2023年全國高考理科數(shù)學試題分類匯編7：立體幾何-Word版含答案

2023年全國高考理科數(shù)學試題分類匯編7：立體幾何一、選擇題AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考新課標1〔理〕〕如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度,那么球的體積為 〔〕A． B． C． D．【答案】AAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學〔理〕卷〔純WORD版〕〕設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,以下命題中正確的選項是 〔〕A．假設,,,那么 B．假設,,,那么C．假設,,,那么 D．假設,,,那么【答案】DAUTONUM\*Arabic．〔2023年上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案)〕假設兩個球的外表積之比為,那么這兩個球的體積之比為 〔〕A． B． C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學〔理〕WORD版含答案〔已校對〕〕正四棱柱中,那么與平面所成角的正弦值等于 〔〕A． B． C． D．【答案】AAUTONUM\*Arabic．〔2023年高考新課標1〔理〕〕某幾何體的三視圖如下圖,那么該幾何體的體積為 〔〕A． B． C． D．【答案】AAUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖北卷〔理〕〕一個幾何體的三視圖如下圖,該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成,其體積分別記為,,,,上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體,下面兩個簡單幾何體均為多面體,那么有 〔〕A． B． C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖南卷〔理〕〕棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形,那么該正方體的正視圖的面積不可能等于 〔〕A． B． C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學〔理〕卷〔純WORD版〕〕某四棱臺的三視圖如下圖,那么該四棱臺的體積是正視圖俯視圖正視圖俯視圖側(cè)視圖第5題圖A． B． C． D．【答案】BAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標Ⅱ卷數(shù)學〔理〕〔純WORD版含答案〕〕為異面直線,平面,平面.直線滿足,那么 〔〕A．,且 B．,且C．與相交,且交線垂直于 D．與相交,且交線平行于【答案】DAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學〔理〕試題〔含答案〕〕三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,體積為,底面是邊長為的正三角形.假設為底面的中心,那么與平面所成角的大小為 〔〕A． B． C． D．【答案】BAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學〔理〕試題〔含答案〕〕某幾何體的三視圖如題圖所示,那么該幾何體的體積為 〔〕A． B． C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學〔理〕試題〔WORD版〕〕三棱柱的6個頂點都在球的球面上,假設,,,那么球的半徑為 〔〕A． B． C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．〔2023年高考江西卷〔理〕〕如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,正方體的六個面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,那么 〔〕A．8 B．9 C．10 D．【答案】AAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標Ⅱ卷數(shù)學〔理〕〔純WORD版含答案〕〕一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是,畫該四面體三視圖中的正視圖時,以平面為投影面,那么得到正視圖可以為 〔〕A． B． C． D．【答案】AAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學〔理〕試題〔純WORD版〕〕在以下命題中,不是公理的是 〔〕A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行B．過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面C．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)D．如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么他們有且只有一條過該點的公共直線【答案】AAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學〔理〕試題〔純WORD版〕〕在空間中,過點作平面的垂線,垂足為,記.設是兩個不同的平面,對空間任意一點,,恒有,那么 〔〕A．平面與平面垂直 B．平面與平面所成的(銳)二面角為C．平面與平面平行 D．平面與平面所成的(銳)二面角為【答案】AAUTONUM\*Arabic．〔2023年高考四川卷〔理〕〕一個幾何體的三視圖如下圖,那么該幾何體的直觀圖可以是【答案】D二、填空題AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考上海卷〔理〕〕在平面上,將兩個半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D,如圖中陰影局部.記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為,過作的水平截面,所得截面面積為,試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體,得出的體積值為__________【答案】.AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考陜西卷〔理〕〕某幾何體的三視圖如下圖,那么其體積為________.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學〔理〕WORD版含答案〔已校對〕〕圓和圓是球的大圓和小圓,其公共弦長等于球的半徑,,且圓與圓所在的平面所成的一個二面角為,那么球的外表積等于______.