因子模型和套利定價(jià)理論APT

因子模型和套利定價(jià)理論APT第一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五引入可以大大簡化計(jì)算量由于因子模型的引入，使得估計(jì)Markowitz有效集的艱巨而煩瑣的任務(wù)得到大大的簡化。因子模型還給我們提供關(guān)于證券回報(bào)率生成過程的一種新視點(diǎn)更準(zhǔn)確第二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五CAPM與APT建立在均值—方差分析基礎(chǔ)上的CAPM是一種理論上相當(dāng)完美的模型，它解釋了為什么不同的證券會有不同的回報(bào)率。除CAPM理論外，另一種重要的定價(jià)理論是由StephenRoss在70年代中期建立的套利定價(jià)理論(APT)。在某種意義上來說，它是一種比CAPM簡單的理論。最優(yōu)投資組合理論+市場均衡=CAPM因子模型+無套利=APT第三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五CAPM是建立在一系列假設(shè)之上的非常理想化的模型，這些假設(shè)包括HarryMarkowitz建立均值-方差模型時(shí)所作的假設(shè)。這其中最關(guān)鍵的假設(shè)是，所有投資者的無差異曲線建立在證券組合回報(bào)率的期望和標(biāo)準(zhǔn)差之上。相反，APT所作的假設(shè)少得多。APT的基本假設(shè)之一是，當(dāng)投資者具有在不增加風(fēng)險(xiǎn)的前提下提高回報(bào)率的機(jī)會時(shí)，每個(gè)人都會利用這個(gè)機(jī)會，即個(gè)體是非滿足的；另外一個(gè)重要的假設(shè)是，證券市場證券種類特別多，并且彼此之間獨(dú)立。第四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五1.因子模型(FactorModel)

實(shí)際中，所有的投資者都會明顯或者不明顯地應(yīng)用因子模型。第五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五例子：市場模型

這里

=在給定的時(shí)間區(qū)間，證券

i

的回報(bào)率

=在同一時(shí)間區(qū)間，市場指標(biāo)

I

的回報(bào)率

=截矩項(xiàng)

=斜率項(xiàng)

=隨機(jī)誤差項(xiàng)，

第六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五例子：Flyer公司股票的下一個(gè)月回報(bào)率

這里

表示實(shí)際月回報(bào)率

表示期望回報(bào)率

表示回報(bào)率的非期望部分期望回報(bào)率是市場中投資者預(yù)期到的回報(bào)率，依賴于投資者現(xiàn)在獲得地關(guān)于該種股票的所有信息，以及投資者對何種因素影響回報(bào)率地全部了解。非期望部分由下一個(gè)月內(nèi)顯示的信息導(dǎo)致，例如：利率變動(dòng)，經(jīng)濟(jì)增長情況，相關(guān)政策等等。

第七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五例子：市場模型

這里

=在給定的時(shí)間區(qū)間，證券

i

的回報(bào)率

=在同一時(shí)間區(qū)間，市場指標(biāo)

I

的回報(bào)率

=截矩項(xiàng)

=斜率項(xiàng)

=隨機(jī)誤差項(xiàng)，

第八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五例子：Flyer公司股票的下一個(gè)月回報(bào)率

這里

表示實(shí)際月回報(bào)率

表示期望回報(bào)率

表示回報(bào)率的非期望部分期望回報(bào)率是市場中投資者預(yù)期到的回報(bào)率，依賴于投資者現(xiàn)在獲得地關(guān)于該種股票的所有信息，以及投資者對何種因素影響回報(bào)率地全部了解。非期望部分由下一個(gè)月內(nèi)顯示的信息導(dǎo)致，例如：利率變動(dòng)，經(jīng)濟(jì)增長情況，相關(guān)政策等等。

