差分方程模型理論與方法

..差分方程模型的理論和方法規(guī)律。通過建立一個(gè)或幾個(gè)離散變量取值所滿足的平衡關(guān)系，從而建分方程就是針對(duì)要解決的目標(biāo)，引入系統(tǒng)或過程中的離散變量，根據(jù)實(shí)際背景的規(guī)律、性質(zhì)、平衡關(guān)系，建立離散變量所滿足的平衡關(guān)系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特別性質(zhì)(平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動(dòng)性、周期性等)，從而把握這個(gè)離散變量的變化過程的規(guī)律，進(jìn)一步再結(jié)合可以用離散變量來近似和逼近，從而微分方程模型就可以近似于某個(gè)差分方程模型。差分方程模型有著非常廣泛的實(shí)際背景。在經(jīng)濟(jì)金融保險(xiǎn)領(lǐng)域、生物種群的數(shù)量結(jié)構(gòu)規(guī)律分析、疾病和病蟲害的控制與防治、遺傳規(guī)律的研究等許許多多的方面都有著非常重要的作用?？梢赃@樣講，只要牽涉到關(guān)于變量的規(guī)律、性質(zhì)，就可以適當(dāng)?shù)赜貌罘址交^程進(jìn)行劃分，劃分成若干時(shí)段，根據(jù)要解決問題的目標(biāo)，對(duì)每個(gè)時(shí)段引入相應(yīng)的變量或向量，然后通過適當(dāng)假設(shè)，根據(jù)事物系統(tǒng)的實(shí)際變化規(guī)律和數(shù)量相互關(guān)系，建立每?jī)蓚€(gè)相鄰時(shí)段或幾個(gè)相鄰時(shí)段或者相隔某幾個(gè)時(shí)段的量之間的變化規(guī)律和運(yùn)算關(guān)系(即用相應(yīng)設(shè)定的變量進(jìn)行四則運(yùn)算或基本初等函數(shù)運(yùn)算或取最運(yùn)算等)等式(可以多個(gè)并且應(yīng)當(dāng)充分全面反映所有可能的關(guān)系)，從而建立起差分方程。或者對(duì)事物系統(tǒng)進(jìn)行劃分，劃分成若干子系統(tǒng)，在每個(gè)子系統(tǒng)中引入從而建立起差分方程。在這里，過程時(shí)段或子系統(tǒng)的劃分方式是非常非常重要的，應(yīng)當(dāng)結(jié)合已有的信息和分析條件，從多種可選方式中挑.....選易于分析、針對(duì)性強(qiáng)的劃分，同時(shí)，對(duì)劃分后的時(shí)段或子過程，引入哪些變量或向量都是至關(guān)重要的，要仔細(xì)分析、選擇，盡量擴(kuò)大對(duì)過程或系統(tǒng)的數(shù)量感知圍，包括對(duì)已有的、已知的若干量進(jìn)行結(jié)合運(yùn)算、取最運(yùn)算等處理方式，目的是建立起簡(jiǎn)潔、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我們所舉的實(shí)際例子中，這方面的容應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)體分方程模型作為一種重要的數(shù)學(xué)模型，對(duì)它的應(yīng)用也應(yīng)當(dāng)遵從一般的數(shù)學(xué)建模的理論與方法原則。同時(shí)注意與其它數(shù)學(xué)模型方法結(jié)合起來使用，因?yàn)橐环矫娼⒉罘址匠棠Ｐ退玫臄?shù)量、等式關(guān)系的建立都需要其他的數(shù)學(xué)分析方式來進(jìn)行；另一方面，由差分方程獲得的結(jié)果有可以進(jìn)一步進(jìn)行優(yōu)化分析、滿意度分析、分類分析、相關(guān)第一節(jié)差分方程的基本知識(shí)設(shè)數(shù)列x}，定義差分算子:x=xx為x在n處的nnn+1nn向前差分。而x=xx為x在n處的向后差分。nnn1n以后我們都是指向前差分。nnnn稱之為在n處的二階差分，它反映的是的增量的增kx=(k1(x))nn2、差分算子、不變算子、平移算子nn+1nn則有：x=ExIx=(EI)xnnnnkx=(EI)kx=k(1)kiCiEix=k(1)kiCixnnknkn+ii=0i=0 .....nnn由x=xx得x=x+x：2x=x2x+x，得：2x=x2x+x，得：x=2x+x+2x,nn+2n+1nn+2n+1nn這個(gè)關(guān)系表明：第n+2項(xiàng)可以用前兩項(xiàng)以及相鄰三項(xiàng)增量的增量來表現(xiàn)和計(jì)算。