投影變換的基本概念

第4章

投影變換的基本概念

目錄.ppt

教學提示：當幾何元素相對于投影面處于一般位置時，是無法從投影圖上直接獲取其真實形狀、距離和角度的。由此可知，在進行空間問題的圖示和圖解過程中，如果能通過某種變換規(guī)則，使空間幾何元素相對于投影面由一般位置轉換為特殊位置，使其投影或直接反映實形，或具有積聚性。應用的投影變換方法有更換投影面法(換面法)和旋轉幾何元素法(旋轉法)兩種。本章僅簡單介紹其中的換面法，并以基本繪圖軟件AutoCAD為例，介紹如何利用其三維功能圖解空間問題的基本思路。教學要求：要求學生通過學習本章內容，了解投影變換理論的基本概念，熟悉使用換面法解決空間基本問題的作圖過程，了解如何利用計算機繪圖軟件中的三維功能解決空間問題的基本思路?！?.1投影變換概述

●4.2點的換面●4.3用換面法解決的4個基本作圖問題

●4.4計算機輔助畫法集合問題的圖解法本章內容4.1投影變換概述

從前面所介紹的投影理論可知，當幾何元素相對于投影面處于一般位置時，是無法從投影圖上直接獲取其真實形狀、距離和角度的。例如，要獲取一個處于一般位置的直角梯形ABCD的實形［如圖4.1(a)所示］，只有當它處于投影面平行面(如水平面)的位置，才能獲得，如圖4.1(b)所示；同樣，要得知一點K到一個三角形平面EFG之間的真實距離［如圖4.2(a)所示］，也只有當該平面垂直于某一投影面時(如鉛垂面)，才能在這個投影面上直接獲得它們的真實距離，如圖4.2(b)所示。(a)(b)(a)(b)圖4.1尋求梯形的實形圖4.2尋求點到平面的真實距離

4.1投影變換概述由此可知，在進行空間問題的圖示和圖解過程中，如果能通過某種變換規(guī)則，使空間幾何元素相對于投影面由一般位置轉換為特殊位置，使其投影或直接反映實形，或具有積聚性，那么，問題就可以得到簡化。這種變換規(guī)則就稱為投影變換。

常用的投影變換方法有更換投影面法(換面法)和旋轉幾何元素法(旋轉法)兩種。本章僅簡單介紹其中的換面法，并以基本繪圖軟件AutoCAD為例，介紹如何利用其三維功能圖解空間問題的基本思想。

投影變換研究的是如何改變空間幾何元素與投影面的相對位置，借助于改變以后所得的新投影(即輔助投影)，以簡便地解決空間問題。

換面法的基本解題思路是：空間幾何元素本身在空間的位置不動，而在其所在的兩投影面體系中，保持一個投影面不動，用某一輔助投影面代替另一個投影面，使其相對于該輔助投影面4.1投影變換概述處于解題所需的有利位置。實際上，以V/H兩投影面體系為例，垂直于V面或H面的平面有無窮多個。每新設立一個投影面，就會與原始體系中的那個不變投影面形成一個新的投影體系。因此，在選擇輔助投影面時，首先必須將輔助投影面垂直于原投影體系中的另一個投影面(不變投影面)，以構成一個新的兩投影面體系，并且應考慮到所選擇的輔助投影面必須處于最有利于解題的位置。如圖4.3(a)所示的是如何應用換面法將一個鉛垂面ABC變換為輔助投影面V1的平行面。此時，由于△ABC∥V1，因此，△ABC在V1面上的投影△a1′b1′c1′即反映其實形。其圖解過程如圖4.3(b)所示。4.1投影變換概述(a)(b)圖4.3換面法的基本解題思路4.1投影變換概述旋轉法的基本解題思路則是：保持投影體系不動，而將幾何元素圍繞某一軸線旋轉到對投影面處于特殊位置，以便使其反映出形狀、距離、角度等的真實大小，使問題得到簡化。如圖4.4(a)所示的是應用旋轉法將一個鉛垂面變換為正平面的過程。即令△ABC繞一鉛垂軸旋轉一個角度，直到平行于V面。使△ABC的正面投影反映出它的真實形狀。如圖4.4(b)所示是其投影作圖過程。將投影變換的基本概念與計算機輔助圖形軟件相結合，可以更直接、更形象、更準確而快速地解決空間幾何元素的定形和定位問題。

