分?jǐn)?shù)乘法及分式典型易錯(cuò)題難題

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一、分?jǐn)?shù)乘法

（一）、分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則：

1、分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘：分子與整數(shù)相乘的積做分子，分母不變。（整數(shù)和分母約分）

2、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。

3、為了計(jì)算簡(jiǎn)便，能約分的要先約分，再計(jì)算。

注意：當(dāng)帶分?jǐn)?shù)進(jìn)行乘法計(jì)算時(shí)，要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行計(jì)算。

（二）、規(guī)律：（乘法中比較大小時(shí)）

一個(gè)數(shù)（0除外）乘大于1的數(shù)，積大于這個(gè)數(shù)。

一個(gè)數(shù)（0除外）乘小于1的數(shù)（0除外），積小于這個(gè)數(shù)。

一個(gè)數(shù)（0除外）乘1，積等于這個(gè)數(shù)。

（三）、分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)的運(yùn)算順序相同。

（四）、整數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和分配律，對(duì)于分?jǐn)?shù)乘法也同樣適用。

乘法交換律：

a×b=b×a

乘法結(jié)合律：

(a×b)×c=a×(b×c)

乘法分配律：（a+b）×c=ac+bc

ac+bc=（a+b）×c

二、分?jǐn)?shù)乘法的解決問(wèn)題

（已知單位“1”的量（用乘法），求單位“1”的幾分之幾是多少）

1、找單位“1”：

在分率句中分率的前面；

或

“占”、“是”、“比”的后面

2、求一個(gè)數(shù)的幾倍：

一個(gè)數(shù)×幾倍；

求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少：

一個(gè)數(shù)×。

3、寫數(shù)量關(guān)系式技巧：

（1）“的”

相當(dāng)于

“×”

“占”、“是”、“比”相當(dāng)于“=”

（2）分率前是“的”：

單位“1”的量×分率=分率對(duì)應(yīng)量

（3）分率前是“多或少”的意思：?jiǎn)挝弧?”的量×（1分率）=分率對(duì)應(yīng)量

三、倒數(shù)

1、倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

強(qiáng)調(diào)：互為倒數(shù)，即倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，它們互相依存，倒數(shù)不能單獨(dú)存在。

（要說(shuō)清誰(shuí)是誰(shuí)的倒數(shù)）。

2、求倒數(shù)的方法：

（1）、求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：交換分子分母的位置。（2）、求整數(shù)的倒數(shù)：把整數(shù)看做分母是1的分?jǐn)?shù)，再交換分子分母的位置。（3）、求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。

（4）、求小數(shù)的倒數(shù)：

把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。

3、1的倒數(shù)是1；0沒有倒數(shù)。

因?yàn)?×1=1；0乘任何數(shù)都得0，（分母不能為0）

4、

對(duì)于任意數(shù)，它的倒數(shù)為；非零整數(shù)的倒數(shù)為；分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是；

5、真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)大于1；假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于或等于1；帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于1。

分?jǐn)?shù)除法

一、

分?jǐn)?shù)除法

1、分?jǐn)?shù)除法的意義：

分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法的意義相同，表示已知兩個(gè)因數(shù)的積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

2、分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則：除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

3、

規(guī)律（分?jǐn)?shù)除法比較大小時(shí)）：（1）、當(dāng)除數(shù)大于1，商小于被除數(shù)；

（2）、當(dāng)除數(shù)小于1（不等于0），商大于被除數(shù)；（3）、當(dāng)除數(shù)等于1，商等于被除數(shù)。

4、

“”叫做中括號(hào)。一個(gè)算式里，如果既有小括號(hào)，又有中括號(hào)，要先算小括號(hào)里面的，

再算中括號(hào)里面的。

二、分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題

（未知單位“1”的量（用除法）：已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。）

1、數(shù)量關(guān)系式和分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題中的關(guān)系式相同：