即一個(gè)數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以用其前面的k項(xiàng)和包括kx=(1)kiCix+x,得：nkn+in+ki=0x=(1)kiCix+kxn+kkn+in(2)i=(2)x可以由x,x,...,kx的線性組合表示出來n+knnnnkx=f(n,x,x,...,k1x)nnnn (3)由(1)式可知(3)式可化為n+knn+1n+k1 (4)故(4)也稱為k階差分方程(反映的是未知數(shù)列x任意一項(xiàng)nn由(1)和(2)可知，(3)和(4)是等價(jià)的。我們經(jīng)常用的差分方程的形式是(4)式。 (1)如果x使k階差分方程(4)對(duì)所有的n成立，則稱xnn為方程(4)的解。(2)如果x=(為常數(shù))是(4)的解，即n.....則稱x=為(4)的平衡解或叫平衡點(diǎn)。平衡解可能n不只一個(gè)。平衡解的基本意義是：設(shè)x是(4)的解，考nn慮x的變化性態(tài)，其中之一是極限狀況，如果nnlimx=x，則方程(4)兩邊取極限(x就存在在這里nn)n)w)，應(yīng)當(dāng)有=F(n,,...,)(3)如果(4)的解x使得x-既不是最終正的，也不是最終nnn(4)如果令：y=x-，則方程(4)會(huì)變成nny=G(n,y,...,y)n+knn+k-1 (5)則y=0成為(5)的平衡點(diǎn)。(5)如果(5)的所有解是關(guān)于y=0振動(dòng)的，則稱k階差分方程(5)是振動(dòng)方程。如果(5)的所有解是關(guān)于y=0非振動(dòng)的，則稱k階差分方程(5)是非振動(dòng)方程。 (6)如果(5)有解y，使得對(duì)任意大的N有Supy>0nyn則稱y則稱y為正則解。(即不會(huì)從某項(xiàng)后全為零y)n(7)如果方程(4)的解x使得Limx=，則稱x為穩(wěn)定解。n)wnnn)wnnnnnn+1n nnn+1nnnixn00n0i=0解法與性質(zhì)分析.....0n+k1n+k_10n+k1n+k_1kn01kaxaxax9)為方程(8)對(duì)應(yīng)的齊次方程。0n+k1n+k_1k為方程(8)對(duì)應(yīng)的齊次方程。n01k_1k稱方程(10)為方程(8)、(9)的特征方程。 顯然，如果能求出(10)的根，則可以得到(9)的解。(1)若(10)有k個(gè)不同的實(shí)根，則(9)有通解：n1122kk (2)若(10)有m重根入，則通解中有構(gòu)成項(xiàng)：12mba12mm+1m+22m綜上所述，由于方程(10)恰有k個(gè)根，從而構(gòu)成方程(9)的通解中必有k個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)。通解可記為：_xn如果能得到方程(8)的一個(gè)特解：x*，則(8)必有通n(11)(8)x=_x+x*nnn........bmm根時(shí)，可設(shè)成形如bnq(n)形式的特解，其中q(n)為m次多項(xiàng)式；如果m例1設(shè)差分方程x+3x+2x=0,x=0,x=1，求x12xcnc(2)n為方程的解。n12由條件x=0,x=1得：x=(1)n(2)n設(shè)z(n設(shè)z(n)=(xn)，A=(ab)，形成向量方程組ycdycd(12)z(13)(13)即為(12)的解。為了具體求出解(13)，需要求出An，這可以用高等代數(shù)的AA可相似于對(duì)角矩陣，對(duì)角(2)將A分解成A=n/,,,n為列向量，則有A過討論A的特征值的性態(tài)，找出An的在構(gòu)造規(guī)律，進(jìn)而分析解z(n)的變化規(guī)律，獲得它的基(1)k階常系數(shù)線性差分方程(8)的解穩(wěn)定的充分必要條件是它對(duì)應(yīng)的特征方程(10)所有的特征根入,i=1,2...k滿足入<1ii (2)一階非線性差分方程x=f(x)n+1n (14)..(14)的平衡點(diǎn)由方程=f()決定，將f(x)在點(diǎn)處展開為泰勒形式：nf(x)=f/()(x一)+f()nnn故有：f/()1時(shí)，(14)的解是穩(wěn)定的，f/()>1時(shí)，方程(14)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。