第九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的某些共同因素影響幾乎所有的公司商業(yè)周期、利率、GDP增長率、技術(shù)進(jìn)步、勞動(dòng)和原材料的成本、通貨膨脹率這些變量不可預(yù)期的變化將導(dǎo)致整個(gè)證券市場回報(bào)率的不可預(yù)期變化定義1：因子模型（或者指標(biāo)模型）是一種假設(shè)證券的回報(bào)率只與不同的因子或者指標(biāo)的運(yùn)動(dòng)有關(guān)的經(jīng)濟(jì)模型。

第十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五市場模型是一種單因子模型——以市場指標(biāo)的回報(bào)率作為因子。由于在實(shí)際中，證券的回報(bào)率往往不只受市場指標(biāo)變動(dòng)的影響，所以，在估計(jì)證券的期望回報(bào)率、方差以及協(xié)方差的準(zhǔn)確度方面，多因子模型比市場模型更有效。第十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

作為一種回報(bào)率產(chǎn)生過程，因子模型具有以下幾個(gè)特點(diǎn)。第一，因子模型中的因子應(yīng)該是系統(tǒng)影響所有證券價(jià)格的經(jīng)濟(jì)因素。第二，在構(gòu)造因子模型中，我們假設(shè)兩個(gè)證券的回報(bào)率相關(guān)——一起運(yùn)動(dòng)——僅僅是因?yàn)樗鼈儗σ蜃舆\(yùn)動(dòng)的共同反應(yīng)導(dǎo)致的。第三，證券回報(bào)率中不能由因子模型解釋的部分是該證券所獨(dú)有的，從而與別的證券回報(bào)率的特有部分無關(guān)，也與因子的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。第十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

因子模型在證券組合管理中的應(yīng)用在證券組合選擇過程中，減少估計(jì)量和計(jì)算量刻畫證券組合對因子的敏感度第十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五如果假設(shè)證券回報(bào)率滿足因子模型，那么證券分析的基本目標(biāo)就是：辨別這些因子以及證券回報(bào)率對這些因子的敏感度。第十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五2.單因子模型把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的所有相關(guān)因素作為一個(gè)總的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，假設(shè)它對整個(gè)證券市場產(chǎn)生影響，并進(jìn)一步假設(shè)其余的不確定性是公司所特有的。例如，國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP的預(yù)期增長率是影響證券回報(bào)率的主要因素。

第十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五表6-1因子模型數(shù)據(jù)年份

GDP增長率

A股票回報(bào)率

1 5.7% 14.3% 2 6.4 19.2 3 7.9 23.4 4 7.0 15.6 5 5.1 9.2 6 2.9 13.0 第十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

4%

第十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五圖6-1中，橫軸表示GDP的預(yù)期增長率，縱軸表示證券A的回報(bào)率。圖上的每一點(diǎn)表示表6-1中，在給定的年份，A的回報(bào)率與GDP增長率的關(guān)系。通過線性回歸分析，我們得到一條符合這些點(diǎn)的直線。這條直線的斜率為2，說明A的回報(bào)率與GDP增長率有正的關(guān)系。GDP增長率越大，A的回報(bào)率越高。第十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五寫成方程的形式，A的回報(bào)率與GDP預(yù)期增長率之間的關(guān)系可以表示如下：

(6.1)

這里

=A在

t時(shí)的回報(bào)率,=GDP在

t時(shí)的預(yù)期增長率,=A在

t時(shí)的回報(bào)率的特有部分,=A對GDP的預(yù)期增長率的敏感度,=有關(guān)GDP的零因子。第十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

