六校高一年級第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第第頁2022-2023學(xué)年第二學(xué)期六校聯(lián)合體第二次聯(lián)合調(diào)研高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，3)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－1，－1)，則2eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＝()A．(－5，－7) B．(－5，7) C．(5，7) D．(5，－7)2．若i(z－1)＝1，i是虛數(shù)單位，eq\o(\s\up11(_),z)是z的共軛復(fù)數(shù)，則eq\o(\s\up11(_),z)＋z＝()A．2 B．1 C．－1 D．－23．下列說法中正確的是()A．若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點．B．若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則直線l與平面α平行．C．若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行．D．若兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行．4．已知角α，β滿足tanα＝－2，tan(α＋β)＝1，則tanβ＝()A．－eq\f(1,3) B．1 C．－3 D．35．已知m，n，l為不重合的直線，α，β，γ為不重合的平面，則下列說法正確的是()A．m

⊥l，n⊥l，則m∥n B．α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β

C．m∥α，n∥α，則m∥n D．α∥γ，β∥γ，則α∥β6．已知sinθ＋sin(θ＋eq\f(π,3))＝eq\r(3)，則sin(θ＋eq\f(π,6))＝()A．eq\f(1,2)B．1C．eq\f(eq\r(2),2)D．eq\f(eq\r(3),2)7．如圖，小明欲測校內(nèi)某旗桿高MN，選擇地面A處和他所在教學(xué)樓四樓C處為測量觀測點(其中A處、他所在的教學(xué)樓、旗桿位于同一水平地面)．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45o以及∠MAC＝75o，從C點測得∠MCA＝60o．已知C處距地面10m，則旗桿高MN＝()(第7題圖)A．12mB．15mC．16(第7題圖)8．在△ABC中，點P是AB上一點，點Q滿足eq\o(CQ,\s\up8(→))＝2eq\o(QB,\s\up8(→))，AQ與CP的交點為M．有下列四個命題：甲：eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up8(→))

乙：eq\o(CM,\s\up8(→))＝4eq\o(MP,\s\up8(→))丙：S△AMP：S△ACP＝1：5

?。?eq\o(AM,\s\up8(→))＝2eq\o(MQ,\s\up8(→))如果只有一個是假命題，則該命題為()A．甲B．乙C．丙D．丁二、選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯的得0分．9．已知復(fù)數(shù)z，z1，z2，eq\o(\s\up11(_),z)是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是()A．z·eq\o(\s\up11(_),z)＝|z|2B．若|z|＝1，則z＝±1C．|z1·z2|＝|z1|·|z2|D．若|z－1|＝1，則|z＋1|的最小值為110．若向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，則下列說法正確的是()A．若a⊥b，則λ＝－2 B．若a∥b，則λ＝eq\f(1,2)C．當(dāng)λ∈(－2，＋∞)時，a，b的夾角為銳角D．當(dāng)λ＝1時，a在b上的投影向量為eq\f(3,2)b11．已知△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝eq\r(7)，D在AC上，BD為∠ABC的角平分線，E為BC中點，下列結(jié)論正確的是()A．△ABC的面積為3eq\r(3)B．AE＝eq\f(eq\r(13),2)C．BD＝eq\f(6eq\r(3),5)D．eq\f(AD,CD)＝eq\f(3,2)12．已知正四棱錐P－ABCD的所有棱長均為2eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是PC，AB的中點，M為棱PB上異于P，B的一動點，則以下結(jié)論正確的是()A．直線EF∥平面APDB．異面直線EF、PD所成角的大小為eq\f(π,3)C．直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為eq\f(eq\r(6),6)

