人教A版選擇性必修第一冊第二章第13課時直線與圓的位置關系的應用作業(yè)

第13課時直線與圓的位置關系的應用1．y＝|x|的圖象和圓x2＋y2＝4所圍成的較小的面積是(D)A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(3π,2)D．π解析：數(shù)形結合，所求面積是圓x2＋y2＝4面積的eq\f(1,4).2．點A(－1，1)和圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光線從A經x軸反射到圓C上的最短路程是(B)A．6eq\r(2)－2B．8C．4eq\r(6)D．10解析：點A關于x軸的對稱點A′(－1，－1)，A′與圓心(5，7)的距離為eq\r(〔5＋1〕2＋〔7＋1〕2)＝10.所以所求最短路程為10－2＝8.3．圓(x－1)2＋(y＋2)2＝8上到直線x＋y＋1＝0的距離等于eq\r(2)的點的個數(shù)為(D)A．1B．2C．3D．4解析：由題意，圓心坐標為(1，－2)，半徑為2eq\r(2)，所以圓心到直線x＋y＋1＝0的距離為d＝eq\f(|1－2＋1|,\r(2))＝0，所以圓(x－1)2＋(y＋2)2＝8上到直線x＋y＋1＝0的距離等于eq\r(2)的點共有4個．應選D.4．M＝{(x，y)|y＝eq\r(9－x2)，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，假設M∩N≠?，那么實數(shù)b的取值范圍是(－3，3eq\r(2)].解析：數(shù)形結合法，留意y＝eq\r(9－x2)，y≠0等價于x2＋y2＝9(y>0)，它表示的圖形是圓x2＋y2＝9在x軸之上的局部(如下圖)．結合圖形不難求得，當－3<b≤3eq\r(2)時，直線y＝x＋b與半圓x2＋y2＝9(y>0)有公共點．5．據(jù)氣象臺預報：在A城正東方300km的海面B處有一臺風中心，正以每小時40km的速度向西北方向移動，在距臺風中心250km以內的地區(qū)將受其影響．求：從現(xiàn)在起經過約多少小時，臺風將影響A城？持續(xù)時間約為多少小時？(結果精確到0.1h)解析：以B為原點，正東方向所在直線為x軸，建立直角坐標系，那么臺風中心的移動軌跡是y＝－x，受臺風影響的區(qū)域邊界的曲線方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.依題意有(－300－a)2＋a2≤2502，解得－150－25eq\r(14)≤a≤－150＋25eq\r(14)，所以t1＝eq\f(\r(2)|a1|,40)＝eq\f(\r(2)|－150＋25\r(14)|,40)≈2.0，Δt＝eq\f(\r(2)|a2－a1|,40)＝eq\f(\r(2)×50\r(14),40)≈6.6，所以從現(xiàn)在起經過約2.0h，臺風將影響A城，持續(xù)時間約為6.6h.6．(多項選擇)在同始終角坐標系中，直線y＝ax＋a2與圓(x＋a)2＋y2＝a2的位置不行能為(ABD)A.B.C.D.解析：由題意，可得a2>0，直線y＝ax＋a2明顯過點(0，a2)，故ABD均不行能．7．假設C為半圓直徑AB延長線上的一點，且|AB|＝|BC|＝2，過動點P作半圓的切線，切點為Q，假設|PC|＝eq\r(3)|PQ|，那么△PAC面積的最大值為eq\r(33).解析：由題意，以AB所在的直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立如下圖的平面直角坐標系．由于|AB|＝|BC|＝2，所以C(3，0)，設P(x，y)，由于過點P作半圓的切線PQ，且|PC|＝eq\r(3)|PQ|，所以eq\r(〔x－3〕2＋y2)＝eq\r(3)·eq\r(x2＋y2－1)，整理，得x2＋y2＋3x－6＝0，所以點P的軌跡方程是以(－eq\f(3,2)，0)為圓心，以r＝eq\f(1,2)eq\r(9＋24)＝eq\f(\r(33),2)為半徑的圓，所以當點P在直線x＝－eq\f(3,2)上時，△PAC的面積最大，最大值為S△PAC＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(33),2)＝eq\r(33).8．