2021年數(shù)學(xué)中考復(fù)習專題之圓的考察：垂徑定理的運用(二)

2021年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習專題之圓的考察：垂徑定理的運用（二）一．選擇題1．為了測量一個鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內(nèi)，測得的有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm），則該鐵球的直徑為（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm2．已知水平放置的圓柱形排水管道，管道截面半徑是1m，若水面高0.2m．則排水管道截面的水面寬度為（）A．0.6m B．0.8m C．1.2m D．1.6m3．如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以O(shè)為圓心的圓的一部分，CM＝DM＝2，MO交圓于E，EM＝6，則圓的半徑為（）A．4 B．2 C． D．4．如圖是一個圓柱形輸水管橫截面的示意圖，陰影部分為有水部分，如果水面AB的寬為8cm，水面最深的地方高度為2cm，則該輸水管的半徑為（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm5．某品牌嬰兒罐裝奶粉圓形桶口如圖所示，它的內(nèi)直徑（⊙O直徑）為10cm，弧AB的度數(shù)約為90°，則弓形鐵片ACB（陰影部分）的面積約為（）A．（π﹣）cm2 B．（π﹣25）cm2 C．（π﹣）cm2 D．（25π﹣）cm26．我們研究過的圖形中，圓的任何一對平行切線的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”．除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形（如圖1），它是分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間畫一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形．圖2是等寬的勒洛三角形和圓形滾木的截面圖．有如下四個結(jié)論：①勒洛三角形是中心對稱圖形；②圖1中，點A到上任意一點的距離都相等；③圖2中，勒洛三角形的周長與圓的周長相等；④使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運東西，會發(fā)生上下抖動．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④7．“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”此問題即：“如圖所示，CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，求圓的直徑”（1尺＝10寸）根據(jù)題意直徑長為（）A．10寸 B．20寸 C．13寸 D．26寸8．一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA＝1m，水面寬AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了1.4m，則此時排水管水面寬為（）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m9．如圖，著名水鄉(xiāng)烏鎮(zhèn)的一圓拱橋的拱頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，水面寬AB為8m，則拱橋的半徑OC為（）A．4m B．5m C．6m D．8m10．《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)暮作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長．”則CD＝（）A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸二．填空題11．如圖，在殘破的圓形工件上量得一條弦BC＝16，的中點D到BC的距離ED＝4，則這個圓形工件的半徑是．12．如圖是水平放置的水管截面示意圖，已知水管的半徑為50cm，水面寬AB＝80cm，則水深CD約為cm．13．排水管的截面如圖，水面寬AB＝8dm，圓心O到水面的距離OC＝3dm，則排水管的半徑等于dm．14．（1）小英家的圓形鏡子被打碎了，她拿了如圖（網(wǎng)格中的每個小正方形邊長為1）的一塊碎片到玻璃店，配制成形狀、大小與原來一致的鏡面，則這個鏡面的半徑是．（2）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與邊BC，CA，AB的切點分別為D，E，F(xiàn)，若∠A＝70°，則∠BOC＝，∠EDF＝．（3）邊長為4的等邊三角形內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑分別是．（4）等腰三角形ABC外接圓的半徑是5，底邊BC＝4，則△ABC的面積為．15．如圖，⊙O是一個油罐的截面圖．已知⊙O的直徑為5m，油的最大深度CD＝4m（CD⊥AB），則油面寬度AB為m．三．解答題16．如圖，破殘的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線交弧AB于C，交弦AB于D．求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）．17．如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑；（2）有一艘寬為5m的貨船，船艙頂部為長方形，并高出水面3.4m，則此貨船是否能順利通過此圓弧形拱橋，并說明理由；18．一輛裝滿貨物的卡車，高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖所示的某工廠，問這輛卡車能否通過廠門（廠門上方為半圓形拱門）？說明你的理由．19．如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半徑．20．如圖1是小明制作的一副弓箭，點A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點，弓弦BC＝80cm．沿AD方向拉動弓弦的過程中，假設(shè)弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長．如圖2，當弓箭從自然狀態(tài)的點D拉到點D1時，有AD1＝40cm，∠B1D1C1＝120°．（1）圖2中，弓臂兩端B1，C1的距離為cm．（2）如圖3，將弓箭繼續(xù)拉到點D2，使弓臂B2AC2為半圓，求出D1D2的長度．．