(a)(b)圖4.4旋轉法的基本解題思路4.1投影變換概述

點是最基本的幾何元素。要運用換面法解決問題，首先必須掌握點的投影變換規(guī)律。4.2點的換面

為敘述清楚起見，仍以V和H組成的兩投影面體系為例，并將其記為。若在

的基礎上，保持H面(或V面)不動，則H面(或V面)即稱為不變投影面，垂直于H面(或V面)增設一個輔助投影面V1(或H1)，即形成了兩個相互關聯(lián)的兩投影面體系，分別用符號和

(或)表示。其中，X1表示輔助投影面與不變投影面的交線，V1(或H1)表示新設的輔助投影面。點A在V1(或H1)面上的投影a1′(或a1)稱為點A的輔助投影，而與其相關聯(lián)的投影a′和a則稱為不變投影。點的一次投影變換的變換過程、投影體系的展開及投影變換規(guī)律見表4-1，即：

(1)點的不變投影與輔助投影之間的連線垂直于X1軸。4.2.1點的一次換面4.2點的換面(2)點的輔助投影到輔助投影軸X1的距離等于被更換的投影到原投影軸OX的距離。表4-1點的一次投影變換及投影變換規(guī)律4.2點的換面點的二次換面指的是在第一次換面之后的基礎上，以第一次的投影體系

(或

)中的投影面V1(或H1)為不變投影面，增設與其垂直的新投影面H2(或V2)，組成新的投影體系

(或

)。在求第二次變換的新投影時，則以第一次變換建立起來的新體系中的兩個投影作為原體系，運用點的投影規(guī)律作圖。如圖4.5(a)所示的是空間一點A的二次投影變換的過程，而如圖4.5(b)所示則表示了A點的二次投影變換的作圖過程。從圖中可知，若第一次換面時，以H面為不變投影面，以V1面更換V面，那么第二次換面時，則以V1面為不變投影面，以H2更換H面。從而在第二次變換后構成了V1/H2的新體系，新的投影軸則用X2表示。由此可推出點的三次、四次或更多次投影變換的作圖方法。4.2.2點的二次換面4.2點的換面(a)(b)圖4.5點的二次投影變換4.2點的換面4.3用換面法解決的4個基本作圖問題

如何將一般位置直線或平面轉換為特殊位置直線或平面，是換面法所要解決的最基本問題。將一般位置直線轉換為輔助投影面的平行線，可在該輔助投影面上得到直線的實長和對不變投影面傾角的真實大小。表4-2中以V/H體系為原投影體系，列出了用換面法求作一般位置直線的實長及對H面或V面的傾角的作圖過程。表4-2求一般位置直線的實長及對投影面的傾角、4.3.1將一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€

4.3用換面法解決的4個基本作圖問題從表中的分析可知，要求一般位置直線的實長，可任取V、H面中的一個投影面為不變投影面，而另一投影面則以V1(或H1)來替代，形成新的投影體系

(或

)。顯然，新投影面V1(或H1)的更換條件是V1(或H1)必須平行于一般位置直線AB。在投影作圖時，即作X1軸平行于直線AB的水平投影ab(或正面投影a′b′)。4.3用換面法解決的4個基本作圖問題一般位置直線對投影面的傾角，其實就是指對不變投影面的傾角。也就是說，若要求得直線對H面的傾角，則H面必須設為不變投影面，用V1面更換V面。這時，直線在V1面上的投影a1′b1′與X1軸的夾角即為的真實大小。同理，要求得直線對V面的傾角，則V面必須設為不變投影面，而用H1面更換H面。直線在H1面上的投影a1b1與X1軸的夾角即為的真實大小。4.3用換面法解決的4個基本作圖問題4.3.2將投影面平行線變換為投影面垂直線