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考北京卷〔理〕〕如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為__________.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷〔數(shù)學〕〔已校對純WORD版含附加題〕〕如圖,在三棱柱中,分別是的中點,設三棱錐的體積為,三棱柱的體積為,那么____________.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學〔理〕試題〔純WORD版〕〕假設某幾何體的三視圖(單位:cm)如下圖,那么此幾何體的體積等于________.443233正視圖側(cè)視圖俯視圖〔第12題圖〕【答案】24AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學〔理〕試題〔純WORD版〕〕如圖,正方體的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.那么以下命題正確的選項是__①②③⑤___(寫出所有正確命題的編號).①當時,S為四邊形;②當時,S為等腰梯形;③當時,S與的交點R滿足;④當時,S為六邊形;⑤當時,S的面積為.【答案】①②③⑤AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學〔理〕試題〔WORD版〕〕某幾何體的三視圖如下圖,那么該幾何體的體積是____________.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學〔理〕試題〔純WORD版〕〕某一多面體內(nèi)接于一個簡單組合體,如果該組合體的正視圖.測試圖.俯視圖均如下圖,且圖中的四邊形是邊長為2的正方形,那么該球的外表積是_______________【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案)〕在如下圖的正方體中,異面直線與所成角的大小為_______DD1C1B1A1DCAB【答案】三、解答題AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學〔理〕試題〔WORD版〕〕如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點.(=1\*ROMANI)求證:(=2\*ROMANII)【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學〔理〕試題〔含答案〕〕如圖,四棱錐中,,,為的中點,.(1)求的長;(2)求二面角的正弦值.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學〔理〕試題〔純WORD版〕〕如圖,圓錐頂點為.底面圓心為,其母線與底面所成的角為22.5°.和是底面圓上的兩條平行的弦,軸與平面所成的角為60°.(Ⅰ)證明:平面與平面的交線平行于底面;(Ⅱ)求.【答案】解:(Ⅰ).所以,.(Ⅱ)...法二:AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學〔理〕試題〔純WORD版〕〕如圖,在四面體中,平面,.是的中點,是的中點,點在線段上,且.(1)證明:平面;(2)假設二面角的大小為,求的大小.AABCDPQM〔第20題圖〕【答案】解:證明(Ⅰ)方法一:如圖6,取的中點,且是中點,所以.因為是中點,所以;又因為(Ⅰ)且,所以,所以面面,且面,所以面;方法二:如圖7所示,取中點,且是中點,所以;取的三等分點,使,且,所以,所以,且,所以面;(Ⅱ)如圖8所示,由得到面面,過作于,所以,過作于,連接,所以就是的二面角;由得到,設,所以,在中,,所以在中,,所以在中;AUTONUM\*Arabic．〔2023年上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案)〕如圖,在正三棱錐中,,異面直線與所成角的大小為,求該三棱柱的體積.BB1A1C1ACB【答案】[解]因為.所以為異面直線與.所成的角,即=.在Rt中,,從而,因此該三棱柱的體積為.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷〔數(shù)學〕〔已校對純WORD版含附加題〕〕本小題總分值14分.如圖,在三棱錐中,平面平面,,,過作,垂足為,點分別是棱的中點.求證:(1)平面平面;(2).【答案】證明:(1)∵,∴F分別是SB的中點∵E.F分別是SA.SB的中點∴EF∥AB又∵EF平面ABC,AB平面ABC∴EF∥平面ABC同理:FG∥平面ABC又∵EFFG=F,EF.FG平面ABC∴平面平面(2)∵平面平面平面平面=BCAF平面SABAF⊥SB∴AF⊥平面SBC又∵BC平面SBC∴AF⊥BC又∵,ABAF=A,AB.AF平面SAB∴BC⊥平面SAB又∵SA平面SAB∴BC⊥SAAUTONUM\*Arabic．〔2023年高考上海卷〔理〕〕如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,證明直線BC1平行于平面DA1C,并求直線BC1到平面D1AC的距離.【答案】因為ABCD-A1B1C1D1為長方體,故,故ABC1D1為平行四邊形,故,顯然B不在平面D1AC上,于是直線BC1平行于平面DA1C;直線BC1到平面D1AC的距離即為點B到平面D1AC的距離設為考慮三棱錐ABCD1的體積,以ABC為底面,可得而中,,故所以,,即直線BC1到平面D1AC的距離為.AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖北卷〔理〕〕如圖,是圓的直徑,點是圓上異于的點,直線平面,,分別是,的中點.(=1\*ROMANI)記平面與平面的交線為,試判斷直線與平面的位置關系,并加以證明;(=2\*ROMANII)設(=1\*ROMANI)中的直線與圓的另一個交點為,且點滿足.記直線與平面所成的角為,異面直線與所成的角為,二面角的大小為,求證:.第19題圖第19題圖【答案】解:(=1\*ROMANI),,又(=2\*ROMANII)連接DF,用幾何方法很快就可以得到求證.(這一題用幾何方法較快,向量的方法很麻煩,特別是用向量不能方便的表示角的正弦.個人認為此題與新課程中對立體幾何的處理方向有很大的偏差.)AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學〔理〕卷〔純WORD版〕〕如圖1,在等腰直角三角形中,,,分別是上的點,,為的中點.將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值...COBDEACDOBE圖1圖2【答案】(Ⅰ)在圖1中,易得CDCDOBEH連結(jié),在中,由余弦定理可得由翻折不變性可知,所以,所以,理可證,又,所以平面.(Ⅱ)傳統(tǒng)法:過作交的延長線于,連結(jié),因為平面,所以,所以為二面角的平面角.結(jié)合圖1可知,為中點,故,從而CDOxE向量法圖yzBCDOxE向量法圖yzB向量法:以點為原點,建立空間直角坐標系如下圖,那么,,所以,設為平面的法向量,那么,即,解得,令,得由(Ⅰ)知,為平面的一個法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值為.