新教材人教B版必修第二冊411實數(shù)指數(shù)冪及其運算學案

4．1.1實數(shù)指數(shù)冪及其運算n次方根1．n次方根的定義一般地，給定大于1的正整數(shù)n和實數(shù)a，假如存在實數(shù)x，使得__xn＝a__，那么x稱為a的n次方根．2．方根的性質(zhì)(1)0的任意正整數(shù)次方根均為0，記為__eq\r(n,0)＝0__．(2)正數(shù)a的偶數(shù)次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的方根稱為a的n次算術(shù)根，記為__eq\r(n,a)__，負的方根記為__－eq\r(n,a)__；負數(shù)的偶數(shù)次方根在實數(shù)范圍內(nèi)不存在，即當a<0且n為偶數(shù)時，eq\r(n,a)在實數(shù)范圍內(nèi)__沒有意義__．(3)任意實數(shù)的奇數(shù)次方根都有且只有一個，記為__eq\r(n,a)__，而且正數(shù)的奇數(shù)次方根是一個__正數(shù)__，負數(shù)的奇數(shù)次方根是一個__負數(shù)__．根式1．根式的定義當eq\r(n,a)有意義的時候，eq\r(n,a)稱為__根式__，n稱為__根指數(shù)__，a稱為__被開方數(shù)__．2．根式的性質(zhì)(1)(eq\r(n,a))n＝__a__．(2)當n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝__a__，當n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝__|a|__．eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n的區(qū)分是什么？答：(1)eq\r(n,an)是實數(shù)an的n次方根，是一個恒有意義的式子，不受n的奇偶限制，但這個式子的值受n的奇偶限制．(2)(eq\r(n,a))n是實數(shù)a的n次方根的n次冪，其中實數(shù)a的取值由n的奇偶打算，其算法是對a先開方，后乘方(都是n次)，結(jié)果恒等于a.分數(shù)指數(shù)冪的意義及有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)1．分數(shù)指數(shù)冪的意義(1)一般地，假如n是正整數(shù)，那么：當eq\r(n,a)有意義時，規(guī)定aeq\f(1,n)＝__eq\r(n,a)__；當eq\r(n,a)沒有意義時，稱__aeq\s\up6(\f(1,n))__沒有意義．對于一般的正分數(shù)eq\f(m,n)，規(guī)定aeq\f(m,n)＝__(eq\r(n,a))m__＝eq\r(n,am)，其中eq\f(m,n)為既約分數(shù)．(2)假設(shè)s是正分數(shù)，as有意義且a≠0時，規(guī)定__a－s__＝eq\f(1,as).留意：0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的0次冪和0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．2．有理數(shù)指數(shù)冪的運算法那么一般狀況下，當s與t都是有理數(shù)時，有運算法那么：asat＝as＋t(a＞0，s，t∈Q)，(as)t＝ast(a＞0，s，t∈Q)，(ab)s＝asbs(a＞0，b＞0，s∈Q)．實數(shù)指數(shù)冪一般地，當a>0且t是無理數(shù)時，at都是一個確定的實數(shù)，即當a>0，t為任意實數(shù)時，可以認為實數(shù)指數(shù)冪at都有意義，對任意實數(shù)s和t，有運算法那么：asat＝as＋t(a＞0，s，t∈R)，(as)t＝ast(a＞0，s，t∈R)，(ab)s＝asbs(a＞0，b>0，s∈R)．利用根式的性質(zhì)化簡求值1．(2020·武邑中學月考)以下各式正確的選項是eq\a\vs4\al(〔C〕)A.eq\r(〔－5〕2)＝－5B.eq\r(4,a4)＝aC.eq\r(72)＝7D.eq\r(3,〔－π〕3)＝π[解析]由于eq\r(〔－5〕2)＝5，eq\r(4,a4)＝|a|，eq\r(3,〔－π〕3)＝－π，應(yīng)選項A，B，D錯誤．應(yīng)選C.根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化2．(2020·山東臨朐檢測)以下根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的選項是eq\a\vs4\al(〔C〕)A．－eq\r(x)＝(－x)eq\f(1,2)(x>0)B.eq\r(6,y2)＝y(tǒng)eq\f(1,3)(y<0)C．x－eq\f(3,4)＝eq\r(4,〔\f(1,x)〕3)(x>0)D．x－eq\f(1,3)＝－eq\r(3,x)(x≠0)[解析]－eq\r(x)＝－xeq\f(1,2)(x>0)；eq\r(6,y2)＝(y2)eq\f(1,6)＝－yeq\f(1,3)(y<0)；x－eq\f(3,4)＝(x－3)eq\f(1,4)＝eq\r(4,〔\f(1,x)〕3)(x>0)；x－eq\f(1,3)＝(eq\f(1,x))eq\f(1,3)＝eq\r(3,\f(1,x))(x≠0)．應(yīng)選C.利用指數(shù)冪的性質(zhì)化簡求值3．計算：(1)(2eq\f(3,5))0＋2－2×(2eq\f(1,4))－eq\f(1,2)－(0.01)；(2)(2eq\f(7,9))－2＋(2eq\f(10,27))－eq\f(2,3)－3π0＋eq\f(37,48).解(1)原式＝1＋eq\f(1,4)×(eq\f(4,9))eq\f(1,2)－(eq\f(1,100))eq\f(1,2)＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).(2)原式＝(eq\f(25,9))eq\f(1,2)＋(eq\f(1,10))－2＋(eq\f(64,27))－eq\f(2,3)－3＋eq\f(37,48)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(37,48)＝100.4．計算：(1)4eq\r(2)＋1×23－2eq\r(2)×8－eq\f(2,3)；(2)(2eq\r(2)－1)eq\r(2)＋1×(eq\f(1,3))2－eq\r(5)÷32＋eq\r(5).解(1)原式＝(22)eq\r(2)＋1×23－2eq\r(2)×(23)－eq\f(2,3)＝22eq\r(2)＋2×23－2eq\r(2)×2－2＝22eq\r(2)＋2＋3－2eq\r(2)－2＝23＝8.(2)原式＝2(eq\r(2)－1)(eq\r(2)＋1)×(eq\f(1,3))2－eq\r(5)×(eq\f(1,3))2＋eq\r(5)＝2×(eq\f(1,3))2－eq\r(5)＋2＋eq\r(5)＝2×(eq\f(1,3))4＝eq\f(2,81).條件求值問題5．(2020·吉林白城月考)xeq\f(1,2)＋x－eq\f(1,2)＝3，求eq\f(2,x－1＋x＋3)的值．解由于xeq\f(1,2)＋x－eq\f(1,2