計(jì)算聲學(xué)-數(shù)值計(jì)算中的誤差分析課件

計(jì)算聲學(xué)數(shù)值計(jì)算中的誤差分析水聲學(xué)主要研究聲波在水下的輻射、傳播與接收，用以解決與水下目標(biāo)探測(cè)和信息傳輸過程有關(guān)的各種聲學(xué)問題。聲波是目前在海洋中唯一能夠遠(yuǎn)距離傳播的能量輻射形式。因此作為信息載體的聲波，在海洋中所形成的聲場(chǎng)時(shí)空結(jié)構(gòu)，就成為近代水聲學(xué)的基本研究內(nèi)容，而提取海洋中聲場(chǎng)信息的結(jié)構(gòu)是我們用來進(jìn)行水下探測(cè)、識(shí)別、通信及環(huán)境監(jiān)測(cè)等的手段。前言前言海洋環(huán)境波動(dòng)方程：波動(dòng)方程是聲學(xué)量在聲場(chǎng)中滿足的基本關(guān)系式，反映了波動(dòng)特征，也是進(jìn)行聲場(chǎng)計(jì)算的基本關(guān)系式。在導(dǎo)出波動(dòng)方程前，為了使問題簡化，需要對(duì)介質(zhì)和聲波做一些假設(shè)：（1）介質(zhì)是均勻連續(xù)的，即在波長數(shù)量級(jí)距離內(nèi)，介質(zhì)的聲學(xué)性質(zhì)保持不變；（2）介質(zhì)是理想流體介質(zhì)，聲波在其中傳播時(shí)沒有能量損耗，即忽略介質(zhì)的粘滯性和熱傳導(dǎo)性；（3）研究小振幅波的傳播規(guī)律，所謂小振幅波是指各聲學(xué)量都是一級(jí)小量。波動(dòng)方程是描述波動(dòng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它由連續(xù)性方程、狀態(tài)方程和運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)得到。前言波動(dòng)方程：理想流體介質(zhì)中小振幅平面波的波動(dòng)方程為（沿軸向傳播）：小振幅聲壓在三維坐標(biāo)下的波動(dòng)方程為為拉普拉斯算符，在直角坐標(biāo)系中

前言海洋聲場(chǎng)的數(shù)值預(yù)報(bào)在建立了能夠反映海洋環(huán)境因素對(duì)聲場(chǎng)的制約關(guān)系的聲場(chǎng)物理模型（波動(dòng)方程+定解條件）的基礎(chǔ)上，根據(jù)可測(cè)海洋環(huán)境參數(shù)的測(cè)定值或預(yù)報(bào)值，編寫程序完成數(shù)值計(jì)算，給出相應(yīng)海洋環(huán)境條件下的有關(guān)場(chǎng)值。近年來，由于計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，數(shù)值計(jì)算聲場(chǎng)是一個(gè)快速發(fā)展的領(lǐng)域。海洋聲場(chǎng)的數(shù)值預(yù)報(bào)方法主要有射線算法、簡正波算法、拋物方程（PE）算法、快速場(chǎng)（FFP）算法等，各自有不同的適應(yīng)范圍。前言前言函數(shù)插值：已知一組不同深度處的聲速值，如何得到任意深度處的聲速值？

深度（m）0.050.0100.0200.0300.0400.0500.0800.0聲速(m/s)1510.51510.41505.81500.81496.01492.01488.11483.21000.01200.02000.03000.04000.01482.61482.41498.01516.61534.8前言前言數(shù)值積分：聲線軌跡計(jì)算聲線從深度傳播到深度所經(jīng)過的水平距離為前言問題：利用射線聲學(xué)模型對(duì)海洋聲場(chǎng)進(jìn)行求解

偽彩色圖前言前言三維環(huán)境下聲傳播前言三維海洋環(huán)境下特征聲線求解：為聲線的位置信息，需要求解，其它參數(shù)已知。前言三維海洋環(huán)境下特征聲線求解（線性方程組、非線性方程、非線性方程組）1.牛頓法迭代法：泰勒級(jí)數(shù)展開式的線性部分近似2.進(jìn)化算法：遺傳算法、模擬退化算法、粒子群算法等前言曲線擬合：已知目標(biāo)散射場(chǎng)指向性的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果如圖所示，如何比對(duì)其與理論計(jì)算結(jié)果的誤差？鋁球散射聲場(chǎng)指向性頻率kHz微分方程求解：隨機(jī)共振系統(tǒng)對(duì)微弱信號(hào)的檢測(cè)非線性雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)