在許多空間距離問題的求解過程中，將一般位置直線轉換為投影面平行線或投影面垂直線，可使問題得到簡化。而由于投影體系中投影面之間的兩兩垂直特點，以及正投影法的投影特性，要將一般位置直線轉換為投影面垂直線，是不可能直接達到目的的。必須首先將其轉換為投影面平行線，然后再進行連續(xù)的第二次換面，才能將其轉換為投影面垂直線(讀者可自行證明)。因此，將投影面平行線變換為投影面垂直線的問題，是換面法的基本作圖問題之一。如圖4.6(a)所示的是將一條水平線AB變換為輔助投影面V1的垂直線的空間轉換過程。從圖中可知，由于輔助投影面V1垂直于水平線AB，而AB又平行于H面，因此V1面必定垂直于不變投影面H。換面后，直線AB垂直于V1面，其投影在V1面上積聚為一點。如圖4.6(b)所示為投影變換的作圖過程。作圖時，首先在適當位置上作X1軸垂直于AB的水平4.3用換面法解決的4個基本作圖問題投影ab，再應用投影變換規(guī)律作出其輔助投影a1′b1′(a1′b1′積聚為一點)。如圖4.6(c)所示是將一般位置直線轉換為投影面垂直線的投影作圖過程。該過程分兩步進行，經歷了兩次連續(xù)換面。第一次換面將直線轉換為輔助投影面V1的平行線，第二次換面才將直線轉換為輔助投影面H2的垂直線，讀者可自行練習，并進行分析對比。4.3用換面法解決的4個基本作圖問題(a)稅(b)丙(凡c)圖4.6將直知線變捎換為隱投影權面垂下直線4.3用換哥面法封解決除的4個基存本作斜圖問警題將一摘般位防置平傅面變室換為班投影崇面垂著直面委，可閣在輔娘助投濕影面甘上求脊得該薦平面努對不斜變投但影面疫的傾龍角的頸真實竟大小欄。換蓋句話侵說，撕當所喘作的孟輔助孩投影預面同脫時垂稈直于乓給定安的一滲般位遇置平碑面P和原體趕系中的杠某一不挖變投影流面時，織則平面P與不變區(qū)投影面竊在輔助勸投影面嬌上的投失影積聚米為兩條柜直線，瘦它們之鴉間的夾能角即為詢兩平面扭之間二踩面角的憲真實大傾小，亦厚即該平軟面P對不變罷投影面甜的傾角旨的真實雀大小，樣如圖4.7所示扁。表4-3所示為在求作一沉般位置例平面對V、H面的傾抓角察、據(jù)的妥作圖方良法及投較影特性基，至于企求作一怕般位置份平面對W面的賄傾角雞的問明題，銀讀者譯可自總行推挎導。4.久3.逝3將一方般位奸置平嬌面變碑換為墓投影尼面垂敬直面4.3用換興面法害解決塌的4個基本映作圖問疑題圖4.7求作絕一般浸位置屠平面企對投逼影面錯傾角移的解養(yǎng)題思深路4.3用換店面法駕解決凱的4個基本吧作圖問莊題表4-3用換面遙法求一做般位置要平面對委投影面訪的傾角4.3用換威面法騙解決偏的4個基血本作蠢圖問闖題將投影欠面垂直課面變換繩為投影縫面平行賣面，可界在輔助錄投影面懷上得到抬該平面綱的實形導。如圖4.8啊(a)所示，寄欲求作奪鉛垂面樣△ABC的實樂形，紫必須觸作輔展助投需影面V1平行肯于△AB違C。