器底部流出。開始時，容器內(nèi)鹽的含量為7千克。求經(jīng)過時間t后容器內(nèi)鹽的含量。一.問題分析已知：水的密度為1kg/L,鹽溶解度為36g（在假設(shè)（1）中）由題意可以知道，此題中的t時間時容器內(nèi)的鹽含量的問題即為關(guān)于t的微分方程的求解問題。在流入到流出的過程中，由于混合在水中的鹽含量是不同的，所以溶解于水中的鹽的量每一時刻都是不同的。而所求的這個瞬時量即為微分方程的解。而由題意知，可計算出7kg鹽所需要的溶劑為194L水。因此，由混合液體積即可知開始時刻的7kg鹽是完全溶于水中的，并且沒有飽和。所以，整個過程為食鹽水被再次稀釋的過程，則不會出現(xiàn)有鹽析出現(xiàn)象。即加入純水鹽水就被稀釋，同時向外流出含有鹽的混合液。因此，整體變量只與時間t有關(guān)。則可根據(jù)時間t列出微分方程求解。二假設(shè)1） 由資料知，溫度對鹽在水中的溶解度變化影響不大，我們可以假設(shè)鹽溶解度恒為室溫條件下的溶解度為36g，又由條件知該過程為稀釋過程，則不存在鹽析出結(jié)品的過程，即不考慮結(jié)晶度問題。2） 任意時刻容器內(nèi)混合的、流出的鹽水都均勻（即任意時刻容器內(nèi)及流出的鹽水密度恒定包含初始狀態(tài)350升混合鹽水）3） 水流入及鹽水流出的速度均為勻速的。4） 假設(shè)注水時間為t、t時刻時容器內(nèi)含鹽量為S（t）、純水流入容器的速度為v1,混合液流出的速度為v2。模型建立計算過程如下：1） t時刻容器內(nèi)含鹽量可表示為S（t）2） 純水以v1=14L/s的速度流入容器，混合液以v2=10.5L/s的速度流出容器，則根據(jù)溶解度公式：溶解度=巴溶質(zhì)*i00g，可推出7kg食鹽是完全溶解在水中m溶劑的r時刻混合液中鹽含量

t時刻混合液量3）根據(jù)假設(shè)1）、r時刻混合液中鹽含量

t時刻混合液量*△t時刻流出的混合液量=△t時刻混合液中鹽的變化量（假設(shè)其中At足夠?。?）根據(jù)上述比例式即可得到相應(yīng)的方程為： 一*10.5*At=P（r）-（t+At）350+3.5*t而使At-0可得微分方程：*=-10.5*P（t）。dt350+3.5*t5）求解該微分方程當0<p（t）<7時的曲線圖像模型求解與檢驗設(shè)溶液中鹽的濃度為C,時間變量為t當t=0時，C=C0,t=t時，C=C當由t變化到t+dt,C變化到C+dC由物料守恒，輸入一輸出=積累+反應(yīng)0—VoCdt=(350+(Vin-Vo)t)*C-(350+(Vin-Vo)*(t+dt))*(C+dC)化簡此方程，并從上面兩個條件積分，得到C=C0/(1+0.01t)人4從而，含量為：M=C*(350+3.5t)數(shù)值解dsolve('Dy=-10.5*y/(350+3.5*x)','x')ans=C2/(x+100)人3又由于初始x=0，時溶液中鹽含量為7kg，所以可以計算出C2=7000000圖形解則帶入C2=7000000則可求出解的圖像：x=linspace(0,300,10000);y=7000000./(x+100).人3;plot(x,y),xlabel('時間’)，ylabel('混合中鹽含量')，title('混合液中鹽含量曲線')將仁0代入y(t)可以得到y(tǒng)=7,與初始狀態(tài)的含鹽量為7相符。顯然可以得到y(tǒng)(t)在區(qū)間［0，8)上函數(shù)是連續(xù)的。使用MATLAB求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以看出，y(t)在區(qū)間［0，8)上導(dǎo)數(shù)恒小于0，所以y(t)在［0，8)為減函數(shù)。使用MATLAB求函數(shù)右極限，可以得出t越大時y是接近于0的，但是不等于0，與真實情況相符。六.模型評估模型模型模型模型評估評估評估評估：：：：該模型在水流速度較小的情況下能較為真實的反應(yīng)容器內(nèi)的含鹽量，但是水流速度如果較大的時，達到鹽在不同濃度的水中的擴散至均勻的時間不能忽略的時候?qū)⒉荒芎芎玫姆磻?yīng)容器內(nèi)的含鹽量。結(jié)論及應(yīng)用溶液混合問題的更一般的提法是□設(shè)有一容器裝有某種質(zhì)量濃度的溶液,以流量1V注入質(zhì)量濃度為1C的溶液口指同一種類溶液,只是質(zhì)量濃度不同口，假定溶液立即被攪勻，并以2V的流量流出這種混合溶液，試建立容器中質(zhì)量濃度與時間的數(shù)學(xué)模型.該模型不僅適用于液體的混合，而且還適用于討論氣體的混合.求鹽水混合物含鹽量的問題不僅僅局限于數(shù)學(xué)問題的求解，在實際中也有廣泛的應(yīng)用：在農(nóng)田的施肥過程中，施化肥的過程相當于注入較高濃度的鹽水，而在農(nóng)田的實際管理過程中，灌溉用水得從農(nóng)田流過，因此，農(nóng)田里化肥水濃度會發(fā)生改變，而農(nóng)作物需要在一個適當?shù)臐舛确秶虏拍芨玫纳L，為了將農(nóng)田化肥水的濃度保持在一個最適合農(nóng)作物生長的濃度范圍，需要對化肥水的濃度做一個粗略估計，而計算的方法就可以用到本題建立的數(shù)學(xué)模型。測量計算：估計農(nóng)田的面積s和初始條件下農(nóng)田水的深度h水的體積7乘以h施用化肥的質(zhì)量為mk