利用四階龍格庫塔算法求解前言前言四階龍格庫塔算法前言前言前言前言必要性：

現(xiàn)代科學(xué)研究和高技術(shù)的發(fā)展越來越需要借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，水聲領(lǐng)域也不例外。講授的主要內(nèi)容：1、數(shù)值計(jì)算方法：誤差分析、方程組求解、非線性方程求解、插值法、最小二乘與曲線擬合、數(shù)值微積分、常微分方程求解；2、進(jìn)化算法（方程組求解）：量子粒子群算法；3、虛源法聲場(chǎng)建模。數(shù)值計(jì)算的對(duì)象、任務(wù)與特點(diǎn)對(duì)象：數(shù)值計(jì)算方法是研究科學(xué)與工程技術(shù)中數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解及其理論的一個(gè)分支，涉及代數(shù)、微積分、微分方程等的數(shù)值解問題。任務(wù)：研究適合在計(jì)算機(jī)上使用的數(shù)值計(jì)算方法及相關(guān)理論，如方法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差分析等；還要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)研究如何設(shè)計(jì)計(jì)算方法做到計(jì)算時(shí)間短、占用內(nèi)存小。學(xué)習(xí)目的：提高應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的能力。

數(shù)值計(jì)算的對(duì)象、任務(wù)與特點(diǎn)數(shù)值計(jì)算流程：特點(diǎn)：

既具有數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)格性，又具有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)際實(shí)驗(yàn)的技術(shù)性，是一門與計(jì)算機(jī)緊密結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的有著自身研究方法與理論體系的計(jì)算數(shù)學(xué)課程。數(shù)值計(jì)算中的誤差分析內(nèi)容提要：掌握絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字、數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)以及設(shè)計(jì)算法的原則。重點(diǎn)內(nèi)容：絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字的概念，數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)。誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)一、誤差的來源與分類將一個(gè)數(shù)的準(zhǔn)確值與其近似值之差稱為誤差。1.分類

過失誤差：人為造成，可以避免

非過失誤差：

無法避免，分析產(chǎn)生原因，限制在許可范圍之內(nèi)§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)2.誤差來源（非過失誤差）模型誤差：數(shù)學(xué)模型是通過對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象和簡化建立的，是一種近似描述。觀測(cè)誤差：測(cè)量工具精度與測(cè)量手段的限制。舍入誤差：計(jì)算機(jī)位數(shù)的限制，由于計(jì)算機(jī)的字長是有限的，對(duì)參與計(jì)算的數(shù)據(jù)和最后得到的計(jì)算結(jié)果，都必然用有限位小數(shù)代替無窮位小數(shù)?！?誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)截?cái)嗾`差：由數(shù)值方法求得的數(shù)學(xué)問題的近似解與數(shù)學(xué)模型的精確解之間的誤差，是數(shù)值計(jì)算方法固有的。取部分和作近似截?cái)嗾`差：絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差：

設(shè)某一量的精確值為，其近似值為，則稱為近似值的絕對(duì)誤差，簡稱誤差。 時(shí)稱為弱近似值或虧近似值； 時(shí)稱為強(qiáng)近似值或盈近似值。絕對(duì)誤差限：如果存在，使得，則稱為近似值的絕對(duì)誤差限，簡稱誤差限或精度（測(cè)量時(shí)，測(cè)量工具最小刻度的一半）。越小，表示近似值的精度越高。在工程技術(shù)上常用表示近似值的精度或精確值的范圍?！?誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)例：用毫米刻度的尺子測(cè)得桌子長度近似值為mm，由尺子的精度可以知道，近似值的誤差不超過0.5mm，即

表明精確值在區(qū)間內(nèi)，可以寫成絕對(duì)誤差限mm，即絕對(duì)誤差限是末位的半個(gè)單位。相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與精確值之比，即稱為近似值的相對(duì)誤差。實(shí)際中，由于精確值一般無法知道，所以常取作為近似值的相對(duì)誤差。相對(duì)誤差限：若存在，使得，則稱為近似值的相對(duì)誤差限。注意：絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限與有相同的量綱，相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限是無量綱的，工程中常以百分?jǐn)?shù)來表示?！?誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)例1.1國際大地測(cè)量學(xué)會(huì)建議光速采用其含義是絕對(duì)誤差限為多少？而其相對(duì)誤差限為多少？§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)絕對(duì)誤差限：近似值：相對(duì)誤差限：有效數(shù)字如果近似值的絕對(duì)誤差限是某一位的半個(gè)單位，就稱其“準(zhǔn)確”到這一位，且從該位開始直到的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱近似數(shù)有n位有效數(shù)字。有效數(shù)字既能表示近似值的大小，又能表示其精確程度（絕對(duì)誤差限）。例1.2 設(shè)，其近似值，問有幾位有效數(shù)字？如果，有幾位有效數(shù)字？§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)練習(xí)題1.指出如下有效數(shù)的絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差限和有效數(shù)字位數(shù)。

2.將22/7作為的近似值，它有幾位有效數(shù)字？絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限各為多少？§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)有效數(shù)字