參考答案一．選擇題1．解：連接AB、CD交于點D，由題意得，OC⊥AB，則AD＝DB＝AB＝4，設(shè)圓的半徑為Rcm，則OD＝（R﹣2）cm，在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得，R＝5，則該鐵球的直徑為10cm，故選：B．2．解：作OC⊥AB于C，交⊙O于D，連接OB，如圖所示：則AB＝2BC，∠OCB＝90°，OB＝OD＝1m，CD＝0.2m，∴OC＝OD﹣CD＝0.8m，∴BC＝＝＝0.6（m），∴AB＝2AC＝1.2m，∴排水管道截面的水面寬度為1.2m，故選：C．3．解：連接OC，∵M是⊙O弦CD的中點，根據(jù)垂徑定理：EM⊥CD，設(shè)圓的半徑是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，所以圓的半徑長是．故選：D．4．解：如圖所示：過點O作OD⊥AB于點D，連接OA，∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝4cm，設(shè)OA＝rcm，則OD＝（r﹣2）cm，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5．∴該輸水管的半徑為5cm；故選：B．5．解：連接OA、OB，∵品牌嬰兒罐裝奶粉圓形桶口如圖所示，它的內(nèi)直徑（⊙O直徑）為10cm，弧AB的度數(shù)約為90°，∴OA＝OB＝5cm，∠BOA＝90°，∴陰影部分的面積S＝S扇形BOA﹣S△BOA＝﹣＝（π﹣）cm2，故選：A．6．解：①勒洛三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故①錯誤；②圖1中，點A到上任意一點的距離都相等，正確；③、設(shè)等邊三角形DEF的邊長為a，∴勒洛三角形的周長＝3×＝aπ，圓的周長＝aπ，∴勒洛三角形的周長與圓的周長相等，故③正確．④夾在平行線之間的萊洛三角形無論怎么滾動，平行線間的距離始終不變，使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運東西，不會發(fā)生上下抖動，故④錯誤，故選：B．7．解：連接OD，OA，∵CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，∴AD＝5寸，在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，即OA2＝（OA﹣1）2+52，解得：OA＝13，故圓的直徑為26寸，故選：D．8．解：如圖：作OE⊥AB于E，反向延長交CD于F，∵CD∥AB，∴EF⊥CD，∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，∴OE＝0.8m，∵水管水面上升了1.4m，∴OF＝1.4﹣0.8＝0.6m，∴CF＝＝＝0.8m，∴CD＝2CF＝1.6m，∴此時排水管水面寬為1.6m，故選：C．9．解：連接BO，由題意可得：AD＝BD＝4m，設(shè)⊙O的半徑OC＝xm，則DO＝（8﹣x）m，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5．故選：B．10．解：連接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，設(shè)圓O的半徑OA的長為x寸，則OC＝OD＝x寸，∵DE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化簡得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．故選：C．二．填空題（共5小題）11．解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圓心在直線DE上，設(shè)圓心為O，如圖，連結(jié)OB，設(shè)圓的半徑為R，則OE＝R﹣DE＝R﹣4，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝×16＝8，在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝82+（R﹣4）2，解得R＝10，即這個圓形工件的半徑是10．故答案為：1012．解：連接OA、如圖，設(shè)⊙O的半徑為R，∵CD為水深，即C點為弧AB的中點，CD⊥AB，∴CD必過圓心O，即點O、D、C共線，AD＝BD＝AB＝40，在Rt△OAD中，OA＝50，OD＝50﹣x，AD＝40，∵OD2+AD2＝OA2，∴（50﹣x）2+402＝502，解得x＝20，即水深CD約為為20．故答案為；2013．解：連接OA，∵AB＝8，OC⊥AB，∴AC＝AB＝4．∵OC＝3，∴OA＝＝＝5（dm）．故答案為：5．14．解：（1）如圖1所示，作AB，BD的中垂線，交點O就是圓心．連接OA、OB，∵OC⊥AB，OA＝OB∴O即為此圓形鏡子的圓心，∵AC＝1，OC＝2，∴OA＝＝＝．故這個鏡面的半徑是，故答案為；（2）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F，∴BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝125°；如圖所示；連接OE，OF．∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣60°﹣70°＝50°．∵AB是圓O的切線，∴∠OFA＝90°．同理∠OEA＝90°．∴∠A+∠EOF＝180°．∴∠EOF＝110°．∴∠EDF＝55°；故答案為：125°，55°；（3）如圖3，設(shè)O為等邊△ABC的內(nèi)心（也是等邊△AB的外心），連接OA、OC、OB，設(shè)AO交BC于D，則AD⊥BC，BD＝DC，即OB是△ABC外接圓的半徑，OD是△ABC內(nèi)切圓的半徑，∵BC＝4，∴BD＝DC＝2，∵O為等邊△ABC內(nèi)切圓的圓心，∴∠OBD＝∠ABC＝×60°＝30°，在Rt△OBD中，OD＝BD?tan30°＝2×＝；∴OB＝2OD＝，∴正三角形的內(nèi)切圓半徑是，外接圓半徑是．故答案為：，；（4）如圖4，連接AO，并延長與BC交于一點D，連接OC，∵BC＝4，⊙O的半徑為5，AB＝AC，∴CD＝2，∴AD⊥BC，∴由勾股定理得：OD＝＝，∴AD＝5+，∴△ABC的面積為BC×AD＝4×（5+）＝10+2，同理當BC在圓心O的上方時，三角形的高變?yōu)?﹣，∴△ABC的面積為BC×AD＝10﹣2．故答案為：10+2或10﹣2．15．解：連接OA，由題意得，OA＝2.5m，OD＝1.5m，∵CD⊥AB，∴AD＝＝2m，∴AB＝2AD＝4m，故答案為：4．三．解答題（共5小題）16．解：作弦AC的垂直平分線交直線CD于O點，以O(shè)為圓心OA長為半徑作圓O就是此殘片所在的圓，如圖．17．解：（1）如圖，連接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D為AB中點，∵AB＝12m，∴BD＝AB＝6m．又∵CD＝4m，設(shè)OB＝OC＝ON＝r，則OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．（2）∵CD＝4m，船艙頂部為長方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44（m2），∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．∴此貨船能順利通過這座拱橋．18．解：這輛卡車能通過廠門．理由如下：如圖M，N為卡車的寬度，過M，N作AB的垂線交半圓于C，D，過O作OE⊥CD，E為垂足，則CD＝MN＝1.6m，AB＝2m，由作法得，CE＝DE＝0.8m，又∵OC＝OA＝1m，在Rt△OCE中，OE＝＝＝0.6（m），∴CM＝2.3+0.6＝2.9m＞2.5m．所以這輛卡車能通過廠門．19．解：如圖，連接OC，∵M是弦CD的中點，EM過圓心O，∴EM⊥CD．∴CM＝MD．∵CD＝10，∴CM＝5．設(shè)OC＝x，則OM