變換的不變量與矩陣的特征向量

變換的不變量與矩陣的特征向量第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.矩陣的特征值與特征向量的定義對(duì)于矩陣實(shí)數(shù)λ及非零向量，滿(mǎn)足關(guān)系定義_________λ是矩陣A的一個(gè)_______是矩陣A的屬于特征值λ的一個(gè)_________特征值特征向量第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.特征向量的性質(zhì)(1)設(shè)是矩陣A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量，則對(duì)于任意的非零常數(shù)k，____也是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量.(2)屬于矩陣的不同特征值的特征向量_______.(3)求矩陣的特征值、特征向量的步驟：第一步：列特征多項(xiàng)式f(λ)=___________.第二步：求f(λ)=0的根，即特征值.第三步：針對(duì)不同的特征值，解相應(yīng)的線(xiàn)性方程組，得一個(gè)非零解，即特征向量.不共線(xiàn)第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.特征向量的應(yīng)用(1)設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，是矩陣A的屬于特征值λ的任意一個(gè)特征向量，則______(n∈N*)(2)性質(zhì)1：設(shè)λ1，λ2是二階矩陣A的兩個(gè)不同特征值是矩陣A的分別屬于特征值λ1，λ2的特征向量，對(duì)于任意的非零平面向量，設(shè)(其中t1,t2為實(shí)數(shù)),則對(duì)任意的正整數(shù)n，有___________.第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)任意向量都可以作為特征向量.()(2)矩陣A的屬于特征值λ的特征向量是唯一的.()(3)每一個(gè)二階矩陣都有特征值及特征向量.()(4)矩陣A的屬于特征值λ的特征向量共線(xiàn).()(5)矩陣A的特征向量分別為任意非零向量均可以用表示.()第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五【解析】(1)錯(cuò)誤，特征向量必須是非零向量.(2)錯(cuò)誤，矩陣A的屬于特征值λ的特征向量有無(wú)數(shù)個(gè).(3)錯(cuò)誤，如矩陣就沒(méi)有特征值，也就沒(méi)有特征向量.(4)正確，若是矩陣A的特征向量，則都是矩陣A的特征向量，顯然是共線(xiàn)向量.(5)正確，都可以表示為(其中t1，t2為實(shí)數(shù))的形式.答案:(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五考向1

矩陣特征值、特征向量的求法【典例1】(2012·江蘇高考)已知矩陣A的逆矩陣A-1=

求矩陣A的特征值．【思路點(diǎn)撥】首先求出矩陣A，再按照求矩陣特征值的步驟求矩陣A的特征值.第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五【規(guī)范解答】∵A-1A=E2，∴A=(A-1)-1.∴矩陣A的特征多項(xiàng)式為令f(λ)=0，解得矩陣A的特征值λ1=-1,λ2=4.第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五【互動(dòng)探究】本例中條件不變，試求矩陣A的屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量.【解析】對(duì)于特征值λ1=-1，解相應(yīng)的線(xiàn)性方程組

是矩陣A的屬于特征值λ1=-1的一個(gè)特征向量；第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)于特征值λ2=4，解相應(yīng)的線(xiàn)性方程組是矩陣A的屬于特征值λ2=4的一個(gè)特征向量.第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五【拓展提升】求矩陣特征值、特征向量的四個(gè)注意點(diǎn)(1)求矩陣的特征值與特征向量可按照相應(yīng)的步驟進(jìn)行.(2)特征值與特征向量相對(duì)應(yīng),屬于不同特征值的特征向量一般不共線(xiàn).(3)將特征值代入后得到的方程組若某一變量缺失,實(shí)質(zhì)其系數(shù)為0,該變量可任意取值.(4)求出特征值是唯一的，而特征向量是不唯一的，但屬于同一特征值的特征向量都應(yīng)該是共線(xiàn)向量.第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五【變式備選】設(shè)矩陣M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，橫坐標(biāo)保持不變的伸縮變換．(1)求矩陣M.(2)求矩陣M的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量．【解析】(1)由條件得矩陣(2)因?yàn)榫仃嚨奶卣鞫囗?xiàng)式為令f(λ)=0，解得特征值為λ1=1，λ2=2，第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)屬于特征值λ1的矩陣M的一個(gè)特征向量為e1=

則由線(xiàn)性方程-y=0，得同理，對(duì)于特征值λ2，得一個(gè)特征向量為所以是矩陣M屬于特征值λ1=1的一個(gè)特征向量，是矩陣M屬于特征值λ2=2的一個(gè)特征向量．第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五考向2

矩陣的特征值、特征向量的應(yīng)用【典例2】已知矩陣A的一個(gè)特征值λ=2，屬于λ的特征向量是(1)求矩陣A.(2)求直線(xiàn)y=2x在矩陣A所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性變換下的像的方程.【思路點(diǎn)撥】利用特征值、特征向量的定義式列出關(guān)于a,b的關(guān)系式，即可求出a,b，即得矩陣A，再利用圖形變換的坐標(biāo)變換公式，求變換后的方程.第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五【規(guī)范解答】(1)由題意解得a=2,b=4，所以(2)

代入到直線(xiàn)y=2x中得7x′=5y′,故變換后的方程是7x-5y=0.第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五【拓展提升】利用特征值、特征向量求矩陣的關(guān)注點(diǎn)(1)利用特征值、特征向量求矩陣用待定系數(shù)法，列相應(yīng)關(guān)系的依據(jù)是特征值、特征向量的定義.(2)在解題的過(guò)程中，還是要注意相關(guān)方程組的準(zhǔn)確求解.(3)此類(lèi)問(wèn)題往往與圖形變換等知識(shí)綜合考查.第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五【變式訓(xùn)練】(2013·福建高考)已知直線(xiàn)l：ax+y=1在矩陣A=對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€(xiàn)l′：x+by=1.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值.(2)若點(diǎn)P(x0,y0)在直線(xiàn)l上，且求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】(1)設(shè)直線(xiàn)l：ax+y=1上任意一點(diǎn)M(x,y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下的像是M′(x′,y′)由得第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五又點(diǎn)M′(x′,y′)在l′上，所以x′+by′=1，即x+(b+2)y=1，依題意解得(2)由得解得y0=0.又點(diǎn)P(x0,y0)在直線(xiàn)l上，所以x0=1.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0).第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五考向3

的簡(jiǎn)單表示【典例3】已知矩陣的一個(gè)特征值為1.(1)求矩陣M的另一個(gè)特征值.(2)設(shè)【思路點(diǎn)撥】(1)列出矩陣M的特征多項(xiàng)式f(λ)，利用1是f(λ)=0的根求a及另一個(gè)特征值.(2)將向量表示為的形式，再利用公式第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五【規(guī)范解答】(1)矩陣M的特征多項(xiàng)式又∵矩陣M的一個(gè)特征值為1，∴f(1)=0，∴a=0，由f(λ)=λ(λ-3)+2=0，得λ1=1,λ2=2，所以矩陣M的另一個(gè)特征值為2.第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五(2)矩陣M的一個(gè)特征值為λ1=1，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為另一個(gè)特征值為λ2=2，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五【拓展提升】表示的三個(gè)步驟第一步：求出矩陣A的特征值λ1,λ2，對(duì)應(yīng)的特征向量第二步：設(shè)利用向量相等列方程組求t1,t2.第三步：代入【提醒】的對(duì)應(yīng)要準(zhǔn)確，避免對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤.第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五【變式訓(xùn)練】已知矩陣M有特征值λ1＝4及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量