模方法的思想與與一般數(shù)學(xué)建模的思想是一致的，也需要經(jīng)歷背景分析、確定目標(biāo)、預(yù)想結(jié)果、引入必要的數(shù)值表示(變量、常量、函數(shù)、積分、導(dǎo)數(shù)、差分、取最等)概念和記號(hào)、幾何形式(事物形狀、過程軌跡、坐標(biāo)系統(tǒng)等)，也就是說要把事物的性態(tài)、結(jié)構(gòu)、過程、成分等用數(shù)學(xué)概念、原理、方法來表現(xiàn)、分析、求解。當(dāng)然，由于差分方程的特殊性，首先應(yīng)當(dāng)把系統(tǒng)或過程進(jìn)行特別分解，形成表現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的各個(gè)部分的離散取值形式，或形成變化運(yùn)動(dòng)過程的時(shí)間或距離的分化而得到離散變量。然后通過在的機(jī)理分析，找出變量所能滿足的平衡關(guān)系、增量或減量關(guān)系及規(guī)律，從而得。另外，有時(shí)有可能通過多個(gè)離散變量的關(guān)系得到我們關(guān)心的變量的關(guān)系，這實(shí)際上建立的是離散向量方程，它態(tài)學(xué)中，考慮像蠶、蟬這種類型的昆蟲數(shù)目律是：每年夏季這種昆蟲成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個(gè)蟲卵孵化成一個(gè)蟲子。建立數(shù)學(xué)模型來.....n每年一個(gè)成蟲平均產(chǎn)卵c個(gè)(這個(gè)假設(shè)有點(diǎn)粗糙，應(yīng)當(dāng)考慮更具體的產(chǎn)卵分布狀況)，則有：P=cP，這是一種簡(jiǎn)單模分析，由于成蟲之間會(huì)有爭(zhēng)斗以及傳染主要原因是蟲子之間的兩兩爭(zhēng)斗，由于蟲子配對(duì)數(shù)為1p(p_1)如1p2，故減少數(shù)應(yīng)當(dāng)與它成正比，從而有：2nn2nnnn即(14)式來獲得。慮其它的影響成蟲孵卵及成活的因素的定量關(guān)系，這個(gè)模型在此基礎(chǔ)上仍可進(jìn)一步改進(jìn)，更加符合實(shí)際情形。這種關(guān)系一方面可以通過機(jī)理分析，確定減少量與影響因素的定量關(guān)系，另一方面也可以用統(tǒng)計(jì)的方法來線性估計(jì)影響程度?；蛘哌€可以用影響曲線的方法來直觀表現(xiàn)影響的比例關(guān)建立差分方程描述振動(dòng)臺(tái)上的乒乓球垂直運(yùn)動(dòng)的方程，即振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面的上下位移是_bsint，乒乓球初始時(shí)刻在離臺(tái)面j撞時(shí)刻，第j次碰撞前的速度為_u(t)，碰撞后的速度為jv(t)。假設(shè)u(t)=v(t)。振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)速度為jj+1jdtg2v(t)2vt_t=j+1，：(t_t)=j，j+1jgj+1jgj+1jj (3.1).....v(t)=a(u+(t))j+1j+1j+1j+1該式經(jīng)簡(jiǎn)化處理后可得：v=avcos(0+v)j+1jjj (3.2)由(1)和(2)式聯(lián)立可得二階差分非線性方程組00=vj+1jjv=avcos(0+v)j+1jjj模型3蛛網(wǎng)模型(1)經(jīng)濟(jì)背景與問題：在自由市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，有些商品的生產(chǎn)、銷銷售價(jià)格、產(chǎn)量、銷售量在一定時(shí)期是穩(wěn)定的，因而整個(gè)某個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)期這些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)表現(xiàn)為離散變量的形式。在這些因素中，我們更關(guān)心的是商品的銷售價(jià)格與生產(chǎn)產(chǎn)量這兩個(gè)取得良好的經(jīng)濟(jì)效益，就必須把握好這兩個(gè)因素的規(guī)律，作好計(jì)劃。