（1）分率前是“的”：

單位“1”的量×分率=分率對(duì)應(yīng)量

（2）分率前是“多或少”的意思：?jiǎn)挝弧?”的量×（1分率）=分率對(duì)應(yīng)量

2、解法：（建議：最好用方程解答）

（1）方程：

根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X，用方程解答。

（2）算術(shù)（用除法）：

分率對(duì)應(yīng)量÷對(duì)應(yīng)分率=單位“1”的量

3、求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾：就

一個(gè)數(shù)÷另一個(gè)數(shù)

4、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾：

①求多幾分之幾：大數(shù)÷小數(shù)–1

②求少幾分之幾：1-

小數(shù)÷大數(shù)

或①求多幾分之幾（大數(shù)-小數(shù)）÷小數(shù)②求少幾分之幾：（大數(shù)-小數(shù)）÷大數(shù)

三、比和比的應(yīng)用

（一）、比的意義

1、比的意義：兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。

2、在兩個(gè)數(shù)的比中，比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。

例如

15：10=15÷10=

（比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示）

∶

∶

∶

∶

前項(xiàng)

比號(hào)

后項(xiàng)

比值

3、比可以表示兩個(gè)相同量的關(guān)系，即倍數(shù)關(guān)系。也可以表示兩個(gè)不同量的比，得到一個(gè)新量。例：

路程÷速度=時(shí)間。

4、區(qū)分比和比值

比：表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，可以寫成比的形式，也可以用分?jǐn)?shù)表示。

比值：相當(dāng)于商，是一個(gè)數(shù)，可以是整數(shù)，分?jǐn)?shù)，也可以是小數(shù)。

5、根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，兩個(gè)數(shù)的比也可以寫成分?jǐn)?shù)形式。

6、比和除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系：

比

前

項(xiàng)

比號(hào)“：”

后項(xiàng)

比值

除法

被除數(shù)

除號(hào)“÷”

除數(shù)

商

分?jǐn)?shù)

分

子

分?jǐn)?shù)線“—”

分母

分?jǐn)?shù)值

7、比和除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別：除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，比表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系。

8、根據(jù)比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，可以理解比的后項(xiàng)不能為0。

體育比賽中出現(xiàn)兩隊(duì)的分是2：0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個(gè)數(shù)相除的關(guān)系。

（二）、比的基本性質(zhì)

1、根據(jù)比、除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系：

商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)時(shí)（0除外），分?jǐn)?shù)值不變。

比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)(0除外)，比值不變。

2、最簡(jiǎn)整數(shù)比：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)，并且是互質(zhì)數(shù)，這樣的比就是最簡(jiǎn)整數(shù)比。

3、根據(jù)比的基本性質(zhì)，可以把比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比。

4.化簡(jiǎn)比：

①用比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)除以它們的最大公因數(shù)。

（1）

②兩個(gè)分?jǐn)?shù)的比：用前項(xiàng)后項(xiàng)同時(shí)乘分母的最小公倍數(shù)，再按化簡(jiǎn)整數(shù)比的方法來(lái)化簡(jiǎn)。

③兩個(gè)小數(shù)的比：向右移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的位置，先化成整數(shù)比再化簡(jiǎn)。

（2）用求比值的方法。注意:最后結(jié)果要寫成比的形式。

如：

15∶10=15÷10=

=3∶2

5．按比例分配：把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來(lái)進(jìn)行分配。這種方法通常叫做按比例分配。

如：

已知兩個(gè)量之比為，則設(shè)這兩個(gè)量分別為。

6、

路程一定，速度比和時(shí)間比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，時(shí)間比則為5：4）

工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比。

（如：工作總量相同，工作時(shí)間比是3：2，工作效率比則是2：3）

圓

一、

認(rèn)識(shí)圓

1、圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。

2、圓心：將一張圓形紙片對(duì)折兩次，折痕相交于圓中心的一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做圓心。

