高考數(shù)學(xué)真題分類匯編10立體幾何理

1.【2015高考安徽，理5】已知加，〃是兩條不同直線，a,尸是兩個(gè)不同平面，則下列命

題正確的是()

(A)若a,萬垂直于同一平面，則a與夕平行

(B)若加，“平行于同一平面，則〃?與〃平行

(C)若a,"不平行，則在a內(nèi)不存在與，平行的直線

(D)若加，〃不平行，則加與〃不可能垂直于同一平面

【答案】D

【解析】由A,若a,尸垂直于同一平面，則a,尸可以相交、平行，故A不正確；由B,

若加，〃平行于同一平面，則〃?，〃可以平行、重合、相交、異面，故8不正確；由C,

若a,￡不平行，但a平面內(nèi)會(huì)存在平行于尸的直線，如a平面中平行于a,尸交線

的直線；由。項(xiàng)，其逆否命題為“若加與〃垂直于同一平面，則加，〃平行”是真命題,

故。項(xiàng)正確.所以選D.

【考點(diǎn)定位】L直線、平面的垂直、平行判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用.

【名師點(diǎn)睛】空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫圖(尤其是

畫長方體)、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法(如墻角、桌面等)、排除篩選法等；另外，若原命題不太

容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等

價(jià).

2.12015高考北京，理4】設(shè)a,是兩個(gè)不同的平面，，〃是直線且〃?ua."，"〃/?”是

“a〃6”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】因?yàn)閍,夕是兩個(gè)不同的平面，山是直線且〃?ua.若〃夕”，則平面a、夕可

能相交也可能平行，不能推出。//夕，反過來若a〃力，mua,則有相〃￡,則“〃?〃/”

是“a〃夕”的必要而不充分條件.

考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為空間直線與平面的位置關(guān)系，重點(diǎn)考察線面、面面平行問題和充要條

件的有關(guān)知識(shí).

【名師點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系及充要條件，本題屬于基礎(chǔ)題，本題以空

間線、面位置關(guān)系為載體，考查充要條件.考查學(xué)生對空間線、面的位置關(guān)系及空間面、面

的位置關(guān)系的理解及空間想象能力，重點(diǎn)是線面平行和面面平行的有關(guān)判定和性質(zhì).

3.【2015高考新課標(biāo)1,理6】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如

下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。間：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)

墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部

的弧長為8尺，米堆的高為5尺，間米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約

為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放斛的米約有（）

（A）14斛（B）22斛（036斛（D）66斛

【答案】B

【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r.貝IJ1X2X3L=S=L=竺，所以米堆的體積為:=

434339

故堆放的米約為竺+1.62和22,故選B.

9

【考點(diǎn)定位】圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式

【名師點(diǎn)睛】本題以《九章算術(shù)》中的問題為材料，試題背景新穎，解答本題的關(guān)鍵應(yīng)想到

米堆是L圓錐，底面周長是兩個(gè)底面半徑與1圓的和，根據(jù)題中的條件列出關(guān)于底面半徑的

44

方程，解出底面半徑，是基礎(chǔ)題.

4.12015高考陜西，理5】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.3萬B?47C.2）+4

【答案】D

【解析】由三視圖知：該幾何體是半個(gè)圓柱，其中底面圓的半徑為1,母線長為2,所以該幾

何體的表面積是gx2?xlx(l+2)+2x2=3?+4,故選D.

【考點(diǎn)定位】1、三視圖；2、空間幾何體的表面積.

【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是三視圖和空間兒何體的表面積，屬于容易題.解題時(shí)要看清

楚是求表面積還是求體積，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.本題先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征,

再計(jì)算出幾何體各個(gè)面的面積即可.

5.[2015高考新課標(biāo)1,理11】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)兒

何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20萬，則

尸()

(A)1(B)2(C)4(D)8

【答案】B

【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半

徑都為r,圓柱的高為2r,其表面積為，*4萬/+%rx2r+T/+2rx2r=57/+4/=16+

2

20萬，解得尸2,故選B.

【考點(diǎn)定位】簡單幾何體的三視圖；球的表面積公式、圓柱的測面積公式

【名師點(diǎn)睛】本題考查簡單組合體的三視圖的識(shí)別，是常規(guī)提，對簡單組合體三三視圖問題，

先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀，再根據(jù)“長對正，

寬相等，高平齊”的法則組合體中的各個(gè)量.