顯粱然，眼此時V1也同時掙垂直于H面，并使與H面組成絡了一個翠新的投夸影體系X1，△ABC則轉測換成謊了該緞體系稻中的挎正平榴面。段作圖顆時首艇先作X1軸平行絮于△ABC的水綢平積頁聚性戴投影ab崇c，然性后應道用投些影變朽換規(guī)災律求離出△ABC各頂降點的候輔助夏投影a1′、b1′、c1′，最鳥后連蔽成△a1′b1′c1′。如圖4.輩8(歷b)所示。顯然，傳若需求閘作一般蜂位置平離面的實單形，需吐經過兩嘉次連續(xù)欄換面。毀首先將射給定的斬一般位淋置平面鹿轉換為稍輔助投棋影體系I的垂直取面，再功以此為呼基礎進靠行連續(xù)抄的第二撲次換面么，將其幼轉換為面輔助投母影體系II的平行瀉面，如霸圖4.9所示。4.3剖.4將投影汗面垂直惰面變換狹為投影表面平行啄面4.犁3用換面諸法解決贊的4個基本遣作圖問牌題(a)師(b)圖4.8求鉛垂渡面AB周C的實形擇圖4.9求一稈般位仿置平確面的六實形CA狡D-統(tǒng)3D技術漁在現(xiàn)域代化CAD軟件中寸十分普惡及。用堆計算機罷輔助圖兆解畫法攀幾何問可題，同雜樣是建匯立在正釋投影的得理論基泛礎上，且但其解憑題過程坡只需兩己大步驟雹：首先少對工程小設計及室表達中赴的畫法泰幾何問泄題進行程空間分沫析并進蠅行實體懸建模，吩實現(xiàn)計陽算機可嘉視化；竊然后在續(xù)三維環(huán)屢境下的遙實體模辮型上直門接求解談及表達控，從而速使得求六解過程楊直觀形逝象，易耽于掌握刃和分析博，可大切大提高驕設計和腰作圖的圖精度和歇速度，廳也更適素合于現(xiàn)搏代化無擴圖紙設材計、表項達和制冰造的生齡產方式媽。為了呆說明問沉題，本懲節(jié)介紹器的計算論機輔助序圖解體稻系仍建撓立在Aut斤oCA搖D-3巾D技術昨之上趣。4.酷4計算后機輔它助畫獻法幾位何問按題的乏圖解鋒法使用Au孫to曠CA嫁D-侄3D技術求秤解畫法膏幾何空帆間問題淺的計算永機輔助貧工具主稅要有以儉下3個：巴①用裁戶坐烏標系UCS；②房誠點的障過濾壁；③我查詢背工具渴。1.用戶遠坐標舒系UC格S用戶坐殊標系UC挺S是一種愛三維坐斯標系。葛前面已斧經提到盟，在Au榨to事CA盲D中設瓦置的饞世界完坐標情系、坦柱面帳坐標倉系、最球面頓坐標放系及惕用戶舒坐標牧系等4種三徐維坐紀標系恒中，富系統(tǒng)媽默認舞的坐胖標系鴉是世殺界坐跡標系屯。要改膛變當擋前坐你標系計的方遺式可零使用突用戶謊坐標相系UC犧S命令來窮實現(xiàn)。燦使用這貌一功能狼，可將打三維空落間直角乓坐標系器的原點拴和方向間按解題喪需要方毫便靈活戀地進行倆平移、此旋轉等拒多方位紅的坐標乘變換，鉛并在新率確定的榜空間直電角坐標動系中以XO界Y平面盡為基瀉面作將圖。UCS的調綱用方得法有凝多種橋：(1閑)命令淚行輸傳入：UC就S↙，可哨在命陰令行圈出現(xiàn)互如圖4.1擇0的提良示。4.4避.1求解畫昂法幾何嚇問題的泉主要工逝具4.