一般用字母O表示。它到圓上任意一點(diǎn)的距離都相等．

3、半徑：連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用字母r表示。

把圓規(guī)兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。

4、直徑：通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用字母d表示。

直徑是一個(gè)圓內(nèi)最長(zhǎng)的線段。

5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。

6、在同圓或等圓內(nèi)，有無(wú)數(shù)條半徑，有無(wú)數(shù)條直徑。所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。

7．在同圓或等圓內(nèi)，直徑的長(zhǎng)度是半徑的2倍，半徑的長(zhǎng)度是直徑的。

用字母表示為：d＝2r或r＝

8、軸對(duì)稱圖形：

如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形。

折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸。（經(jīng)過(guò)圓心的任意一條直線或直徑所在的直線）

9、長(zhǎng)方形、正方形和圓都是對(duì)稱圖形，都有對(duì)稱軸。這些圖形都是軸對(duì)稱圖形。

10、只有1一條對(duì)稱軸的圖形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。

只有2條對(duì)稱軸的圖形是：

長(zhǎng)方形

只有3條對(duì)稱軸的圖形是：

等邊三角形

只有4條對(duì)稱軸的圖形是：

正方形;

有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸的圖形是：

圓、圓環(huán)。

二、圓的周長(zhǎng)

1、圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)。用字母C表示。

2、圓周率實(shí)驗(yàn)：

在圓形紙片上做個(gè)記號(hào)，與直尺0刻度對(duì)齊，在直尺上滾動(dòng)一周，求出圓的周長(zhǎng)。

發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，就是圓周長(zhǎng)與它直徑的比值是一個(gè)固定數(shù)（π）。

3．圓周率：任意一個(gè)圓的周長(zhǎng)與它的直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率。

用字母π（pai）表示。

（1）、一個(gè)圓的周長(zhǎng)總是它直徑的3倍多一些，這個(gè)比值是一個(gè)固定的數(shù)。

圓周率π是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。在計(jì)算時(shí)，一般取π≈3.14。

（2）、在判斷時(shí)，圓周長(zhǎng)與它直徑的比值是π倍，而不是3.14倍。

（3）、世界上第一個(gè)把圓周率算出來(lái)的人是我國(guó)的數(shù)學(xué)家祖沖之。

4、圓的周長(zhǎng)公式：C=πd

d=C÷π

或C=2πr

r=C÷2π

5、在一個(gè)正方形里畫一個(gè)最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)。

在一個(gè)長(zhǎng)方形里畫一個(gè)最大的圓，圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬。

6、區(qū)分周長(zhǎng)的一半和半圓的周長(zhǎng)：

（1）

周長(zhǎng)的一半：等于圓的周長(zhǎng)÷2

計(jì)算方法：2πr÷2

即

πr

（2）半圓的周長(zhǎng)：等于圓的周長(zhǎng)的一半加直徑。

計(jì)算方法：πr＋2r

三、圓的面積

1、圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。

用字母S表示。

2、一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

3、圓面積公式的推導(dǎo)：

（1）、用逐漸逼近的轉(zhuǎn)化思想：體現(xiàn)化圓為方，化曲為直；化新為舊，化未知為已知，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化抽象為具體。

（2）、把一個(gè)圓等分（偶數(shù)份）成的扇形份數(shù)越多，拼成的圖像越接近長(zhǎng)方形。

（3）、拼出的圖形與圓的周長(zhǎng)和半徑的關(guān)系。

圓的半徑

=

長(zhǎng)方形的寬

圓的周長(zhǎng)的一半

=

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)

因?yàn)椋?/p>

長(zhǎng)方形面積

=

長(zhǎng)

×

寬所以：

圓的面積=圓周長(zhǎng)的一半×圓的半徑

S圓=πr×r

圓的面積公式：

S圓=

πr2

4、環(huán)形的面積：

一個(gè)環(huán)形，外圓的半徑是R，內(nèi)圓的半徑是r。（R＝r＋環(huán)的寬度．）

S環(huán)=πR2－πｒ2

或

環(huán)形的面積公式：

S環(huán)

=π（R2－ｒ2）。

5、一個(gè)圓，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長(zhǎng)也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。