6.12015高考重慶，理5】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

左祝圖俯視圖

題圖

A、—F71B、F71

33

C^—F2"D^—F2TT

33

【答案】A

【解析】這是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓柱的組合體，V=—7rxl2x2+-x(—xxlx2)xl=^+-,

2323

選A.

【考點(diǎn)定位】組合體的體積.

【名師點(diǎn)晴】本題涉及到三視圖的認(rèn)知，要求學(xué)生能由三視圖畫出幾何體的直觀圖，從而分

析出它是哪些基本幾何體的組合，應(yīng)用相應(yīng)的體積公式求出幾何體的體積，關(guān)鍵是畫出直觀

圖，本題考查了學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.

7.【2015高考北京，理5】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是()

A.2+5/5B.4+75C.2+2石D.5

【答案】C

【解析】根據(jù)三視圖恢復(fù)成三棱錐P-ABC，其中比一平面ABC,取皿棱的中點(diǎn)D,連接CD、PD,有

PD-AB,CD_AB,底面ABC為等腰三角形底邊AB上的高CD為2,

AD=BD=1,PC=1,PD=A/5,=—x2x2=2,,S辛,==-x2xyfs—,AC=BC

=乎，三棱錐表面積S表=275+2.

考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為利用三視圖還原幾何體及求三棱錐的表面積，考查空間線線、線

面的位置關(guān)系及有關(guān)線段長度及三角形面積數(shù)據(jù)的計(jì)算.

【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖及多面體的表面積，本題屬于基礎(chǔ)題，正確利用三視圖還原為

原幾何體，特別是有關(guān)數(shù)據(jù)的還原，另外要利用線面垂直的性質(zhì)，判斷三角形的形狀，特別

是側(cè)面為8的形狀為等腰三角形，正確求出三個(gè)側(cè)面的面積和底面的面積.

8.12015高考安徽，理7】一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是()

(A)1+V3(B)2+V3

(C)1+272(D)272

第(7)腮圖

【答案】B

【解析】由題意，該四面體的直觀圖如下，是等腰直角三角形，M￡?C,AACD

11py

S.BcD=-XV2XV2=1,SMBC=SMCD=-XV2XV2sin60=苗，所以四面

體的表面積5=5岫8+5兇加+50時(shí)+508=2'1+2'苧=2+百，故選B.

【考點(diǎn)定位】1.空間幾何體的三視圖與直觀圖；2.空間幾何體表面積的求法.

【名師點(diǎn)睛】三視圖是高考中的熱門考點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟悉三視圖的排放規(guī)律：長對正，

高平齊，寬相等.同時(shí)熟悉常見幾何體的三視圖，這對于解答這類問題非常有幫助，本題

還應(yīng)注意常見幾何體的體積和表面積公式.

9.[2015高考新課標(biāo)2,理9]已知A,B是球0的球面上兩點(diǎn)，ZA0B=90,C為該球面上的動(dòng)

點(diǎn)，若三棱錐0-ABC體積的最大值為36,則球0的表面積為（）

A.36mB.64nC.144nD.256n

【答案】C

【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-T5c的體積最大，設(shè)球。的半

徑為R,此時(shí)也出,=%,“=1乂1r：＞＜出=」火3=36,故；?=6,則球。的表面積為

326

S=4,M：=144笈，故選C.

【考點(diǎn)定位】外接球表面積和椎體的體積.

C

【名師點(diǎn)睛】本題以球?yàn)楸尘翱疾榭臻g幾何體的體積和表面積計(jì)算，要明確球的截面性質(zhì)，

正確理解四面體體積最大時(shí)的情形，屬于中檔題.

冗

10.12015高考山東，理7】在梯形ABCD中，ZABC=-,AD//BC,BC=2AD=2AB=2.

2

將梯

形ABC。繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()

(A)—(B)—(C)—(D)2萬

333

【答案】C

【解析】直角梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個(gè)底面

半徑為1,母線長為2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑同樣是1、高為1的圓錐后得到的組合體，所

以該組合體的體積為：V==/rxI2x2--xxI2x1=-

Balft|3|t|E33

故選c.

【考點(diǎn)定位】1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；2、空間幾何體的體積.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及空間幾何體的體積的計(jì)算，重點(diǎn)考查了圓

柱、圓錐的結(jié)構(gòu)特征和體積的計(jì)算，體現(xiàn)了對學(xué)生空間想象能力以及基本運(yùn)算能力的考查，

此題屬中檔題.