恒4計算喝機輔模助畫恨法幾序何問嶄題的頃圖解碗法(2)怕UC般S工具燙欄的您調用散：“視圖”下拉菜暖單/工具欄/UC菊S，可調姑出如圖4.1饅1所示的UC憲S工具項欄。圖4.1連0餓UCS命令延行圖4.1還1島UCS工具欄4.4計算室機輔墊助畫造法幾茶何問滋題的你圖解翠法該命令鍵的常用攝選項及漸作用見哭表4-痰4表4-4伙U草CS命令薦的常燃用選獸項說主明4.4計算棉機輔破助畫變法幾洗何問國題的估圖解怎法4.4計算搜機輔推助畫皺法幾取何問雖題的高圖解陣法4.4計算機長輔助畫冬法幾何嗎問題的鴨圖解法2.點的過渠濾這一功躁能可以玻在確定驅直線的李兩個端鬼點時，鑄從前一門點P1(x1，y1，z1)中取多出1個或2個方向太的坐標絡值作為溉下一點矮的P2(x2，y2，z2)坐標淹值。4.寒4計算肝機輔參助畫援法幾儀何問兄題的此圖解梯法1)過濾膀一個偵坐標過濾點奸的一個郊坐標，歲一般用煌于繪制XO嫩Y平面中輔的直線影問題。掏如要繪誦制如圖4.成12嘴(a篩)所示儲的平漢面圖猾形，校則當嫩繪制釣到直瓶線DE時，懂欲由D點向左粘畫水平懼線至E點，由尊于A點與E點的x值相絲式同(即xE=xA但yE詞yA)，此箱時則漲可在澇輸入E點坐標逮后，先蝴輸入“.x”，回車立，在“于(即需要笛相比較紅的點)”提示下毀選擇A點，意窯在E點與A點的x值相同局，然后麥，在“需要YZ”的提擺示下唯輸入“0”，回車柱即得E點。繪蘿制過程咽如圖4.1投2(b防)所示蔥，其昂命令設執(zhí)行灶過程攀如圖4.消13所示誕。在雁實際岸操作連過程磚中，葛同時剖打開伶窗口抱下方“狀態(tài)逃欄”中的“極軸”、“對象捕峽捉”和“對象數(shù)追蹤”狀態(tài)冤，即有可快僅速實劉行過挎濾一芳個坐濁標的義操作困，如脆圖4.1第2(c也)所示。4.含4計算遙機輔定助畫唐法幾殼何問凡題的拌圖解君法(a達)飲(皺b)繭(c蠶)圖4.1惱2過濾值點的乘一個椒坐標4.4計算焰機輔候助畫橋法幾通何問質題的享圖解肅法圖4.興13過濾一躁個坐標犬的命令訊執(zhí)行過機程2)過濾兩朗個坐標過濾霜點的貸兩個敗坐標異，一個般是郵指在XY違Z空間悶直角肥坐標保系中銳繪制來直線贏時，旦直線逼后一鋪端點抄的三謎個坐增標值柴中，恢要求溝有兩政個坐舅標與暢前一乖端點林的相授同而糾第三轉個不柱同。4.什4計算機休輔助畫病法幾何惡問題的頓圖解法【例4.1蛇】如圖4.售14榴(a污)所示觀，要籠求過馬點A作一吃直線AB垂直于泛平面P(B為垂足煤，此問父題也可夫理解為膚求作空沃間點A向一般杜位置平藍面P作投影)。分析：要求直帽線AB⊥平面P，則相元對于P面來說鼠，A、B兩點克的x、y坐標悅值相絨等而z值不出等。隙若設兼置一詞個新口的空襲間直飼角坐易標系剪，使棍其XOY面“貼在”P面上憑，則A、B兩點榴的坐他標應睬分別橫為：A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，0)。其蛾中，x2=x1，y2=y1。這時微，再利國用點的專過濾工輛具確定B點。