如圖，正方形ABCD的邊長為20米，圓O的半徑為1米，圓心是正方形的中心，點P，Q分別在線段AD，CB上，假設線段PQ與圓O有公共點，那么稱點Q在點P的“盲區(qū)〞中．點P以1.5米/秒的速度從A動身向D移動，同時，點Q以1米/秒的速度從C動身向B移動，那么在點P從A移動到D的過程中，點Q在點P的盲區(qū)中的時長約為多少秒(精確到0.1)?解析：以點O為坐標原點，建立如下圖的平面直角坐標系，可設點P(－10，－10＋1.5t)，Q(10，10－t)，可得出直線PQ的方程為y－10＋t＝eq\f(20－2.5t,20)(x－10)，圓O的方程為x2＋y2＝1，由直線PQ與圓O有公共點，可得eq\f(|\f(2.5t－20,2)－t＋10|,\r(1＋〔\f(20－2.5t,20)〕2))≤1，化為3t2＋16t－128≤0，解得0≤t≤eq\f(8\r(7)－8,3)，而eq\f(8\r(7)－8,3)≈4.4，因此，點Q在點P的盲區(qū)中的時長約為4.4秒．9．如圖，一艘海監(jiān)船O上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處動身，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？假設能，持續(xù)時間多長？(要求用坐標法)解析：如圖，以O為原點，東西方向為x軸建立平面直角坐標系，那么A(40，0)，B(0，30)，圓O的方程為x2＋y2＝252.直線AB的方程為eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.設O到AB的距離為d，那么d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到．設監(jiān)測時間為t，那么t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝0.5(h)．故外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到，持續(xù)時間是0.5h.10．(多項選擇)瑞士聞名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始終線上．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．在平面直角坐標系中作△ABC，|AB|＝|AC|＝4，點B(－1，3)，點C(4，－2)，且其歐拉線與圓M：(x－3)2＋y2＝r2相切，那么以下結論正確的選項是(AD)A．圓M上點到直線x－y＋3＝0的最小距離為2eq\r(2)B．圓M上點到直線x－y＋3＝0的最大距離為3eq\r(2)C．圓M上到直線BC的距離為eq\f(1,2)的點有且僅有2個D．假設點(x，y)在圓M上，那么x＋eq\r(3)y的最小值是3－2eq\r(2)解析：由|AB|＝|AC|可得△ABC的外心、重心、垂心均在線段BC的垂直平分線上，即△ABC的歐拉線即為線段BC的垂直平分線．由點B(－1，3)，點C(4，－2)可得線段BC的中點為(eq\f(3,2)，eq\f(1,2))，且直線BC的斜率kBC＝eq\f(3＋2,－1－4)＝－1，所以線段BC的垂直平分線的斜率k＝1，所以線段BC的垂直平分線的方程為y－eq\f(1,2)＝x－eq\f(3,2)，即x－y－1＝0.又圓M：(x－3)2＋y2＝r2的圓心為(3，0)，半徑為r，所以點(3，0)到直線x－y－1＝0的距離為eq\f(|3－1|,\r(2))＝eq\r(2)＝r，所以圓M：(x－3)2＋y2＝2.對于A，B，圓M的圓心(3，0)到直線x－y＋3＝0的距離d＝eq\f(|3＋3|,\r(2))＝3eq\r(2)，所以圓上的點到直線x－y＋3＝0的最小距離為3eq\r(2)－eq\r(2)＝2eq\r(2)，最大距離為3eq\r(2)＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，故A正確，B錯誤；對于C，直線BC的方程為y－3＝－(x＋1)，即x＋y－2＝0，圓心M(3，0)到直線BC的距離為eq\f(|3＋0－2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，而eq\f(\r(2),2)＞eq\f(1,2)，所以圓M上到直線BC的距離為eq\f(1,2)的點有4個