在圖6-1中，零因子是4%，這是GDP的預(yù)期增長率為零時(shí)，A的回報(bào)率。A的回報(bào)率對GDP增長率的敏感度為2，這是圖中直線的斜率。這個(gè)值表明，高的GDP的預(yù)期增長率一定伴隨著高的A的回報(bào)率。如果GDP的預(yù)期增長率是5%，則A的回報(bào)率為14%。如果GDP的預(yù)期增長率增加1%時(shí)，則A的回報(bào)率增加2%。第二十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五在這個(gè)例子里，第六年的GDP的預(yù)期增長率為2.9%，A的實(shí)際回報(bào)率是13%。因此，A的回報(bào)率的特有部分（由給出）為3.2%。給定GNP的預(yù)期增長率為2.9%，從A的實(shí)際回報(bào)率13%中減去A的期望回報(bào)率9.8%，就得到A的回報(bào)率的特有部分3.2%第二十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五從這個(gè)例子可以看出，A在任何一期的回報(bào)率包含了三種成份：1．在任何一期都相同的部分（）2．依賴于GDP的預(yù)期增長率，每一期都不相同的部分（）3．屬于特定一期的特殊部分（）。第二十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五從這個(gè)例子可以看出，A在任何一期的回報(bào)率包含了三種成份：1．在任何一期都相同的部分（

）2．依賴于GDP的預(yù)期增長率，每一期都不相同的部分（

）3．屬于特定一期的特殊部分（

）。第二十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五通過分析上面這個(gè)例子，可歸納出單因子模型的最一般形式：對時(shí)間

t

的任何證券

i

有

(6.2)第二十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五這里，

是因子在時(shí)間

t

的因子的值，對在時(shí)間

t

的所有的證券而言，它是相同的。

是證券

i

對因子

的敏感度，對證券

i而言，

不隨時(shí)間的變化而變化。

是證券

i

在時(shí)間

t

的回報(bào)率的特有部分。這是一個(gè)均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為

，且與因子

無關(guān)的隨機(jī)變量，我們以后簡稱為隨機(jī)項(xiàng)。第二十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五為簡單計(jì)，只考慮在某個(gè)特定的時(shí)間的因子模型，從而省掉角標(biāo)t，從而(6.2)式變?yōu)?/p>

(6.3)并且假設(shè)：

1．任意證券

i

的隨機(jī)項(xiàng)

與因子不相關(guān);2．任意證券

i

與證券

j的隨機(jī)項(xiàng)

與

不相關(guān)。

對于證券

i

而言，其回報(bào)率的均值

(6.4)

第二十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五這里，是因子在時(shí)間t

的因子的值，對在時(shí)間t

的所有的證券而言，它是相同的。是證券i

對因子的敏感度，對證券i而言，不隨時(shí)間的變化而變化。是證券i

在時(shí)間t

的回報(bào)率的特有部分。這是一個(gè)均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為，且與因子無關(guān)的隨機(jī)變量，我們以后簡稱為隨機(jī)項(xiàng)。第二十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五這里，

是因子在時(shí)間

t

的因子的值，對在時(shí)間

t

的所有的證券而言，它是相同的。

是證券

i

對因子

的敏感度，對證券

i而言，

不隨時(shí)間的變化而變化。

是證券

i

在時(shí)間

t

的回報(bào)率的特有部分。這是一個(gè)均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為

，且與因子

無關(guān)的隨機(jī)變量，我們以后簡稱為隨機(jī)項(xiàng)。第二十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五假設(shè)1說明，因子具體取什么值對隨機(jī)項(xiàng)沒有影響。而假設(shè)2說明，一種證券的隨機(jī)項(xiàng)對其余任何證券的隨機(jī)項(xiàng)沒有影響，換言之，兩種證券之所以相關(guān)，是由于因子對它們的共同影響導(dǎo)致的。如果任何假設(shè)不成立，則單因子模型不準(zhǔn)確，應(yīng)該考慮不同的因子模型。第二十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五這里，

是因子在時(shí)間

t

的因子的值，對在時(shí)間

t

的所有的證券而言，它是相同的。

是證券

i

對因子

的敏感度，對證券

i而言，

不隨時(shí)間的變化而變化。

是證券

i

在時(shí)間

t

的回報(bào)率的特有部分。這是一個(gè)均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為

，且與因子

無關(guān)的隨機(jī)變量，我們以后簡稱為隨機(jī)項(xiàng)。第三十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