作圖步萄驟：①坐奧標系轉屢換。使迷用UC黎S命令中稠的“3點UC齊S”命令諸將空間雜直角坐擴標系的XY平面貼間于平面P上，憲如圖4.1奪4(b弱)所示品。②況應用煮過濾倦功能什確定倦垂足B。調用醉直線命軟令和“節(jié)點捕腫捉”命令赤，在“指定第園一點”提示下孟選擇點A，然后蒼在“指定殘下一小點”提示下雙輸入“.xy”并回車蟲。4.4計算機搞輔助畫保法幾何距問題的蛙圖解法(a捧)敏(b瘦)失(c伴)圖4.1呈4過濾川兩個擔坐標圖4.1機5表明醬了過嶺濾兩屬個坐漿標時任的命宇令執(zhí)獨行過總程。4.僻4計算機察輔助畫報法幾何窮問題的架圖解法圖4.飄15過濾轟兩個屢坐標請的命掛令執(zhí)病行過踢程3.查詢工池具這是最堪直接的際一種設閣計工具踏。當實拾體建模槳完成后秩，在“查詢”命令的枯子菜單抄中(如圖4.1繼6所示)，可使以直賺接查劣詢指藍定對日象的減距離隸、面竭積、包點坐黃標的叫精確按數(shù)值監(jiān)及坐瓦標位屈置和麗方位獸，還考可確紹定實貫體的挨質量秋特性奧，如盼實體站的質廳量、御體積斬、邊你界框秀的大昏小和鋼坐標旅、實灶體的株質心父、慣店性矩修、旋瓶轉半歪徑及曉主力襲矩與浩質心拳的X-Y-Z方向伶等。莖這對雖于工擦程抽遼象問清題中垮的點幼到直膛線、滋兩平屈行直純線、騙兩平牙行平闊面之閃間的提距離脅等幾蜓何量倡定量衰問題傳的精云確求停解，然對于霸工程祥實際億問題室中零4.4計算杰機輔伸助畫鋸法幾詠何問械題的慕圖解深法件部件妨的質量戚特性的岸確定及繭力學設凍計，都射具有直置接、準迷確、高判效的功毀能，如賺圖4.1頭6所示恥。圖4.1綱6查詢命咬令4.收4計算閑機輔煌助畫襖法幾真何問全題的認圖解宵法在例4.1中，如葛要求出AB的實嶼際長潑度，蘇即點A到平兇面P的垂直膝距離，錦則可使曉用“查詢”命令脂中的檔子命谷令“距離(D)”，按照殃命令行雷中的提元示，分摩別選擇A點和B點，概即可扛得知碗其距議離值籌為79斤.0善24劈燕1。例4.恭1還可以暈用“列表顯衡示”的方擇法直稿接查君詢。六例如戲在某講平面P上畫互了一匹個多謀邊形疫后，慢使用“工具/查詢/列表懂顯示(L嶼)”命令可畢直接查暫看到該克多邊形勺的所有增信息。廢按命令坊行提示爬選擇該性多邊形往，即可餓彈出一扯個Aut牽oCA兔D文本窗狗口，其饅中不僅宗列表顯仇示出了觀該多邊揭形各頂奪點的坐租標、周餓長和面榨積，還械可記錄纖作圖的松全部過昏程，如跨圖4.1凝7所示。單位伍：m4.4計算機毅輔助畫弓法幾何根問題的膨圖解法圖4.抖17列表拖顯示(L稅IS更T)查詢4.4計算機遷輔助畫海法幾何瞧問題的妥圖解法4.社4.妹2求解空置間幾何壓問題的箭基本方矛法以畫寇法幾裙何的取空間嬌分析寨為思乖維主胃線，域綜合饞應用心以上鳳三個慚主要陵基本庸工具崖，即永可構泥成以童下基旦本求無解方牙法。1.坐標月變換利用UC集S命令，教建立坐冊標變換賠的概念碗。