11.【2015高考浙江，理8】如圖，已知A48C,。是A8的中點(diǎn)，沿直線CO將A4C。折

成AA'CD,所成二面角A—CD-3的平面角為a,則()

A.ZA'DB<aB.ZA'DB>aC.ZA'CB<aD.ZA'CB<a

【答案】B.

【解析】

試題分析：設(shè)NAQC=e,設(shè)AB=2,則由題意AO=BD=1,在空間圖形中，設(shè)=

A'D2+DB2-AB2l2+l2-t2_2-t2

在ZVVC6中，cos/AOB=

2A'DxDB2x1x1-2

在空間圖形中，過A作AN，DC,過8作垂足分別為N,M,

過N作NP”B,連結(jié)A'P,

則NANP就是二面角A'-CD-B的平面角，ZA'NP=a,

在RfAA'NO中，DN=A'DeosZA'DC=cos,A'N=A'DsinZA'DC=sin,

同理，BM=PN=sin。，DM=cosO,故BP=MN=2cos。，

顯然BP上而ANP,故BP_LA'P,

在R/A4'BP中，A'P2=A'B2-BP2=r2-(2cos^)2=Z2-4cos2,

A'N2+NP2-A'P2sin20+sin20-(t2-4cos20)

在AA'NP中,cosa=cosZ.A'NP=

2A'NxNP2sinOxsin。

2+2cos:6—r2—rcos*31.cos26

----—F---三————cos42DB+

2sin*2sin"0sin"9sin"9sin"0

—^>0,S2Ll>0,：.cosa>cos(當(dāng)8=三時(shí)取等號(hào)),

sin*3sin*92

a,ZA'DBe[0,^]?而j=cosx在[0：加上為遞減函數(shù)，aVNT'DB,故選B.

【考點(diǎn)定位】立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題，屬于較難題，由于AA3C的形狀不確定，

44'CB與

a的大小關(guān)系是不確定的，再根據(jù)二面角的定義即可知NA'DBNa,當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC時(shí),

等號(hào)成立

以立體幾何為背景的創(chuàng)新題是浙江高考數(shù)學(xué)試卷的熱點(diǎn)問題，12年，13年選擇題壓軸題均考

查了立體幾

何背景的創(chuàng)新題，解決此類問題需在平時(shí)注重空間想象能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練.

【2015高考湖南，理10】某工件的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工件通過切割，加工成一個(gè)體

積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的

新工件的體積

利用率為（材料利用率=))

原工件的體積

D12（五-Ip

71

正視圖

俯視圖

【答案】A.

【解析】

試題分析：分析題意可知，問題等價(jià)于圓錐的內(nèi)接長方體的體積的最大值，設(shè)長方體體的長,

寬，高分別為x,y,h,長方體上底面截圓錐的截面半徑為。，則/+,2=(2&)2=4/,

如下圖所示，圓錐的軸截面如圖所示，則可知色=4二4=/2=2-2。，而長方體的體積

12

V=xyh<——-——h=2a~h=2/(2-2a)

<2x^+a+2~2a)3=—,當(dāng)且僅當(dāng)％=丫，a=2—2ana=Z時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)利

3273

16

用率為~27—=逆_,故選人.

1萬x『x294

3

【考點(diǎn)定位】L圓錐的內(nèi)接長方體；2.基本不等式求最值.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的最值問題，與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較

難題，需要考

生從實(shí)際應(yīng)用問題中提取出相應(yīng)的幾何元素，再利用基本不等式求解，解決此類問題的兩大

核心思路：一

是化立體問題為平面問題，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)求解；二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，

選擇合理的變

量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用基本不等式，求其最值.

12.［2015高考浙江，理2］某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積是

（）

,332a40a

A.8cm3B.12cm3C.——cmD.―cm

33

俯視圖

【答案】C.

【解析】

試題分析：由題意得，該幾何體為一立方體與四棱錐的組合，如下圖所示，體積/=F+±x2：x2=土,

33

故選C.

【考點(diǎn)定位】1.三視圖；2.空間幾何體的體積計(jì)算.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再計(jì)算其體積，屬于容易

題，在解題過程中，根據(jù)三視圖可以得到該幾何體是一個(gè)正方體與四棱錐的組合，將組合體

的三視圖，正方體與錐體的體積計(jì)算結(jié)合在一起，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力

和計(jì)算能力，會(huì)利用所學(xué)公式進(jìn)行計(jì)算，體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)的交匯.