對于證券

i

而言，其回報(bào)率的方差為

(6.5)例子第三十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五定義2：

我們稱(6.5)式中的

為因子風(fēng)險(xiǎn)；

為非因子風(fēng)險(xiǎn)。對于證券

i

和

j

而言，它們之間的協(xié)方差為

(6.6)第三十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五單因子模型具有兩個(gè)重要的性質(zhì)。

第一個(gè)性質(zhì)，單因子模型能夠大大簡化我們在均值-方差分析中的估計(jì)量和計(jì)算量。

第二個(gè)性質(zhì)與風(fēng)險(xiǎn)的分散化有關(guān)。

（1）

（2）（3）

分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險(xiǎn)的平均化，如上式（2）。

分散化縮小非因子風(fēng)險(xiǎn)，越分散w越小，上式（3）值就越小。第三十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五單因子模型具有兩個(gè)重要的性質(zhì)。第一個(gè)性質(zhì)，單因子模型能夠大大簡化我們在均值-方差分析中的估計(jì)量和計(jì)算量。第二個(gè)性質(zhì)與風(fēng)險(xiǎn)的分散化有關(guān)。

（1）

（2）

（3）

分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險(xiǎn)的平均化，如上式（2）。

分散化縮小非因子風(fēng)險(xiǎn)，越分散w越小，上式（3）值就越小。第三十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五3多因子模型經(jīng)濟(jì)是否健康發(fā)展影響絕大多數(shù)公司的前景，因此，對將來經(jīng)濟(jì)預(yù)期的變化會對大多數(shù)證券的回報(bào)率產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。但是，經(jīng)濟(jì)并不是一個(gè)簡單的單一體，用單一的因子來刻畫整個(gè)經(jīng)濟(jì)顯然是不準(zhǔn)確的。第三十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五3.1兩因子模型，即，回報(bào)率生成過程包括兩個(gè)因子。在

t

時(shí)的兩因子模型方程為：

(6.10)這里

和

是影響證券回報(bào)率的主要因素，

和

是證券

i

對兩因子的敏感度。

是隨機(jī)項(xiàng)，而

是零因子回報(bào)率。

第三十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五例子

表6-2因子模型數(shù)據(jù)

年份 GDP增長率 通貨膨脹率 A股票回報(bào)率

1 5.7% 1.1% 14.3%

2 6.4 4.4 19.2

3 7.9 4.4 23.4

4 7.0 4.6 15.6

5 5.1 6.1 9.2

6 2.9 3.1 13.0 第三十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

第三十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五證券B的回報(bào)率受GDP的增長率和通貨膨脹率預(yù)期值的影響。圖中的每一點(diǎn)描述了在特定的一年，證券B的回報(bào)率、GDP的增長率和通貨膨脹率之間的關(guān)系。通過線性回歸，可以確定一個(gè)平面，使得圖中的點(diǎn)符合這個(gè)平面。這個(gè)平面的方程為：第三十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

和單因子模型一樣，我們只考慮一期的模型，所以省掉時(shí)間的角標(biāo)。兩因子模型方程如下：

(6.12)并且假設(shè)：1．證券的隨機(jī)項(xiàng)與因子不相關(guān)，2．證券i

與證券j

的隨機(jī)項(xiàng)與不相關(guān)。第四十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

和單因子模型一樣，我們只考慮一期的模型，

所以省掉時(shí)間的角標(biāo)。兩因子模型方程如下：

(6.12)

并且假設(shè)：1．證券的隨機(jī)項(xiàng)與因子不相關(guān)，2．證券

i

與證券

j

的隨機(jī)項(xiàng)

與

不相關(guān)。第四十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五期望回報(bào)率:

方差:

協(xié)方差:第四十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五兩因子模型具有單因子模型的重要性質(zhì)。1．有關(guān)證券組合前沿的估計(jì)量和計(jì)算量大大減少。2．分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險(xiǎn)的平均化。3．分散化縮小非因子風(fēng)險(xiǎn)。第四十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五3.2多因子模型一般形式

不同形式

其中

例子第四十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五因素模型與均衡因素模型不是一個(gè)資產(chǎn)定價(jià)的均衡模型，因?yàn)閍i不同，ri也會不同，進(jìn)而造成不均衡。（1）（2）（2）式可以改寫為（3）式：所以因素模型如果要均衡，必然滿足下列要求：第四十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五第四十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五4 套利機(jī)會何謂套利？是指利用同一種實(shí)物資產(chǎn)或證券的不同價(jià)格來賺取無風(fēng)險(xiǎn)利潤的行為，最具代表性的是以較高的價(jià)格出售證券并在同時(shí)以較低的價(jià)格購進(jìn)相同的證券（或功能上等價(jià)的證券）。具體地說，有兩種類型的套利機(jī)會。如果一種投資能夠立即產(chǎn)生正的收益而在將來不需要有任何支付（不管是正的還是負(fù)的），我們稱這種投資為第一類的套利機(jī)會。如果一種投資有非正的成本，但在將來，獲得正的收益的概率為正，而獲得負(fù)的收益（或者說正的支出）的概率為零，我們稱這種投資為第二類的套利機(jī)會。第四十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

套利機(jī)會4何謂套利？是指利用同一種實(shí)物資產(chǎn)或證券的不同價(jià)格來賺取無風(fēng)險(xiǎn)利潤的行為，最具代表性的是以較高的價(jià)格出售證券并在同時(shí)以較低的價(jià)格購進(jìn)相同的證券（或功能上等價(jià)的證券）。具體地說，有兩種類型的套利機(jī)會。如果一種投資能夠立即產(chǎn)生正的收益而在將來不需要有任何支付（不管是正的還是負(fù)的），我們稱這種投資為第一類的套利機(jī)會。如果一種投資有非正的成本，但在將來，獲得正的收益的概率為正，而獲得負(fù)的收益（或者說正的支出）的概率為零，我們稱這種投資為第二類的套利機(jī)會。第四十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五例子：

假設(shè)經(jīng)濟(jì)環(huán)境由四個(gè)狀態(tài)和兩種證券構(gòu)成，證券組合甲由11份證券1構(gòu)成。相關(guān)的信息特征如下表所示。狀態(tài)證券組合甲

15355 25655

3103110 4103110假設(shè)事件的概率為P({1})=0.2，P({2})=0.3，P({34})=0.5。兩種證券的價(jià)格為P1=4，P2=2，證券組合甲的價(jià)格為P甲=40。第四十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

例子：

假設(shè)經(jīng)濟(jì)環(huán)境由四個(gè)狀態(tài)和兩種證券構(gòu)成，證券組合甲由11份證券1構(gòu)成。相關(guān)的信息特征如下表所示。

狀態(tài)

證券組合甲

15355 25655

3103110 4103110假設(shè)事件的概率為P({1})=0.2，P({2})=0.3，P({34})=0.5。兩種證券的價(jià)格為

P1=4，P2=2，證券組合甲的價(jià)格為

P甲=40。

第五十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五在這個(gè)經(jīng)濟(jì)中是否存在套利機(jī)會。第一，P甲=4011*P1=44，這屬于第一類套利機(jī)會。第二，我們把證券組合甲當(dāng)作第三種證券。構(gòu)造新的證券組合乙：賣空11份證券1，買入1份證券3。則證券組合乙的價(jià)格為11（4）+1（40）0第五十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五在這個(gè)經(jīng)濟(jì)中是否存在套利機(jī)會。第一，P甲=4011*P1=44，這屬于第一類套利機(jī)會。第二，我們把證券組合甲當(dāng)作第三種證券。構(gòu)造新的證券組合乙：賣空11份證券1，買入1份證券3。則證券組合乙的價(jià)格為11（4）+1（40）0