而面積擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)是這倍數(shù)的平方倍。

例如：

在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大3倍，那么直徑和周長(zhǎng)就都擴(kuò)大3倍，而面積擴(kuò)大9倍。

6、兩個(gè)圓：

半徑比=直徑比=周長(zhǎng)比；而面積比等于這比的平方。

例如：

兩個(gè)圓的半徑比是2∶3，那么這兩個(gè)圓的直徑比和周長(zhǎng)比都是2∶3，而面積比是4∶9

7、任意一個(gè)正方形與它內(nèi)切圓的面積之比都是一個(gè)固定值，即：4∶π

8、當(dāng)長(zhǎng)方形，正方形，圓的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓面積最大，正方形居中，長(zhǎng)方形面積最小。反之，面積相同時(shí)，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最長(zhǎng)，正方形居中，圓周長(zhǎng)最短。

9、確定起跑線：

（1）、每條跑道的長(zhǎng)度=兩個(gè)半圓形跑道合成的圓的周長(zhǎng)+兩個(gè)直道的長(zhǎng)度。

（2）、每條跑道直道的長(zhǎng)度都相等，而各圓周長(zhǎng)決定每條跑道的總長(zhǎng)度。（因此起跑線不同）

（3）、每相鄰兩個(gè)跑道相隔的距離是：

2×π×跑道的寬度

（4）、當(dāng)一個(gè)圓的半徑增加ａ厘米時(shí)，它的周長(zhǎng)就增加２πａ厘米；當(dāng)一個(gè)圓的直徑增加ａ厘米時(shí)，它的周長(zhǎng)就增加πａ厘米。

11、常用各π值結(jié)果：

π=3.14

2π=6.28

3π=9.42

5π=15.7

6π=18.84

7π=21.98

9π=28.26

10π=31.4

16π=50.24

36π=113.04

64π=200.96

96π=301.44

4π=12.56

8π=25.12

25π=78.5

12、常用平方數(shù)結(jié)果

=121

=144

=169

=196

=225

=256

=289

=324

=361

百分?jǐn)?shù)

一、百分?jǐn)?shù)的意義和寫法

1、百分?jǐn)?shù)的意義：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。

百分?jǐn)?shù)是指的兩個(gè)數(shù)的比，因此也叫百分率或百分比。

2、

千分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的千分之幾。

3、

百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的主要聯(lián)系與區(qū)別：

（1）

聯(lián)系：都可以表示兩個(gè)量的倍比關(guān)系。

（2）

區(qū)別：

①、意義不同：百分?jǐn)?shù)只表示兩個(gè)數(shù)的倍比關(guān)系，不能表示具體的數(shù)量，所以不能帶單位；

分?jǐn)?shù)既可以表示具體的數(shù)，又可以表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，表示具本數(shù)時(shí)可以帶單位。

②、百分?jǐn)?shù)的分子可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)；

分?jǐn)?shù)的分子不能是小數(shù)，只能是除0以外的自然數(shù)。

4、百分?jǐn)?shù)的寫法：通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來(lái)分子后面加上“％”來(lái)表示。

二、百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化

（一）百分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化：

1、小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分號(hào)。

2.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，同時(shí)去掉百分號(hào)。

（二）百分?jǐn)?shù)的和分?jǐn)?shù)的互化

1、百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)：

先把百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)，先把百分?jǐn)?shù)改寫成分母是否100的分?jǐn)?shù)，能約分要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

2、分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：

①用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把分?jǐn)?shù)分母擴(kuò)大或縮小成分母是100的分?jǐn)?shù)，再寫成百分?jǐn)?shù)形式。

②先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí)，通常保留三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。