13.12015高考福建,理7］若/,〃?是兩條不同的直線，加垂直于平面a,貝J_〃？”是“///a

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】B

【解析】若/，〃？，因?yàn)榧哟怪庇谄矫鎍,貝U//a或/ua；若///a,又加垂直于平面

a,則/，加，所以“/，加”是“///a的必要不充分條件，故選B.

【考點(diǎn)定位】空間直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系.

【名師點(diǎn)睛】本題以充分條件和必要條件為載體考查空間直線、平面的位置關(guān)系，要理解

線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化以及線線平行和線面平行的轉(zhuǎn)化還有平行和垂直之間的內(nèi)

部聯(lián)系，長方體是直觀認(rèn)識(shí)和描述空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系很好的載體，所以我們可以將

這些問題還原到長方體中研究.

14.【2015高考新課標(biāo)2,理6】一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如

右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

【答案】D

【解析】由三視圖得，在正方體A8CD-ABCIR中，截去四面體4一4四?！溉鐖D所示，，

設(shè)正方體棱長為a,則匕ABD^-x-a3=-a\故剩余幾何體體積為蘇一=之々3,所

20,32666

以截去部分體積與剩余部分體積的比值為1,故選D.

5

【考點(diǎn)定位】三視圖.

【名師點(diǎn)睛】本題以正方體為背景考查三視圖、幾何體體積的運(yùn)算，要求有一定的空間想象

能力，關(guān)鍵是能從三視圖確定截面，進(jìn)而求體積比，屬于中檔題.

【2015高考上海，理6】若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為2%，則其母線與軸的夾角

的大小為.

7T

【答案】一

3

1TT

【解析】由題意得：//：（5小2r）=21=/=2/?=母線與軸的夾角為§

【考點(diǎn)定位】圓錐軸截面

【名師點(diǎn)睛】掌握對應(yīng)幾何體的側(cè)面積，軸截面面積計(jì)算方法.如圓柱的側(cè)面積5=2m7,

圓柱的表面積S=2用"（「+/）,圓錐的側(cè)面積S=mi,圓錐的表面積S=m（r+/）,

球體的表面積S=4研2,圓錐軸截面為等腰三角形.

【2015高考上海，理4】若正三棱柱的所有棱長均為“，且其體積為166，則&=.

【答案】4

【解析】a-■—a2=16\/3=>?3=64=>?=4

4

【考點(diǎn)定位】正三棱柱的體積

【名師點(diǎn)睛】簡單幾何體的表面積和體積計(jì)算是高考的一個(gè)常見考點(diǎn)，解決這類問題，首先

要熟練掌握各類簡單幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要掌握平幾面積計(jì)算方法.柱的體

積為M=s/?,區(qū)別錐的體積丫=s/?；熟記正三角形面積為火/,正六邊形的面積為

34

6x——a?

4

15.12015高考四川，理14］如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相

垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為6,

則COS。的最大值為.

【解析】

—11——1

建立坐標(biāo)系如圖所示.設(shè).正=1，則JF=(L10)：￡(4=0=0).設(shè)"(Oj;IX。<3'<1).則EM=(一。..1),

由于異面直線所成角的范圍為（0：；］,所以

1

_____2__(_l-_y__)___『8產(chǎn)1

cos8=,令8丁+1=?」金49,則

飛一EB4"+5

普t=—2一＞7?當(dāng)，=1時(shí)取等號(hào).所以

4y2+5f+q_25

2(1-y)122

石.J4y2+5&忑乂忑=1當(dāng)y=。時(shí)，取得最大值?

【考點(diǎn)定位】1、空間兩直線所成的角；2、不等式.

【名師點(diǎn)睛】空間的角與距離的問題，只要便于建立坐標(biāo)系均可建立坐標(biāo)系，然后利用公式

求解.解本題要注意，空間兩直線所成的角是不超過90度的.幾何問題還可結(jié)合圖形分析何時(shí)

取得最大值.當(dāng)點(diǎn)M在P處時(shí)，EM與AF所成角為直角，此時(shí)余弦值為。（最?。?dāng)M點(diǎn)向左

移動(dòng)時(shí)，EM與AF所成角逐漸變小，點(diǎn)M到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，角最小，從而余弦值最大.

16.12015高考天津，理10】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：加），則該幾何體的體積

為

側(cè)視圖

3

【解析】由三視圖可知，該幾何體是中間為一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓柱，兩端是底面半

1Q

徑為1,高為1的圓錐，所以該幾何體的體積V=12x?x2+2x-xl2x萬xl=2萬.