第五十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五第五十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五證券組合乙在期末的支付為狀態(tài) 證券組合乙 概率

1 00.2 2 00.3 3、4 00.5

因此，P(證券組合乙的支付=0)=1，這是第一類的套利機(jī)會。第五十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五第三，定義證券組合丙：賣空10份證券1，買入一份證券3。則證券組合丙的價(jià)格為10（4）+1（40）=0。證券組合丙在期末的支付為狀態(tài)證券組合概率

1 50.2 2 50.3 3、4 100.5

因此，P(證券組合丙的支付0)=1且P(證券組合丙的支付0)=10。這是第二類套利機(jī)會。第五十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五5 套利定價(jià)理論(APT)假設(shè)1：市場是完全競爭的、無摩擦的。假設(shè)2：投資者是非滿足的：當(dāng)投資者具有套利機(jī)會時(shí)，他們會構(gòu)造套利證券組合來增加自己的財(cái)富。假設(shè)3：所有投資者有相同的預(yù)期：任何證券i

的回報(bào)率滿足因子模型：第五十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

(6.18)

=證券

i

的隨機(jī)回報(bào)率，

=證券

i

對第

j

個(gè)因子的敏感度，

=均值為零的第

j

個(gè)因子，

=證券

i

的隨機(jī)項(xiàng)。第五十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

假設(shè)4：

，

與所有因子不相關(guān)且

假設(shè)5：市場上的證券的種類遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于因子的數(shù)目

k

。第五十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五因子模型說明，所有具有等因子敏感度的證券或者證券組合，除非因子風(fēng)險(xiǎn)外，其行為是一致的。因此，所有具有等因子敏感度的證券或者證券組合的期望回報(bào)率（或者說價(jià)格）是一樣的。否則，就存在第二類套利機(jī)會，投資者就會利用它們，直到消除這些套利機(jī)會。這就是APT的實(shí)質(zhì)。第五十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五5.1例子：（單因子模型）假如市場上存在三種股票，每個(gè)投資者都認(rèn)為它們滿足因子模型，且具有以下的期望回報(bào)率和敏感度：

i

股票1 15% 0.9股票2 21% 3.0

股票3 12% 1.8（假設(shè)某投資者投資在每種股票上的財(cái)富為4000元，投資者現(xiàn)在總的投資財(cái)富為12000元。）第六十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五首先，我們看看這個(gè)證券市場是否存在套利證券組合。

顯然，一個(gè)套利證券組合

是下面三個(gè)方程的解：初始成本為零：

(6.19)對因子的敏感度為零：

(6.20)期望回報(bào)率為正：第六十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五討論滿足這三個(gè)條件的解有無窮多個(gè)。例如，=(0.1,0.075,0.175)就是一個(gè)套利證券組合。總之，對于任何只關(guān)心更高回報(bào)率而忽略非因子風(fēng)險(xiǎn)的投資者而言，這種套利證券組合是相當(dāng)具有吸引力的。它不需要成本，沒有因子風(fēng)險(xiǎn)，卻具有正的期望回報(bào)率。那么，投資者如何調(diào)整自己的初始財(cái)富12000元呢（投資者的持有頭寸）？第六十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五套利證券組合如何影響投資者的頭寸第六十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五在上面的例子，因?yàn)?0.1,0.075,0.175)是一個(gè)套利證券組合，所以，每個(gè)投資者都會利用它。從而，每個(gè)投資者都會購買證券1和2，而賣空證券3。由于每個(gè)投資者都采用這樣的策略，必將影響證券的價(jià)格，相應(yīng)地，也將影響證券的回報(bào)率。特別地，由于購買壓力的增加，證券1和2的價(jià)格將上升，而這又導(dǎo)致證券1和2的回報(bào)率下降（因?yàn)閞=p1/p0—1）。相反，由于銷售壓力的增加，證券3的價(jià)格將下降，這又使得證券3的回報(bào)率上升。第六十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五這種價(jià)格和回報(bào)率的調(diào)整過程一直持續(xù)到所有的套利機(jī)會消失為止。此時(shí)，證券市場處于一個(gè)均衡狀態(tài)。所以，不需要成本、沒有因子風(fēng)險(xiǎn)的證券組合，其期望回報(bào)率必為零。無套利時(shí)，三種證券的期望回報(bào)率