試分析市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中經(jīng)營(yíng)者根據(jù)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的規(guī)律，如(2)模型假設(shè)與模型建立nn由于價(jià)格與產(chǎn)量緊密相關(guān)，因此可以用一個(gè)確定的關(guān)系來表(3.3)y=f(x)nn又假設(shè)下一期的產(chǎn)量x是決策者根據(jù)這期的價(jià)格n+1決定的，即：設(shè)x=h(y)，hn+1n+1n從而，有關(guān)系：y=g(x)nn+1 (3.4)g也是單調(diào)增加的對(duì)應(yīng)關(guān)系.x=h[f(x)]n+1n ........ y=f[h(y)]n+1n (3)模型的幾何表現(xiàn)與分析。為了表現(xiàn)出兩個(gè)變量x和y的變化過程，我們可以借助已nn有的函數(shù)f和g,通過對(duì)應(yīng)關(guān)系的幾何表現(xiàn)把點(diǎn)列(x,y)，和(x(x,y)在坐標(biāo)系中描繪出來，進(jìn)而分析它們的變化規(guī)律、趨勢(shì)、n+1n找穩(wěn)定點(diǎn)等等。其中(x,y)=(x,f(x),(x,y)=(x,g(x)nnnnn+1nn+1n+1p(x,yp(x,y),p(x,y),p(x,y),p(x,y)..........111221333443連接起來，就會(huì)形成象蛛網(wǎng)一樣的折線，這個(gè)圖形被稱作為蛛網(wǎng)模ffgpxP1O量)，也就是通過直觀、幾何形式，把我們關(guān)心的變量的所有可能取值表示出來。這里采用的方法是，引入兩條曲線，因?yàn)樵谇€上如果知道了一個(gè)分量，就可以作出另一個(gè)分量?？梢妿缀涡问奖硎疽滓姡喝绻c(diǎn)列p(x,y),p(x,y),p(x,y),p(x,y)..........最111221333443后收斂于點(diǎn)p，則xx,yy，并且p就是兩條曲線的交點(diǎn)，0n0n00從而穩(wěn)定的。這也表明，市場(chǎng)在長(zhǎng)期運(yùn)行之后會(huì)保持一種穩(wěn)定的狀..態(tài)。要想進(jìn)一步發(fā)展就必須打破這種平幾何上的進(jìn)一步分析表明，如果曲線y=f(x),和y=g(x)在交點(diǎn)0fgfg0kk時(shí)，p是不穩(wěn)定的。fg0(4)模型的差分方程分析設(shè)點(diǎn)p(x,y)滿足：y=f(x),x=h(y)，0000000在p點(diǎn)附近取函數(shù)f(x),h(x)的一階近似：0這是關(guān)于xn0n0x=x+b(yy),b>0,......................................(3.8)n+10n0n+1nn模型。作為數(shù)學(xué)模型，本來就是客觀實(shí)際問題的近似模擬，現(xiàn)在為了處理方便，適當(dāng)取用其近似形式是合理的。0方程(3.9)遞推可得：1為g(x)在p點(diǎn)處切線b0所以，p點(diǎn)穩(wěn)定的充要條件是：ab<1,即：a<10b(4)模型推廣如果決策時(shí)考慮到x與y,y都有關(guān)系，則可假設(shè)n+1nn+1n+12y=f(x)nnx=g().n+12對(duì)此模型仍用線性近似關(guān)系可得：首先求出平衡點(diǎn)，即解方程y=f(x)0...n+10n+1020n00n100..再結(jié)合(3.7)可得：x=g().=g(y)020xx=g(y)+(y+y2y)n+102nn10：xx=b(y+y2y)n+102nn+10xx=(y(xx)+y(xx)2y)：2x+bx+bx=(1+b)xn+1n1n102xn+2+bxn+1+bxn=(1+b)x0 (3.12)b+(b)28b1,244模型解的穩(wěn)定性條件放寬了。說明決來看，對(duì)這個(gè)模型還可以進(jìn)行進(jìn)一步的分析：考時(shí)，還可以近三年的價(jià)格來決定，例如：設(shè)x=h()，；另外還可以考慮引入投資額z，并建立n+13n及特性可以用偏微分方程的理論形式來表現(xiàn)和模擬。但在實(shí)際應(yīng)用中不是很方便，需要建立離散化的模型，以便于分析、應(yīng)用。