33

【考點(diǎn)定位】三視圖與旋轉(zhuǎn)體體積公式.

【名師點(diǎn)睛】主要考查三視圖與旋轉(zhuǎn)體體積公式及空間想象能力、運(yùn)算能力.識(shí)圖是數(shù)學(xué)的基

本功，空間想象能力是數(shù)學(xué)與實(shí)際生活必備的能力，本題將這些能力結(jié)合在一起，體現(xiàn)了數(shù)

學(xué)的實(shí)用價(jià)值，同時(shí)也考查了學(xué)生對旋轉(zhuǎn)體體積公式的掌握與應(yīng)用、計(jì)算能力.

17.[2015高考浙江，理13]如圖，三棱錐A-BCD中，

AB=AC=B￡>=CD=3,AD=8C=2,點(diǎn)分別是ADBC的中點(diǎn)，則異面直線

AN,CM所成的角的余弦值是.

7

【答案】

8

【解析】

試題分析：如下圖，連結(jié)。'，取DN中點(diǎn)尸，連結(jié)EU,PC,則可知二PA/C即為異面直

妓AX,CU所成角（或其補(bǔ)角）易得PV=:.IV=W.

PC=7AV:+c.v:=4i+i=-73.CM==2Vi.

8+2-37-

cosZPJ/C=*r-=-.即異面直線.LV,CU所成角的余弦值為—.

2x272x72SS

【考點(diǎn)定位】異面直線的夾角.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線夾角的求解，屬于中檔題，分析條件中出現(xiàn)的中點(diǎn),

可以考慮利用

三角形的中位線性質(zhì)利用平移產(chǎn)生異面直線的夾角，再利用余弦定理的變式即可求解，在復(fù)

習(xí)時(shí)應(yīng)了解兩

條異面直線夾角的范圍，常見的求異面直線夾角的方法等知識(shí)點(diǎn).

18.12015江蘇高考，9】現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高

為8的圓柱各一個(gè)。若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓

錐與圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為

【答案】S

【解析】由體積相等得：-x4x^-x52+^rx22x8=-xr2x^-x4+^rx/-2x8=>/-=>/7

33

【考點(diǎn)定位】圓柱及圓錐體積

【名師點(diǎn)晴】求空間幾何體體積的常用方法

(1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算.

(2)等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是

求出一些體積比等.

(3)割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的

幾何體.

19.12015高考新課標(biāo)2,理19](本題滿分12分)

如圖，長方體A8CD—ABCQ中，A3=16,BC=1O,A4,=8,^E,尸分別在A4,

GR上，AE=RE=4.過點(diǎn)E,尸的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.

(I)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說出畫法和理由);

(II)求直線AE與平面a所成角的正弦值.

475

【答案】(I)詳見解析；(II)—.

15

【解析】（I）交線圍成的正方形EHGF如圖:

（II）作EV_AB,垂足為V，貝h2/=達(dá)1=4,￡1/=44=8,因?yàn)镋HGF為正方形，所以

EH=EF=BC=W.于是［田=JE爐-ET"=6,所以.田=10.以￡>為坐標(biāo)原點(diǎn)，》的方向?yàn)?/p>

x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一耳z,則T（10：0:0）,77（10:10:0）,￡（10:41S）,

n\-_F_E__=_即0._

F（0:4:8）,豆=。0。0）,近=（0「自8）.設(shè)1=（工；z）是平面EHGF的法向量，則

[r-HE=Oz

；10x=0_______U'AF\

:所以可取1=（0：4：3）.又后=（一10：4：8）故|cos<.所以直

1

—6y4-Sz=0S

線TF與平面a所成角的正弦值為芷.

15

【考點(diǎn)定位】1、直線和平面平行的性質(zhì)；2、直線和平面所成的角.

【名師點(diǎn)睛】根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)畫平面。與長方體的面的交線；由交線的位置

可確定公共點(diǎn)的位置，坐標(biāo)法是求解空間角問題時(shí)常用的方法，但因其計(jì)算量大的特點(diǎn)很容

易出錯(cuò)，故坐標(biāo)系的選擇是很重要的，便于用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)，先求出面a的法向量，利用

sin0=|cos<n,AF>|求直線AF與平面a所成角的正弦值.

20.【2015江蘇高考，16］（本題滿分14分）

如圖，在直三棱柱ABC—4gG中，已知ACLBC,BC=CC,,設(shè)的中點(diǎn)為。,

51C「BC|=E.求證:(1)OE〃平面A4CC；

(2)BC、LABt.