（三）常見的分?jǐn)?shù)與小數(shù)、百分?jǐn)?shù)之間的互化

=0.5=50%

=0.2=20%

=0.625=62.5%

=0.25=25%

=0.4=40%

=0.125=12.5%

=0.75=75%

=0.6=60%

=1.375=37.5%

=0.0625=6.25%

=0.8=80%

=0.875=87.5%

=0.04=4﹪

=0.08=8﹪

=0.12=12﹪

=0.16=16﹪

三、用百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題

（一）一般應(yīng)用題

1、常見的百分率的計(jì)算方法：

①合格率=

②發(fā)芽率=

③出勤率=

④達(dá)標(biāo)率=

⑤成活率=

⑥出粉率=

⑦烘干率=

⑧含水率=

一般來(lái)講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達(dá)到100%，出米率、出油率達(dá)不到100%，完成率、增長(zhǎng)了百分之幾等可以超過(guò)100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）

2、已知單位“1”的量（用乘法），求單位“1”的百分之幾是多少的問(wèn)題：

數(shù)量關(guān)系式和分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題中的關(guān)系式相同：

（1）分率前是“的”：

單位“1”的量×分率=分率對(duì)應(yīng)量

（2）分率前是“多或少”的意思：?jiǎn)挝弧?”的量×（1分率）=分率對(duì)應(yīng)量

3、未知單位“1”的量（用除法），已知單位“1”的百分之幾是多少，求單位“1”。

解法：（建議：最好用方程解答）

（1）方程：

根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X，用方程解答。

（2）算術(shù)（用除法）：

分率對(duì)應(yīng)量÷對(duì)應(yīng)分率=單位“1”的量

4、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）百分之幾的問(wèn)題：

兩個(gè)數(shù)的相差量÷單位“1”的量×100%

或：

①

求多百分之幾：(大數(shù)-小數(shù))÷小數(shù)

②求少百分之幾：（大數(shù)-小數(shù)）÷大數(shù)

（二）、折扣

1、折扣：商品按原定價(jià)格的百分之幾出售，叫做折扣。通稱“打折”。

幾折就表示十分之幾，也就是百分之幾十。例如八折==80﹪,六折五=0.65=65﹪

2、一成是十分之一，也就是10%。三成五就是十分之三點(diǎn)五，也就是35%

（三）、納稅

1、納稅：納稅是根據(jù)國(guó)家稅法的有關(guān)規(guī)定，按照一定的比率把集體或個(gè)人收入的一部分繳納給國(guó)家。

2、納稅的意義：稅收是國(guó)家財(cái)政收入的主要來(lái)源之一。國(guó)家用收來(lái)的稅款發(fā)展經(jīng)濟(jì)、科技、教育、文化和國(guó)防安全等事業(yè)。

3、應(yīng)納稅額：繳納的稅款叫做應(yīng)納稅額。

4、稅率：應(yīng)納稅額與各種收入的比率叫做稅率。

5、應(yīng)納稅額的計(jì)算方法：應(yīng)納稅額=總收入×稅率

（四）利息

1、存款分為活期、整存整取和零存整取等方法。

2、儲(chǔ)蓄的意義：人們常常把暫時(shí)不用的錢存入銀行或信用社，儲(chǔ)蓄起來(lái)，這樣不僅可以支援國(guó)家建設(shè)，也使得個(gè)人用錢更加安全和有計(jì)劃，還可以增加一些收入。

3、本金：存入銀行的錢叫做本金。

4、利息：取款時(shí)銀行多支付的錢叫做利息。

5、利率：利息與本金的比值叫做利率。

6、利息的計(jì)算公式：利息＝本金×利率×?xí)r間

7、注意：如要上利息稅（國(guó)債和教育儲(chǔ)藏的利息不納稅），則：

稅后利息=利息-利息的應(yīng)納稅額=利息-利息×利息稅率=利息×（1-利息稅率）

扇形統(tǒng)計(jì)圖

一、扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義：

用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個(gè)扇形面積表示各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系。

也就是各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分比（因此也叫百分比圖）。

二、常用統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)點(diǎn)：

1、條形統(tǒng)計(jì)圖：可以清楚的看出各種數(shù)量的多少。

2、折線統(tǒng)計(jì)圖：不僅可以看出各種數(shù)量的多少，還可以清晰看出數(shù)量的增減變化情況。

3、扇形統(tǒng)計(jì)圖：能夠清楚的反映出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系。