和因子敏感度

滿足，對任意組合

，如果：第六十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五則必有

(6.21)

根據(jù)Farkas引理，而此時(shí)預(yù)期回報(bào)率和敏感性將近似滿足如下的線性關(guān)系，即必存在常數(shù)

和

，使得下面的式子成立：

該式即為套利定價(jià)方程。第六十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

刻畫均衡狀態(tài)的常數(shù)一組可能值為：

=8%，

=4%。這將導(dǎo)致證券1、2、3的均衡回報(bào)率為11.6%,20.0%,15.2%.第六十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五下圖說明了套利定價(jià)關(guān)系(6.21)。在均衡時(shí)，所有的證券都落在套利定價(jià)線上。常數(shù)

的一個(gè)自然解釋是，它表示均衡時(shí)因子的風(fēng)險(xiǎn)酬金。而

表示無風(fēng)險(xiǎn)利率。第六十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五APT定價(jià)方程的解釋在套利定價(jià)方程中，出現(xiàn)的常數(shù)該如何解釋呢？假定存在一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，它具有一個(gè)常數(shù)預(yù)期回報(bào)率，因而對因素?zé)o敏感性，有又有，所以，從而方程可改寫為：。就而言，可以考察一個(gè)純因素模型，用表示，該組合對因素具有單位敏感性，意味著，從而得出。所以這個(gè)組合具有如下的預(yù)期回報(bào)率：，改寫為于是，是單位敏感性的組合的預(yù)期超額回報(bào)率（即高出無風(fēng)險(xiǎn)利率的那部分預(yù)期回報(bào)率），被稱為因素風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)或因素預(yù)期回報(bào)率溢酬。令，所以有，故得到套利定價(jià)方程的第二形式：第六十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五5.2例子：（

二因子模型）假如市場上存在四種股票，每個(gè)投資者都認(rèn)為它們滿足因子模型，且具有以下的期望回報(bào)率和敏感度：

i

股票1 15% 0.9 2.0股票2 21% 3.0 1.5股票3 12% 1.8 0.7股票4 8% 2.0 3.2

假設(shè)某投資者投資在每種股票上的財(cái)富為5000元，投資者現(xiàn)在總的投資財(cái)富為20000元。第七十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五首先，我們看看這個(gè)證券市場是否存在套利證券組合。顯然，一個(gè)套利證券組合

是下面四個(gè)方程的解：初始成本為零：

(6.19)對因子的敏感度為零：

(6.20)期望回報(bào)率為正：第七十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五首先，我們看看這個(gè)證券市場是否存在套利證券組合。顯然，一個(gè)套利證券組合