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】

試題分析（1）由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面84GC為平行四邊形，因此點(diǎn)E為4c的中點(diǎn)，從而由三

角形中位線性

質(zhì)得DEAC,再由線面平行判定定理得DE平面J4QC（2）因?yàn)橹比庵琒C-a&G中

BC=CCX,所以側(cè)面典C：C為正方形，因此3C：，區(qū)C,又TC_8C,AC±CC（可由直三棱柱推導(dǎo)）,

因此由線面垂直判定定理得X。，平面班：C：C,從而AC一3C.,再由線面垂直判定定理得3C：一平面d區(qū)C,

進(jìn)而可得

試題解析：（1）由題意知，E為B】C的中點(diǎn)，

又D為一工&的中點(diǎn)，因此DEAC.

又因?yàn)镈EN平面AAiCQ,ACc平面A-A,^C,

所以DE平面AAiQC.

（2）因?yàn)槔庵鵄BC-AiB￡i是直三棱柱，

所以CCi—平面ABC.（第16鹿）

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以AC—CCp

又因?yàn)锳CLBC,CGu平面BCGB-BCu平面BCC|B「BCCC,=C,

所以AC_L平面BCC|B1.

又因?yàn)锽Qu平面BCC|B1,所以BC|，AC.

因?yàn)锽C=CC「所以矩形BCC|B1是正方形，因此BG，B|C.

因?yàn)锳C,B|Cu平面B|AC,ACB6=C，所以BQ_L平面B^AC.

又因?yàn)锳B|u平面B|AC,所以BG^AB-

【考點(diǎn)定位】線面平行判定定理，線面垂直判定定理

【名師點(diǎn)晴】不要忽視線面平行的判定定理中線在面外條件.證明直線與平面平行的關(guān)鍵是

設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,常利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、

線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.證明線面垂直時(shí)，不

要忽視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件.證明直線與平面垂直的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)

系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形中的一些線線垂直關(guān)系的靈活利用，這是證明空間垂直關(guān)系

的基礎(chǔ).

21.12015高考安徽，理19］如圖所示，在多面體44AOCBA,四邊形例48,

AORA均為正方形，E為g"的中點(diǎn)，過4，DE的平面交于F.

（I）證明：EFi!B、C；

（II）求二面角E—A4余弦值.

第19題圖

【答案】（I）EF//B.C；（II）—.

13

【解析】

試題分析：（I）證明：依據(jù)正方形的性質(zhì)可知A￡//A8//DC,且44=AB=DC,,從

而48co為平行四邊形，則與。//4。，根據(jù)線面平行的判定定理知qc//面AOE，

再由線面平行的性質(zhì)定理知EE//BC.（H）因?yàn)樗倪呅蜛DD}At,ABCD均

為正方形，所以44,LAB,A&LADA。，A3,且A4,=A3=A。，可以建以A為

原點(diǎn)，分別以ARAD,A&為x軸，y軸，z軸單位正向量的平面直角坐標(biāo)系，寫出相

關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出面AOE的法向量勺=（4，S[,：）.由馬_L4旦勺_LAQ得（,S1,乙應(yīng)

[0.5K+0.55,=0

滿足的方程組《'',（一1,1,1）為其一組解，所以可取勺=（—1,1,1）.同理

I-

A^CD的法向量〃2=（0，U）.所以結(jié)合圖形知二面角E-A.D-B的余弦值為

|%I_2_瓜

II-I?216x03

試題解析：（I）證明：由正方形的性質(zhì)可知44//AB//OC,且A4=AB=OC,所以

四邊形4月CD為平行四邊形，從而用。//4。，又AOu面AOE，8cz面AQE,

于是與。//面4OE,又

m：Cu面&CE\,而面dDEC面3iC2=EF,所以EF5:C

（II）因?yàn)樗倪呅蜽T/B,TZ）2?「T],.IffC。均為正方形，所以.■￡&一一TL3：/H_-1Z）.-4Z5—TB,

且W*=J5=TZ）,以T為原點(diǎn)，分別以-45一肛W4為K軸，j軸，z軸單位正向量建立，如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)的坐標(biāo)/0：0：0）：g（L0：0）：50：L0）：4（0Ql）”：（L01）：2（0：LD而的

點(diǎn)為反2的中點(diǎn)，所以E點(diǎn)的坐標(biāo)為（05051）.