三、扇形的面積大小：在同一個(gè)圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角的大小有關(guān)，圓心角越大，扇形越大。（因此扇形面積占圓面積的百分比，同時(shí)也是該扇形圓心角度數(shù)占圓周角度數(shù)的百分比。）

圓柱與圓錐

一、圓柱的特征：

1、圓柱的兩個(gè)圓面叫做底面，周圍的面叫做側(cè)面，底面是平面，側(cè)面是曲面，。

2、圓柱的高：圓柱兩個(gè)底面之間的距離叫做高。圓柱的高有無(wú)數(shù)條。

3、圓柱的側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面沿高展開后是長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱底面的周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬等于圓柱的高，當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)和高相等時(shí)，側(cè)面沿高展開后是一個(gè)正方形。

4、圓柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高

即S側(cè)=Ch

或2πr×h

5、圓柱的表面積=圓柱的側(cè)面積+底面積×2

即S表=S側(cè)+S底×2或2πr×h+2×πr2

6、圓柱的體積=圓柱的底面積×高，

即V=sh或πr2×h

7、將一張長(zhǎng)方形圍成圓柱有兩種方法，將一張長(zhǎng)方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)一般也有兩種。

（進(jìn)一法：實(shí)際中，使用的材料都要比計(jì)算的結(jié)果多一些，因此，要保留數(shù)的時(shí)候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位進(jìn)1。這種取近似值的方法叫做進(jìn)一法。）

二、圓錐的特征：

1、圓錐只有一個(gè)底面，底面是個(gè)圓。圓錐的側(cè)面是個(gè)曲面。

2、從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高。圓錐只有一條高。（測(cè)量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點(diǎn)上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。）

3、把圓錐的側(cè)面展開得到一個(gè)扇形。4、圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱體積的三分之一，即V錐=

Sh

或V錐=

πr2×h

5、常見的圓柱圓錐解決問(wèn)題：①、壓路機(jī)壓過(guò)路面面積（求側(cè)面積）；②、壓路機(jī)壓過(guò)路面長(zhǎng)度（求底面周長(zhǎng)）；③、水桶鐵皮（求側(cè)面積和一個(gè)底面積）；④、廚師帽（求側(cè)面積和一個(gè)底面積）；通風(fēng)管（求側(cè)面積）。

6、圓柱和圓錐的特征

圓柱

圓錐

底面

兩個(gè)底面完全相同，都是圓形。

一個(gè)底面，是圓形。

側(cè)面

曲面，沿高剪開，展開后是長(zhǎng)方形。

曲面，沿頂點(diǎn)到底面圓周上的一條線段剪開，展開后是扇形。

高

兩個(gè)底面之間的距離，有無(wú)數(shù)條。

頂點(diǎn)到底面圓心的距離，只有一條。常用單位換算長(zhǎng)度單位換算

1千米=1000米1米=10分米

1分米=10厘米1米=100厘米

1厘米=10毫米

面積單位換算

1平方千米=100公頃

1公頃=10000平方米

1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米

1平方厘米=100平方毫米

體(容)積單位換算

1立方米=1000立方分米

1立方分米=1000立方厘米

1立方分米=1升

1立方厘米=1毫升

1立方米=1000升

重量單位換算

1噸=1000千克

1千克=1000克

1千克=1公斤

人民幣單位換算

1元=10角

1角=10分

1元=100分

時(shí)間單位換算

1世紀(jì)=100年

1年=12月

大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月

小月(30天)的有:4\6\9\11月

平年2月28天,閏年2月29天

平年全年365天,閏年全年366天

1日=24小時(shí)