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學〔理〕試題〔含答案〕〕如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點.(Ⅰ)證明B1C1⊥CE(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(Ⅲ)設點M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考新課標1〔理〕〕如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)證明AB⊥A1C(Ⅱ)假設平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直線A1C與平面BB1C【答案】(Ⅰ)取AB中點E,連結(jié)CE,,,∵AB=,=,∴是正三角形,∴⊥AB,∵CA=CB,∴CE⊥AB,∵=E,∴AB⊥面,∴AB⊥;(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB,又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,∴EA,EC,兩兩相互垂直,以E為坐標原點,的方向為軸正方向,||為單位長度,建立如下圖空間直角坐標系,有題設知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),那么=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,),設=是平面的法向量,那么,即,可取=(,1,-1),∴=,∴直線A1C與平面BB1C1AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考陜西卷〔理〕〕如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,.(Ⅰ)證明:A1C⊥平面BB1D1D(Ⅱ)求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小.【答案】解:(Ⅰ);又因為,在正方形ABCD中,.在正方形ABCD中,AO=1...(證畢)(Ⅱ)建立直角坐標系統(tǒng),使用向量解題.以O為原點,以OC為X軸正方向,以OB為Y軸正方向.那么.由(Ⅰ)知,平面BB1D1D的一個法向量設平面OCB1的法向量為.所以,平面OCB1與平面BB1D1D的夾角為AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考江西卷〔理〕〕如圖,四棱錐中,,,連接并延長交于.(1) 求證:;(2) 求平面 與平面的夾角的余弦值.【答案】解:(1)在中,因為是的中點,所以,故,因為,所以,從而有,故,又因為所以∥.又平面,所以故平面.(3) 以點為坐標原點建立如下圖的坐標系,那么,(4) ,故設平面的法向量,那么,解得,即.設平面的法向量,那么,解得,即.從而平面與平面的夾角的余弦值為.AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考四川卷〔理〕〕如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面,,,分別是線段的中點,是線段的中點.(Ⅰ)在平面內(nèi),試作出過點與平面平行的直線,說明理由,并證明直線平面;(Ⅱ)設(Ⅰ)中的直線交于點,交于點,求二面角的余弦值.【答案】解:如圖,在平面內(nèi),過點做直線//,因為在平面外,在平面內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知,//平面.由,,是的中點,所以,,那么直線.因為平面,所以直線.又因為在平面內(nèi),且與相交,所以直線平面解法一:連接,過作于,過作于,連接.由知,平面,所以平面平面.所以平面,那么.所以平面,那么.故為二面角的平面角(設為).設,那么由,,有,.又為的中點,所以為的中點,且,在中,;在中,.從而,,,所以.所以.故二面角的余弦值為解法二:設.如圖,過作平行于,以為坐標原點,分別以,的方向為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標系(點與點重合).那么,.因為為的中點,所以分別為的中點,故,所以,,.設平面的一個法向量為,那么即故有從而取,那么,所以.設平面的一個法向量為,那么即故有從而取,那么,所以.設二面角的平面角為,又為銳角,那么.故二面角的余弦值為AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷〔數(shù)學〕〔已校對純WORD版含附加題〕〕本小題總分值10分.如圖,在直三棱柱中,,,,點是的中點(1)求異面直線與所成角的余弦值(2)求平面與所成二面角的正弦值.【答案】此題主要考察異面直線.二面角.空間向量等根底知識以及根本運算,考察運用空間向量解決問題的能力.解:(1)以為為單位正交基底建立空間直角坐標系,那么,,,,∴,∴∴異面直線與所成角的余弦值為(2)是平面的的一個法向量設平面的法向量為,∵,由∴取,得,∴平面的法向量為設平面與所成二面角為∴,得∴平面與所成二面角的正弦值為AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學〔理〕WORD版含答案〔已校對〕〕如圖,四棱錐中,與都是等邊三角形.(=1\*ROMANI)證明:(=2\*ROMANII)求二面角的大小.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學〔理〕試題〔含答案〕〕如下圖,在三棱錐中,平面,,分別是的中點,,與交于點,與交于點,連接.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.【答案】解:(Ⅰ)證明:因為分別是的中點,所以∥,∥,所以∥,又平面,平面,所以∥平面,又平面,平面平面,所以∥,又∥,所以∥.(Ⅱ)解法一:在△中,,,所以,即,因為平面,所以,又,所以平面,由(Ⅰ)知∥,所以平面,又平面,所以,同理可得,所以為二面角的平面角,設,連接,在△中,由勾股定理得,,在△中,由勾股定理得,,又為△的重心,所以同理,在△中,由余弦定理得,即二面角的余弦值為.解法二:在△中,,,所以,又平面,所以兩兩垂直,以為坐標原點,分別以所在直線為軸,軸,軸,建立如下圖的空間直角坐標系,設,那么,,,,,,所以,,,,設平面的一個法向量為,由,,得取,得.設平面的一個法向量為由,,得取,得.所以因為二面角為鈍角,所以二面角的余弦值為.AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖南卷〔理〕〕如圖5,在直棱柱,,.(=1\*ROMANI)證明:;(=2\*ROMANII)求直線所成角的正弦值.【答案】解:(Ⅰ).(證畢)(Ⅱ).AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學〔理〕試題〔純WORD版〕〕如圖,在四棱柱