設計各時可以駁根據(jù)畫具法幾何碌問題中陳空間分友析的結碰果，將連當前的錫空間直曠角坐標參系進行作平移、輝旋轉，額以實現(xiàn)匙畫法幾念何中將翠一般位羽置幾何士量變?yōu)樵厥馕粯酥脦缀螡{量，再題配合查周詢及尺暑寸標注較等其他售工具，并即可解壓決直線銹的實長貍、平面骨的實形抹等定形墓問題；劫直線與爐直線、尖直線與儲平面、倉平面與李平面之粗間的夾江角等問殊題，如唉圖4.姿18所示。4.第4計算孩機輔緊助畫鋼法幾巴何問吧題的打圖解往法圖4.跡18點與直煎線向平泛面P進行啄投影2.直線徒的投希影利用“點的錯過濾”功能以累及與UC亞S坐標變喉換的配尺合，即慶可實現(xiàn)鑰在計算混機三維智環(huán)境下你將空間態(tài)直線向蕉任一平串面的投陣影，并悉可使一各系列畫遲法幾何懸空間問沃題迎刃付而解。識如圖4.購18所示，4.塑4計算淋機輔鮮助畫厚法幾鍋何問骨題的兔圖解現(xiàn)法在作出挺空間直壩線AB對平面P的投卸影ab后，愁即可斥引申呈出“點到平享面的距仇離”、“直線顏與平暮面的批交點”、“直線與泳平面的眾夾角”等問哈題的瘋求解注。同理廉，在瞎作出余空間遣平面AB隙C對平資面P的投附影后槽，兩啄平面英的交槳線及形二面棗角等享問題捕也就嫂隨之尊得到鈴了解繞答，土分別權如圖4.酒19和圖4.癢20所示。籍從而對僑空間問離題實現(xiàn)胃空間直覆接求解笨。圖4.在19平面發(fā)的投禿影及艱其引丸申出諸的交葡線問聞題鍬圖4.2家0平面的浸投影及慎其引申工出的二她面角問丙題4.4計算機幼輔助畫熄法幾何肝問題的唯圖解法【例4.2掩】用基麥于Au轟to職CA灘D的計算大機輔助罰圖解法籮，求△AB毛C對XOY投影劣面的票夾角(如圖4.2鞠0所示)。空間晨分析錄：這藝是一陰個求悟解二牢面角影的空殼間幾米何問促題。吊如圖4.2正2所示，望要求出厘兩平面宗間夾角瓜，必須因作出第婦三個平匪面P，使其掠同時垂累直于已暈知的兩腰平面。暴而該兩時平面與賺平面P的交線AD與DE的夾頓角，碧即為窮所求表的二湖面角慶。圖4.饅21求△AB節(jié)C對XOY投影貌面的緊夾角圖4.炎22圖解蓄分析4.4計算機承輔助畫停法幾何盲問題的再圖解法解題步沾驟：(1徐)調用UC唐S用戶出坐標曠系。(2)坐標射轉換退：調剃用UCS工具欄麗中的“3點UCS”命令吃，將君空間擠直角桑坐標燦系的XOY面“貼在”題目所核給的XO密Y平面上堡，如圖4.所23頂(a宗)所示蛾。(3垮)作一脖平面樓垂直織于兩敵已知裙平面麥，即言：①用贏點的過釣濾功能騎，過A點作AE⊥XO駕Y平面變，如演圖4.旁23龜(b億)所示著；②夫使用“直線”命令坡和“垂直捕聽捉”輔助窮工具裝，過E點向CB作垂識線ED，再連姑接AD，則安△AE臨D即為怪△ABC和XO并Y面的公候垂面，幸如圖4.2碑3(c司)所示呢。(4微)再次使攤用UCS工具欄變中的“3點UCS”命令枕，將XOY面“貼在”△AED平面續(xù)上，選然后崇調用“