1時(shí)=60分

1分=60秒

1時(shí)=3600秒

分式一分式的概念一般地，如果，表示兩個(gè)整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．整式與分式統(tǒng)稱為有理式．在理解分式的概念時(shí)，注意以下三點(diǎn)：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不為0；⑶分式必然是寫成兩式相除的形式，中間以分?jǐn)?shù)線隔開．與分式有關(guān)的條件=1\*GB3①分式有意義：分母不為0（）=2\*GB3②分式無(wú)意義：分母為0（）=3\*GB3③分式值為0：分子為0且分母不為0（）=4\*GB3④分式值為正或大于0：分子分母同號(hào)（或）=5\*GB3⑤分式值為負(fù)或小于0：分子分母異號(hào)（或）=6\*GB3⑥分式值為1：分子分母值相等（A=B）=7\*GB3⑦分式值為-1：分子分母值互為相反數(shù)（A+B=0）增根的意義：

（1）增根是使所給分式方程分母為零的未知數(shù)的值。

（2）增根是將所給分式方程去分母后所得整式方程的根。一、分式的基本概念在下列代數(shù)式中，哪些是分式？哪些是整式？，，，，，，，，代數(shù)式中分式有（）A.1個(gè)B.1個(gè)C.1個(gè)D.1個(gè)練習(xí)：下列代數(shù)式中：，是分式的有： .二、分式有意義的條件求下列分式有意義的條件：⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺⑴為何值時(shí)，分式有意義？⑵要使分式?jīng)]有意義，求的值.為何值時(shí)，分式有意義？為何值時(shí)，分式有意義？若分式有意義，則；若分式無(wú)意義，則；⑴若分式有意義，則;⑵若分式無(wú)意義，則;練習(xí)：當(dāng)有何值時(shí)，下列分式有意義1、（1） （2） （3） （4） （5）2、要使分式有意義，則須滿足的條件為 ．3、若有意義，則().A.無(wú)意義B.有意義C.值為0D.以上答案都不對(duì)4、為何值時(shí)，分式有意義？三、分式值為零的條件當(dāng)為何值時(shí)，下列分式的值為0？⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹（7）（8）如果分式的值是零，那么的取值是．為何值時(shí)，分式分式值為零？練習(xí)：1、若分式的值為0，則的值為 ．2、當(dāng)取何值時(shí)，下列分式的值為0. （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8） （9） （10） 關(guān)于分式方程的增根與無(wú)解它包含兩種情形：（一）原方程化去分母后的整式方程無(wú)解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無(wú)解．現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：解方程解方程．例3若方程=無(wú)解，則m=——．（1）當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根（2）若將此題“會(huì)產(chǎn)生增根”改為“無(wú)解”，即：a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程無(wú)解？練習(xí)：1、當(dāng)k為何值時(shí)，方程會(huì)出現(xiàn)增根？2、已知分式方程有增根，求a的值。3、分式方程有增根，則m的值為多少？4、a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程有解？5、關(guān)于x的方程-2=有一個(gè)正數(shù)解，求m的取值范圍。6、使分式方程產(chǎn)生增根的m的值為___________7、當(dāng)m為何值時(shí)，去分母解方程eq\f(2,x-2)＋eq\f(mx,x2-4)＝0會(huì)產(chǎn)生增根。8、若方程會(huì)產(chǎn)生增根，則（）A、B、k=2C、k=－2D、k為任何實(shí)數(shù)9、若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是（）A.－1或－2B.－1或2C.1或2 D.1或－210、已知關(guān)于的方程有負(fù)數(shù)解，求的取值范圍。11、當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)根分式二分式的基本性質(zhì)及有關(guān)題型1．分式的基本性質(zhì)：（M不為0）2．分式的變號(hào)法則：分式基本性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）分子、分母的系數(shù)化為整數(shù)不改變分式的值，把分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1） （2）（3） （4）練習(xí)：不改變分式的值，把下列各式的分子與分母的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)．