第 8 講 (學(xué)生2份) 正方形的性質(zhì)及判定

第8講正方形的性質(zhì)及判定重、難點(diǎn)重點(diǎn)：知曉正方形的性質(zhì)和正方形的判定方法。難點(diǎn)：正方形知識(shí)的靈活應(yīng)用知點(diǎn)1．正方形的定義：有一組鄰邊等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．2．正方形的性質(zhì)正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性質(zhì)：①邊性質(zhì)：對(duì)邊平行，四條邊都相等．②角性質(zhì)：四個(gè)角都是直角．③對(duì)線性質(zhì)：兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等?條對(duì)角線平分一組對(duì)角．④對(duì)性：正方形是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形．

平四形正矩方菱形平行四邊形、矩形、菱形和正方形的關(guān)系）3．正方形的判定判定①：有一組鄰邊相等的矩形是正方形．判定②：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．例精一正形性【鋪墊】正方形有條稱軸．例1、⑴已知正方形BDEF的長是正方形ABCD的對(duì)角線，則S:正方正方⑵如圖，已知正方形ABCD的面積為，F(xiàn)在CD上點(diǎn)在的長線上，且AF，則BE的長為AE

DFC（圖正形ABCD中E為AB邊中點(diǎn)，分別為AD，BC邊上的點(diǎn)BF，則GF的為．例2如圖方形ABCD的長為圓心長為半徑畫弧交對(duì)角線BD于E接，P是上任意一點(diǎn)，于M，BDN，則PMPN的值為1

D

M

練習(xí)1、如圖所示，正方形ABCD對(duì)線AC與BD交于，MN∥，且分別與、交于M、N．試探討B(tài)M與CN之的關(guān)系，寫出你所得的結(jié)論的證明過程．

COM

N

例3、已知正方形ABCD，AD、上別取、F兩，∶2∶，證：等腰直角三角形．EHDF例1、

例4圖知EF別是正方形ABCD的CD上的點(diǎn)，AE、AF分與對(duì)角線BD相于M、，50CMECNF

．D

FN

CEMA例5、☆如圖，四邊形ABCD為方形，以為向正方形外作正三角形，與相交于點(diǎn)，則AFD2

ABCD4BEMEABCD4BEME3D

例6圖方形ABCD中的延長線上取點(diǎn)EFECE于，G．求證：GHD是腰三角形．

FCDF結(jié)BF分交CD，

D

FH

練習(xí)2方頂點(diǎn)引∥BD

BE與AD延長線的交點(diǎn)為證DFDE．

DFG例7如所示在方形ABCD中、AN是內(nèi)兩條射線，BKAK，BLAN，DMAK，AN，求證KL，KLD

A練習(xí)3、☆知：如圖，在正方形BCD中是CD上點(diǎn)，延長BC到，CCG，連接BG并長交于F（）證：

≌DCE

；（）DCE繞D時(shí)針旋轉(zhuǎn)90DAE四形是么特殊四邊形？并說明理由．AE

DG

FB

C

E例8、若正方形的長為，為邊一點(diǎn)，，

為線段

AE

上一點(diǎn)，射線

BM

交正方3

FBFAEFBFAE形的一邊于點(diǎn)，且，則的為．例9、如圖1，在方形ABCD中、F、、分為邊AB、BC、、DA上點(diǎn)，HAEBFC，連接EG、FH，交點(diǎn)為．⑴如2，連接EFFGGH，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；⑵將方形ABCD沿線段EG、HF剪，再把得到的四個(gè)四邊形按圖的方拼接成一個(gè)四邊形．若正方形的邊長為，HAFC1cm則圖3陰影部分的面積為_________．DGC

DF

FH

O

H

圖

B

圖

B

圖練習(xí)4如正形ABCD對(duì)線相交于點(diǎn)點(diǎn)別是BC、CD上的點(diǎn)，AQ求）OQ.O

QPC例10、如圖，正方形中F是邊上兩點(diǎn)，且AEFCDGEF于G，求證：DGDA

D

F

C練習(xí)5、如圖，點(diǎn)N分別在正方形ABCD的邊BCCD上已知的周長等于正方形ABCD周的半，求的數(shù)D

MB6、如圖，設(shè)EF∥正方形ABCD的角線AC，延長線上取一點(diǎn)，AGAD，EG與DF交，證：AH形的邊長．4

ADEHBFC例11把方形繞著點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFGFG與交點(diǎn)H如圖問線段與段相等嗎？請(qǐng)先觀察猜，然后再證明你的猜想．D

G

CHA

BE

F練習(xí)7、如圖所示，在直角梯形BCD中ADBC，ADC90是AD的直平分線交AD于點(diǎn)以腰為作正方形，l于，證2EP2CD.l

M

D

F二、正形判例1、四邊形ABCD的個(gè)內(nèi)角的平分線兩兩相交又形成一個(gè)四邊形EFGH，證：⑴四邊形對(duì)互補(bǔ)；⑵若四邊形為平行四邊形，則四邊形為形．⑶四邊形ABCD為方形，四邊形為方形．AB

GH

FE

D練習(xí)

1如已平行四邊形ABCD中對(duì)線、BD交于點(diǎn)O，是BD長線上的點(diǎn)且ACE是等邊三角形．⑴求：四邊形是菱形；⑵若，求證：四邊形ABCD是方．5

DO

例2圖是形ABCD邊的中點(diǎn)AB是邊一動(dòng)點(diǎn)MCBM，垂足分別為E、F，點(diǎn)運(yùn)到什么位置時(shí)，四邊PEMF為方形．A

M

DF

EB

P

C例3、☆如圖，是長為1正方形，EFGH是內(nèi)接于ABCD的正方形，AEa，S

則b=EFGH3A

E

DFB

HC練習(xí)2、如圖，A在段上ABCD和DEFG都正方形，面積分別為

和1cm

，則的面積為EC

DFB

G3、☆如圖，在正方形ABCD中點(diǎn)P為正方形內(nèi)的兩點(diǎn)，且PBPBABCBPPBP，則6

D

C例4、如圖，若在平行四邊形各上向平行四邊形的外側(cè)作正方形，證：以四個(gè)正方形中心為頂點(diǎn)組成一個(gè)正方形．EN

D

CA

B

QPM例5、已知：PA2，，AB為一邊作正方形，使、D兩點(diǎn)在直線的側(cè)（）圖，當(dāng)∠°，及的長；（）∠變，且其它條件不變時(shí)，求的大值，及相應(yīng)∠APB的大小D

FCAP練習(xí)1.如，正方形中，是對(duì)角BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)OF，分別交AB于，若，OF

D2.如圖所示，ABCD是方形，E