D．存在點M使得PB⊥平面MEF三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置．13．sin21°cos81°－sin69°cos9°＝▲．14．在△ABC中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，AC＝eq\r(3)，則eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝▲．15．如圖，在棱長為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過直線A1C作與平面PBC1平行的截面，則該截面的面積為▲．(第15題圖)(第16題圖)16．天文學(xué)家設(shè)計了一種方案可以測定流星的高度．如圖，將地球看成一個球O，半徑為R，兩個觀察者在地球上A，B兩地同時觀察到一顆流星S，仰角分別是α和β(MA，MB表示當(dāng)?shù)氐牡仄骄€)，由平面幾何相關(guān)知識，∠MAB＝∠MBA＝eq\f(1,2)∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，設(shè)AB弧長為eq\f(πR,2)，α＝eq\f(π,12)，β＝eq\f(π,6)，則流星高度為▲．(流星高度為SO減去地球半徑，結(jié)果用R表示)四、解答題：本大題共6個小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．(本題滿分10分)已知z是復(fù)數(shù)，z－i為實數(shù)，eq\f(z－3i,－2－i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)．(1)求復(fù)數(shù)z；(2)復(fù)數(shù)z1＝eq\f(z,m＋i2023)在復(fù)平面對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)m的取值范圍．18．(本題滿分12分)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且(2a－b)·(a＋3b)＝－5．(1)若(a－kb)⊥(ka＋b)，求實數(shù)k的值；(2)求a與2a＋b的夾角．19．(本題滿分12分)已知f(x)＝4cosx·sin(x＋eq\f(π,6))―1(1)求f(x)的周期；(2)若f(α)＝eq\f(6,5)，其中α∈(0，eq\f(π,4))，求cos2α．20．(本題滿分12分)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝90°．(1)若PC＝eq\f(\r(3),2)，求PA的長；(2)若∠APB＝120°，求PA的長．21．(本題滿分12分)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，且有AB＝1，PA＝eq\r(2)，∠ABC＝60°，E為PC中點．(1)證明：AC⊥面BED；(2)求二面角E－AB－C的平面角的正弦值．22．(本題滿分12分)如圖，已知△ABC是邊長為2的正三角形，點P在邊BC上，且3eq\o(BP,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))，點Q為線段AP上一點．(1)若eq\o(AQ,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,15)eq\o(BC,\s\up8(→))，求實數(shù)λ的值；(2)求eq\o(QA,\s\up8(→))·eq\o(QC,\s\up8(→))的最小值；(3)求△QPC周長的取值范圍．第=page33頁，共=sectionpages44頁2022-2023學(xué)年第二學(xué)期六校聯(lián)合體第二次聯(lián)合調(diào)研高一數(shù)學(xué)參考答案一選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1.C2.A3.A4.C5.D6.B7.B8.D二、選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯的得0分．9.ACD10.ABD11.BC12.AC三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置．13.－eq\f(eq\r(3),2)14.－315.8eq\r(6)16.(eq\r(4＋eq\r(3))－1)R四、解答題：本大題共6個小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．(本題滿分10分)解：(1)設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi，z－i＝a＋(b－1)i是實數(shù)，b＝1，則z＝a＋i，………………1分eq\f(z－3i,－2－i)＝eq\f(a－2i,－2－i)＝eq\f(2－2a＋(a＋4)i,5)，………………3分eq\f(z－3i,－2－i)為純虛數(shù)，2－2a＝0且a＋4≠0，解得a＝1，z＝1＋i………………5分由(1)知，z1＝eq\f(z,m＋i2023)＝eq\f(1＋i,m－i)＝eq\f(m－1,m2＋1)＋eq\f(m＋1,m2＋1)i………………7分z1在復(fù)平面上對應(yīng)的點為(eq\f(m－1,m2＋1)，eq\f(m＋1,m2＋1))，z1在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(m－1,m2＋1)＜0，,eq\f(m＋1,m2＋1)＞0．))………………………9分－1＜m＜1，即實數(shù)m的取值范圍為(－1，1)…………………10分18．(本題滿分12分)解：(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝－5解得a·b＝1…………3分(1)(a－kb)·(ka＋b)＝ka2－(k2－1)a·b－kb2＝－k2－3k＋1＝0………5分k＝eq\f(－3±eq\r(13),2)…………………………6分(2)a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝3，(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，|2a＋b|＝2QUOTE3eq\r(3)…9分………………11分，……………………12分19．(本題滿分12分)(1)f(x)＝4cosx(QUOTE32eq\f(eq\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx)－1＝2QUOTE3eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1………2分＝QUOTE3QUOTE3eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))………………………4分T＝π………………5分(2)f(α)＝2sin(2α＋eq\f(π,6))＝eq\f(6,5)QUOTE∴∴sin(2α＋eq\f(π,6))＝eq\f(3,5)由QUOTE00＜α＜eq\f(π,4)得eq\f(π,6)＜2α＋eq\f(π,6)＜eq\f(2π,3)，由sin(2α＋eq\f(π,6))＝eq\f(3,5)＜QUOTE32eq\f(eq\r(3),2)得0＜2α＋eq\f(π,6)＜eq\f(π,3)……………7分cos(2α＋eq\f(π,6))＝eq\r(1－sin2(2α＋eq\f(π,6)))＝eq\f(4,5)…………………9分所以cos2α＝cos[(2α＋eq\f(π,6))－eq\f(π,6)]＝cos(2α＋eq\f(π,6))coseq\f(π,6)＋sin(2α＋eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＝QUOTE32eq\f(3＋4eq\r(3),10)……12分20．(本題滿分12分)解(1)由已知得，∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30o，PB＝EQ\F(1,2)…………2分在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋EQ\F(1,4)－2×EQ\r(,3)×EQ\F(1,2)cos30°＝EQ\F(7,4)，∴PA＝EQ\F(EQ\r(,7),2)；…………………5分（2）設(shè)∠PBA＝α，由已知得，PB＝sinα，…………………7分在△PBA中，由正弦定理得，EQ\F(EQ\r(,3),sin120°)＝EQ\F(sinα,sin(60°－α))＝EQ\F(PA,sinα)化簡得，EQ\r(,3)sinα＝2cosα，………10分又由cos2α＋sin2α＝1,0＜α＜eq\f(π,2)，得sinα＝eq\f(eq\r(21),7)所以PA＝eq\f(2eq\r(21),7)……………………12分21．(本題滿分12分)(1)證明：設(shè)AC與BD交于點O，連接EO，因為E，O分別為PC，AC的中點，所以EO∥PA……………2分又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，PA⊥AC，又EO∥PA，所以EO⊥BD，EO⊥AC，AC∩BD＝O，所以EO⊥底面ABCD，……………4分又AC平面ABCD，所以EO⊥AC，

又四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC，

又因為EO∩BD＝O，EO，BD平面BED，所以AC⊥平面BED；…………6分

(2)過O作OF⊥AB于F，連接EF，

OE⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以O(shè)E⊥AB，又EO∩FO＝O，EO、FO都在平面EOF內(nèi)，所以AB⊥平面EOF，又EF平面EOF，所以AB⊥EF，即∠EFO為二面角E-AB-C的平面角，……9分

由EO＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(eq\r(2),2)，△ABC是邊長為1的等邊三角形，即FO＝eq\f(1,2)sin600＝eq\f(eq\r(3),4)，

在直角三角形EOF中，EF＝eq\f(eq\r(11),4)，即cos∠EFO＝eq\f(FO,EF)＝eq\f(eq\r(33),11)，sin∠EF