⑴⑵分子、分母的首項(xiàng)的符號(hào)變?yōu)檎?hào)不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的首項(xiàng)的符號(hào)變?yōu)檎?hào).（1） （2） （3）練習(xí)：；（2）未知數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)1、若，的值擴(kuò)大為原來(lái)的倍，下列分式的值如何變化？⑴ ⑵ ⑶2、若，的值都縮小為原來(lái)的，下列分式的值如何變化？（1）（2）（3）練習(xí):1．如果=3，則=（）A．B．xyC．4D．2．如果把的x與y都擴(kuò)大10倍，那么這個(gè)代數(shù)式的值（）A．不變B．?dāng)U大50倍C．?dāng)U大10倍D．縮小到原來(lái)的3．若分式中的a、b的值同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，則分式的值（）A．是原來(lái)的20倍B．是原來(lái)的10倍C．是原來(lái)的D．不變4．如果把分式中的x和y的值都縮小為原來(lái)的，那么分式的值（）A．?dāng)U大3倍B．縮小為原來(lái)的C．縮小為原來(lái)的D．不變5．如果把分式中的x和y都擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，那么分式的值（）A．?dāng)U大為原來(lái)的4倍B．縮小為原來(lái)的C．?dāng)U大為原來(lái)的16倍D．不變6．若把分式中的x和y都擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，那么分式的值（）A．?dāng)U大3倍B．縮小3倍C．縮小6倍D．不變7．如果把中的x和y都擴(kuò)大5倍，那么分式的值（）A擴(kuò)大5倍B不變C縮小5倍D擴(kuò)大4倍8、若x、y的值均擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則下列分式的值保持不變的是（）A、B、C、D、直接通分化簡(jiǎn)1、已知：，求的值.2、已知：，求的值.3、若的值是多少？練習(xí)：1、已知，求2、已知，求的值3、已知，求的值．（8分）4、已知：，求的值.5、如果，則.先化簡(jiǎn)成x+或，再求值1、若，求x+，x2+,的值.已知：，試求的值.3、已知：，求的值.練習(xí)已知：，求的值.利用非負(fù)性求分?jǐn)?shù)的值1、若，求的值.2、若，求的值.練習(xí)：若，求的值.若，求的值.求待定字母的值1、若，試求的值.2、已知：，試求、的值.練習(xí)：1、已知：，則_________．2、若已知（其中A、B為常數(shù)），則A=__________，B=__________；較難分式化簡(jiǎn)求值練習(xí)：代數(shù)式值為整數(shù)1、當(dāng)為何整數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值是整數(shù)，并求出這個(gè)整數(shù)值.2、當(dāng)為何整數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值是整數(shù)，并求出這個(gè)整數(shù)值.練習(xí)：1、當(dāng)為何整數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值是整數(shù)，并求出這個(gè)整數(shù)值.2、當(dāng)為何整數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值是整數(shù)，并求出這個(gè)整數(shù)值.分式三分式的意義及分式的值例題1、當(dāng)=3時(shí)，分式的值為0，而當(dāng)=2時(shí)，分式無(wú)意義，則求的值時(shí)多少？例題2、不論取何值，分式總有意義，求的取值范圍。有條件的分式的化簡(jiǎn)求值(一)、著眼全局，整體代入例3、已知，求的值.例4、已知，求的值.二、巧妙變形，構(gòu)造代入例5.已知不等于0，且，求的值.例6.若b+=1，c+=1，求。三、參數(shù)輔助，多元?dú)w一例7、已知，求的值。.四、打破常規(guī)，倒數(shù)代入例8、已知，求的值.例9.已知,求的值.(五)活用(完全平方)公式,進(jìn)行配方.例10.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求的值。(六)大膽消元,解后代入例11.已知a＋b－c=0，2a－b+2c=0(c≠0),求的值.無(wú)條件的分式的求值計(jì)算例10.計(jì)算:＋＋＋…＋。例題11、計(jì)算分式方程的無(wú)解及增根給出帶參數(shù)的分式方程求增根例12.關(guān)于的方程有增根．則增根是()A2B.-2C.2或-2D.沒有已知分式方程的增根求參數(shù)的值例13.分式方程有增根，則m的值為多