設(shè)面ADE的法向量々=（生。.而該面上向壁AE=（0.5：0.5：0）：T夕=（0二：一1）,由

%_4￡為_凡。得勺金為應(yīng)滿足的方程組｛1*,（―LL1）為其一組解.所以可取

IV。

馬=（—1,1,1）.設(shè)面44。。的法向量%=（公$24），而該面上向量

A耳=（1,0,0）,A。=（0,1,-1），由此同理可得々=（0,1,1）.所以結(jié)合圖形知二面角

E-A.D-B的余弦值為??四=-廠2廠=逅.

|"I|?|%|V3x<23

【考點(diǎn)定位】1.線面平行的判定定理與性質(zhì)定理；2.二面角的求解.

【名師點(diǎn)睛】解答空間幾何體中的平行、垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)己知條件把空間中的線線、

線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠

的條件進(jìn)行推理；求二面角，則通過求兩個(gè)半平面的法向量的夾角間接求解.此時(shí)建立恰

當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及正確求出各點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵所在.

22.【2015江蘇高考,22】（本小題滿分10分）

如圖，在四棱錐尸一ABC。中，已知PA_L平面A3C。，且四邊形4BCD為直角梯

71

形，ZABC=ZBAD=-,PA=AD=2,AB=BC=\

2

(1)求平面與平面PC。所成二面角的余弦值；

(2)點(diǎn)0是線段外上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線向與加所成角最小時(shí)，求線段園的長

【答案】(1)旦(2)正

35

【解析】

試題分析：(1)求二面角，關(guān)鍵求出兩個(gè)平面的法向量，本題中平面PCQ法向量已知，故關(guān)

鍵求平面PAB的法向量，利用向量垂直關(guān)系可列出平面PA3的法向量兩個(gè)獨(dú)立條件，再根

據(jù)向量數(shù)量積求二面角余弦值(2)先建立直線CQ與DP所成角的函數(shù)關(guān)系式：設(shè)BQ=2BP,

則cos<CQ,OP>=/駕(04/141),再利用導(dǎo)數(shù)求其最值，確定點(diǎn)Q坐標(biāo)，最后利用向量

v10A"+2

模求線段BQ的長

試題解析：以｛AB,AD,AP｝為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-g，z,

則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B(l,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

(1)因?yàn)锳DJ_平面PAB,所以AD是平面PAB的一個(gè)法向量，AD=(0,2,0).

因?yàn)镻C=(1,1,-2),PD=(O,2,-2).

/、y-2z=0

設(shè)平面PCD的法向量為掰=(x,y,z),則m.PC=0，m?PD=0，即入〈八.

2y-2z=0

令y=i,解得z=l,x=l.

所以加=(1,1,1)是平面PCD的一個(gè)法向量.

從而cos/(AsD,小\阿AD?^加

一丁，所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為

33

(2)因?yàn)锽P=(—1,0,2),設(shè)BQ=/lBP=(—/l,0,2/l)(0<2<1),

又而=(0「L0),則氏=而+的=(-2-L22),又瘦=(0「22),

從而3g鳴=蒲=痣三

1cos*(CQ.DP)=----=------J----<—

設(shè)l+2/=r,"[Lr3],則1/5r-10r+9工5、:2010.

y.———,+—

七9)9

當(dāng)且僅當(dāng)『=.，即/=[時(shí)，卜。s(質(zhì):麗)|的最大值為亞.

因?yàn)镴=cosx在；0:-；上是減函數(shù)，此時(shí)直線CQ與DP所成角取得最小值.

<一>,

又因?yàn)锽P=JF+2：=#，所以BQ=：BP=ai.

55

【考點(diǎn)定位】空間向量、二面角、異面直線所成角

【名師點(diǎn)晴】1.求兩異面直線a,6的夾角0,須求出它們的方向向量a,b的夾角，則cos

&=|cos〈a,6|.2.求直線/與平面。所成的角，可先求出平面。的法向量〃與直線/

的方向向量a的夾角.則sin?=|cos〈〃，al1.3.求二面角a-7-￡的大小0,可先

求出兩個(gè)平面的法向量m,所成的角，貝I]8=〈功，出〉或“一〈2，ri2i.

23.【2015高考福建，理17】如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，ABA平面BEC,

BEAEC,AB=BE=EC=2,G,F分別是線段BE,DC的中點(diǎn).

(I)求證：GF//平面ADE；

(II)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.

A

【答案】（I）詳見解析；（I【）W2.