人口數(shù)量的變化取決于諸...個(gè)問題分析、表現(xiàn)的目標(biāo)和載體，我個(gè)問題分析、表現(xiàn)的目標(biāo)和載體，我i=i1..別比、人口基數(shù)等。試建(1)設(shè)這個(gè)地區(qū)最大年齡為m歲i (3)設(shè)第t年為i歲的人口平均死亡率為d(t)，即這一年中i歲人口中死亡數(shù)與基數(shù)之比：d(t)=ix(t)iibtiiktti歲人口的女性比i12i (占全部i歲人口數(shù))f(t)=i2b(t)k(t)x(t)iii(5)記第t年嬰兒的死亡率為d(t)，則x(t)=(1d(t))f(t)0000(6)設(shè)h(t)=b(t)i=b(t)i，它表示i歲女性總生育率，ii2b(t)b(t)i則b(t則b(t)=b(t)h(t)，如果假設(shè)t年后女性出生率保持不變，則iib(t)=b(t)+b(t)+...+b(t)ii+1i1=b(t)1+b(t+1)...+b(t+ii)ii+1i21稱之為總和生育率。它反映了人口變化的基本因素。.....t100dtdtft)000=(1-d(t))(1-d(t))xi2b(t)k(t)x(t)000iiii=i1=(1-d(t))(1-d(t))b(t)xi2h(t)k(t)x(t)000iiii=i1iii=i121mm-1m-1令x(t)=[x(t),x(t),...,x(t)]/12m|||||||||L010020000m-1|||||B(t)=|000...0...0|則此向量x(tx(t)都是線性的，故稱其為雙線性方程。.....只要總生育率b(t)確定下來，則人口的變化規(guī)律就可以確定下來。為了更全面地反映人口的有關(guān)信息，下面再引入一些重要的指ii=0 (2)人口平均年齡：R(t)=1mi.x(t)N(t)ii=0ij=0i=0果以后每年的死亡率是不變的，即：d(t)=d(t+1)=...ii+1ii=0ii=0通過求出x(t)的變化規(guī)律，就可以對(duì)上面引入的3個(gè)指標(biāo)進(jìn)行更具體的分析，從而對(duì)人口的分布狀況、變化趨勢(shì)、總體特征等有科i=0段的財(cái)富依賴于許多因素，不同要的方面。建立數(shù)學(xué)模型，表現(xiàn)國(guó)家財(cái)富的變化i。并且假i.....：國(guó)家間的財(cái)富關(guān)系應(yīng)當(dāng)滿足1121n1221232n-1n-1n-2n-1nn-1nn1nn-1n12n令A(yù)|........|n=|.........|nnnttn.....nnksinknnnnn其中mnnnnnnnnnnnnn0(0)(0(0)(n)...(k)(nk)...(2)(2)4kknnnn由此式進(jìn)一步分析可以獲得：當(dāng)t時(shí)，u(t)的漸進(jìn)變化狀態(tài)規(guī)律n金融問題的差分方程模型.....r今采用月還款的方式逐月償還，建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算每月的還模型分析：在整個(gè)還款過程中，每月還款數(shù)是固定的，而待還款數(shù)是變化的，找出這個(gè)變量的變化規(guī)律是解決問題的關(guān)模型假設(shè)：設(shè)貸款后第k個(gè)月后的欠款數(shù)是A元，月還款k為m元，月貸款利息為r=r1。kA+rA=A+m，kkk+1k+1k (3.15)024模型求解：令B=A一A，則B=B(1+r)=B(1+r)k一1kkkkk1Bk012k010r這就是差分方程(3.15)的解。把已知數(shù)據(jù)A,r代入A=0中，可以求出月還款額m。例如：012n0模型的進(jìn)一步拓廣分析：拓廣分析包括條件的改變、目標(biāo)的kr當(dāng)A=m時(shí)，總有A=m，即表明：每月只還上了利息。0rkr只有當(dāng)Am時(shí)，欠款余額逐步減少，并最終還上貸款。0r公司將提供不同的保險(xiǎn)方案供以選擇，分析保險(xiǎn)品種的實(shí)際投資價(jià)值。也就是說，分析如果已知所交保費(fèi)和保險(xiǎn)收入，按年或按.....，保險(xiǎn)公司需要用你的保責(zé)任，每月至少應(yīng)有多少投資收益率？這也就是投保人的實(shí)際模型假設(shè)：這應(yīng)當(dāng)是一個(gè)過程分析模型問題。過程的件一定時(shí)是確定的。整個(gè)過程可以按月進(jìn)行