設(shè)的近似值可以寫成如下的標(biāo)準(zhǔn)形式

所以當(dāng)其絕對(duì)誤差限滿足時(shí)，稱近似值具有位有效數(shù)字?！?誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)結(jié)論：如果

，有位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為反之，如果的相對(duì)誤差限滿足則至少有位有效數(shù)字。§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)例1.3

要使的近似值的相對(duì)誤差小于，至少需取幾位有效數(shù)字？誤差的傳播與估計(jì)實(shí)際的數(shù)值計(jì)算中，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)往往都是近似值，帶有誤差。而在進(jìn)一步運(yùn)算中都會(huì)產(chǎn)生舍入誤差或截?cái)嗾`差，這些誤差在運(yùn)算過程中會(huì)進(jìn)行傳播，影響計(jì)算結(jié)果?！?誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)一元函數(shù)的泰勒（Taylor）中值定理：如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù)，，則有其中，拉格朗日型余項(xiàng)（介于之間）。

§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)泰勒（Taylor）公式估計(jì)誤差的方法：以二元函數(shù)為例，設(shè)和分別是和的近似值，是函數(shù)值的近似值。函數(shù)在點(diǎn)處的Taylor展開式為§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)式中一般都是小量值，如果忽略它們的高階無窮小量，則上式簡化為因此的絕對(duì)誤差為§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)系數(shù)分別是一階偏導(dǎo)數(shù)在處的值，稱為對(duì)的絕對(duì)誤差的增長因子，分別表示絕對(duì)誤差經(jīng)過傳播后增大或縮小的倍數(shù)?！?誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)的相對(duì)誤差

分別是對(duì)的相對(duì)誤差的增長因子，表示相對(duì)誤差經(jīng)過傳播后增大或減小的倍數(shù)。

由此可以得到兩近似數(shù)的和、差、積、商的誤差估計(jì)（絕對(duì)誤差）為§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)例1.4經(jīng)過四舍五入得到，，問他們分別具有幾位有效數(shù)字？，，，的絕對(duì)誤差限分別是多少？§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)解：記和的精確值分別是和，則分別具有5位有效數(shù)字§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)例1.5

測(cè)得某電阻兩端的電壓和流過的電流分別為伏、安，求電阻的阻值，并求及。

§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)解：有，已知伏，安，得歐的絕對(duì)誤差：由于，，所以從而的相對(duì)誤差例1.6設(shè)，，都精確到2位小數(shù)，估計(jì)的相對(duì)誤差。§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)解：所以在由誤差估計(jì)式得出絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限的估計(jì)時(shí)，由于取了絕對(duì)值并用三角不等式放大，是按照最壞情形得出的，所以結(jié)果是保守的。 一般來說，為了保證計(jì)算結(jié)果的精確度，在計(jì)算過程中，比結(jié)果中所要求的有效數(shù)字位數(shù)多取1位或2位就可以了?！?誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)計(jì)算機(jī)只能對(duì)有限位數(shù)進(jìn)行計(jì)算，從而在運(yùn)算中產(chǎn)生誤差是不可避免的。許多實(shí)際問題的求解往往需要進(jìn)行成千上萬次的數(shù)值計(jì)算，為了保證計(jì)算結(jié)果的可靠性，必須防止誤差的產(chǎn)生、傳播與擴(kuò)大。一個(gè)好的算法應(yīng)該是計(jì)算量小、精度高，算法穩(wěn)定，在計(jì)算過程中占用計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)單元和工作單元少。§3選用和設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循的原則§3選用和設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循的原則選擇算法應(yīng)遵循的原則：1.算法是否穩(wěn)定；2.算法的邏輯結(jié)構(gòu)是否簡單；3.算法的運(yùn)算次數(shù)和算法的存儲(chǔ)量是否盡量少。減少運(yùn)算誤差的幾項(xiàng)措施：1.選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式，控制舍入誤差的傳播；在數(shù)值計(jì)算中，對(duì)于某一問題選用不同的算法，所得到的結(jié)果往往不同，有時(shí)甚至大不相同。這主要是由于初始數(shù)據(jù)的誤差或計(jì)算時(shí)的舍入誤差在計(jì)算過程中的傳播因算法的不同而異。對(duì)某一算法，如果初始數(shù)據(jù)的誤差或舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響較小，則稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定的；否則，稱為數(shù)值不穩(wěn)定算法。

§3選用和設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循的原則例1.7計(jì)算積分解：由算法一

將代入遞推公式分別計(jì)算，由于§3選用和設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循的原則所以，因此算法一誤差過大，原因是的近似值所產(chǎn)生的誤差每計(jì)算一次放大10倍，誤差隨n的增大迅速遞增算法二

由后項(xiàng)遞推前項(xiàng)，中的誤差傳遞到時(shí)下降為原來的1/10。由于令