3

【解析】解法一：（I）如圖，取AE的中點(diǎn)”，連接〃G,HD,又G是BE的中點(diǎn)，

所以GH』B,且GH=；AB,

又F是CD中點(diǎn)，所以DF=，CD,由四邊形ABCD是矩形得，ABCD,AB=CD,所以

2-

GH』（F,且GH=DF.從而四邊形”GFO是平行四邊形，所以GF/IDH,,又

DH研面ADE,GF平面ADE,所以面ADE.

（II）如圖，在平面BEC內(nèi)，過點(diǎn)B作BQ/C,因?yàn)锽EACE,所以BQ^BE.

又因?yàn)锳BA平面BEC,所以ABABE,ABABQ

以B為原點(diǎn)，分別以BE,BQ,BA的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,2),B(0,0,0),E⑵0,0),F(2,2,1).因?yàn)锳B人平面BEC,所以8A=(0,0,2)為平

面BEC的法向量,

設(shè)〃=(x,y,z)為平面AEF的法向量.又AE=(2,0,-2),AF=(2,2,-l)

=0,/口ilx-2z=0,

由―得3+"=。取z=2—.

從而co宓允,8A=―人絲—4_2

H|x|6Al3

2

所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為一.

3

解法二：(I)如圖，取A3中點(diǎn)M,連接MG,MF,又G是BE的中點(diǎn)，可知GM//AE,

又

又u面ADE,GMU面ADE,所以G.U平面ADE.

在矩形ABCC中，由M,F分別是AB,CD的中點(diǎn)得卜FWD.

又zLDu面ADE,UFU面.IDE,所以一UF面.IDE.

又因?yàn)镚T/nVF="，田/二面田比，VFu面GVF,

所以面GMF平面一IDE,因?yàn)镚Fu面GSIF,所以GM平面ADE.

(II)同解法一.

【考點(diǎn)定位】1、直線和平面平行的判斷；2、面面平行的判斷和性質(zhì)：3、二面角.

【名師點(diǎn)睛】本題考查直線和平面平行的證明和二面角求法，直線和平面平行首先是利用其

判定定理，或者利用面面平行的性質(zhì)來證，注意線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化；利

用坐標(biāo)法求二面角，主要是空間直角坐標(biāo)系的建立要恰當(dāng)，便于用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)，求出半

平面法向量夾角后，要觀察二面角是銳角還是鈍角，正確寫出二面角的余弦值.

24.12015高考浙江，理17】如圖，在三棱柱ABC-44中，NBAC=90，AB=AC=2,

AA=4,A,在底面ABC的射影為6C的中點(diǎn)，。為&G的中點(diǎn).

（1）證明：4DL平面4BC；

（2）求二面角A-BD一g的平面角的余弦值.

【答案】（D詳見解析；（2）

8

試題分析：（1）根據(jù)條件首先證得平面ABC,再證明AO//AE,即可得證；（2）

作AFLBD，且A/BD=F,可證明NA尸4為二面角A—8。一4的平面角，再由

余弦定理即可求得cos/A^i從而求解.

試題解析：（1）設(shè)E為的中點(diǎn)，由題意得平面ABC,.??4ELAE,；AB=AC,

/.AEA.BC,故平面4BC,由。，E分別8C的中點(diǎn)，得DE//B出且

DE=B.B,從而OE//4A,.?.四邊形AAEO為平行四邊形，故AO//AE,又：4七_(dá)1

平面4BG，平面48G；（2）作且4FBD=F,連結(jié)耳尸，

由AE=EB=VLZAtEA=ZAlEB=90,得4B=AA=4,由4。=4。，

%B=BiB,得A41Z）8三由人小上臺(tái)。，得B】F工BD,因此2人尸片為二面角

4—80—4的平面角，由4。=0，48=4,/。43=90,得BD=3C,

41

AF=B]F=—,由余弦定理得，cosZAlFBl=—.

38

【考點(diǎn)定位】1.線面垂直的判定與性質(zhì)；2.二面角的求解

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)以及二面角的求解，屬于中檔題，在解

題時(shí)，應(yīng)觀察

各個(gè)直線與平面之間的位置關(guān)系，結(jié)合線面垂直的判定即可求解，在求二面角時(shí)，可以利用

圖形中的位置

關(guān)系，求得二面角的平面角，從而求解，在求解過程當(dāng)中，通常會(huì)結(jié)合一些初中階段學(xué)習(xí)的

平面幾何知識(shí)，

例如三角形的中位線，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)

予以關(guān)注.

25.【2015