是下面四個(gè)方程的解：初始成本為零：

(6.19)對因子的敏感度為零：

(6.20)期望回報(bào)率為正：第七十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五滿足這四個(gè)條件的解有無窮多個(gè)。例如，=(0.1,0.088,0.108,-0.08)就是一個(gè)套利證券組合。這時(shí)候，投資者如何調(diào)整自己的初始財(cái)富20000元。第七十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五因?yàn)椋?0.1,0.088,0.108,-0.08)是一個(gè)套利證券組合，所以，每個(gè)投資者都會利用它。從而，每個(gè)投資者都會購買證券1和2，而賣空證券3和4。由于每個(gè)投資者都采用這樣的策略，必將影響證券的價(jià)格，相應(yīng)地，也將影響證券的回報(bào)率。特別地，由于購買壓力的增加，證券1和2的價(jià)格將上升，而這又導(dǎo)致證券1和2的回報(bào)率下降。相反，由于銷售壓力的增加，證券3和4的價(jià)格將下降，這又使得證券3和4的回報(bào)率上升。第七十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五這種價(jià)格和回報(bào)率的調(diào)整過程一直持續(xù)到所有的套利機(jī)會消失為止。此時(shí)，證券市場處于一個(gè)均衡狀態(tài)。在這時(shí)的證券市場里，不需要成本、沒有因子風(fēng)險(xiǎn)的證券組合，其期望回報(bào)率必為零。無套利時(shí)，四種證券的期望回報(bào)率和因子敏感度，對任意組合，如果：第七十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五則必有

(6.21)根據(jù)Farkas引理，必存在常數(shù)

，

，

使得下面的式子成立：刻畫均衡狀態(tài)的常數(shù)一組可能值為

=8%，

=4%，

=-2%。這將導(dǎo)致證券1、2、3、4的均衡回報(bào)率為7.6%,17%,13.8%,9.6%.第七十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五5.3一般情形

選擇證券組合

，使其成本為0

回報(bào)率為第七十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五為了得到無風(fēng)險(xiǎn)的證券組合，我們必須消除因子風(fēng)險(xiǎn)和非因子風(fēng)險(xiǎn)。滿足下面三個(gè)條件的證券組合符合這一要求：1）所選的每個(gè)權(quán)充分?。?）所包括的證券種類盡量多；3）對每個(gè)因子而言，證券組合的因子敏感度為零。第七十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

用數(shù)學(xué)式子表示，這些條件是

是一個(gè)很大的數(shù)

對每個(gè)因子而言，

第七十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五因?yàn)殡S機(jī)項(xiàng)是獨(dú)立的，由大數(shù)定律，當(dāng)

越來越大時(shí)，隨機(jī)項(xiàng)的加權(quán)和趨向于零。換言之，通過分散化，不需要花任何成本就能消去非因子風(fēng)險(xiǎn)。因此，我們得到：

第八十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五在形式上看起來，這是一個(gè)隨機(jī)量。但是，由(6.26)式，證券組合的每個(gè)因子敏感度為零，所以，所有的因子風(fēng)險(xiǎn)為零。由于我們選擇的權(quán)消除了所有的風(fēng)險(xiǎn)，最后，證券組合的回報(bào)率變成了一個(gè)常數(shù)。(6.27)式變成：

(6.28)第八十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五在形式上看起來，這是一個(gè)隨機(jī)量。但是，由(6.26)式，證券組合的每個(gè)因子敏感度為零，所以，所有的因子風(fēng)險(xiǎn)為零。由于我們選擇的權(quán)消除了所有的風(fēng)險(xiǎn)，最后，證券組合的回報(bào)率變成了一個(gè)常數(shù)。(6.27)式變成：

第八十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五在我們構(gòu)造的證券組合的過程中，投資者既不需要成本，也不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，如果構(gòu)造的證券組合的回報(bào)率不為零，它就是一個(gè)套利證券組合，當(dāng)市場達(dá)到均衡時(shí)，這是不可能的。因此，滿足條件(6.24)-(6.26)的證券組合，其回報(bào)率一定為零，即，

(6.29)第八十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五證券市場無套利時(shí)，證券的期望回報(bào)率和因子敏感度滿足下列性質(zhì)：對任何向量，如果它既垂直于單位常向量，又垂直于每個(gè)因子敏感度向量，則它一定垂直于期望回報(bào)率向量，由Farkas引理，期望回報(bào)率向量一定可以表示成單位常向量和因子敏感度向量的線性組合，即，存在個(gè)k+1

常數(shù)，使得