平面向量知識點

2222．向量的有關概念2222名稱向量零向量單位向量平行向量共線向量相等向量相反向量

定義既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長或稱模)長度為的向量；其方向是任意的長度等于1個位向量方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量長度相等且方向相同的向量長度相等且方向相反的向量

備注平面向量是自由向量記作非零向量單位向量±任一向量平行或共線兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量為0向量的性運算向量運算加法減法

定義求兩個向量和的運算求的反向量－b的和的運算叫做a與b差

法則(或幾何意義

運算律(1)交換律：＋＝＋a(2)結合律：(＋)＋＝＋(b＋).－＋(b)三角形法則數(shù)乘

求實數(shù)與量積的運算

λa＝λa；當λ>0，λ方向與方向相同；當時方向與方向相反；當λ＝，＝

a)＝()a；(λ＋＝aμaa＋b)＝＋共線向定理向量(≠與b線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，＝a．平面向量基本定如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平內的任意向量a有且只有一對實數(shù)λ、，＝e＋112λ22其中，不共線的向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．1．平面向量的坐標算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量模設＝(x，，b＝，y)，則ab(x＋，＋y)，a－b(x－x，－y)，a(λx，λy)，a＝x＋11211

(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．→→②設(x，，B(x，)則A＝(x－，－y)ABy11221．平面向量共線的標表示

2|a||b|22222ab|22設＝(x，，b＝，y)，其中≠0.ab?y－2|a||b|22222ab|2211．平面向量的數(shù)量已知兩個非零向量b它們的夾角為，則數(shù)||bθ叫做a與b數(shù)量積或內積)，記作a＝aθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積兩個非零向量直的充要條件是＝0，兩個非零向量a與b平的充要條件是a·b＝|a||b|.．平面向量數(shù)量積幾何意義數(shù)量積a·b等a的度a與ba方向上的投影b|cosθ的乘積．．平面向量數(shù)量積重要性質(1)＝a·e＝θ

(2)零向量ab，a⊥b?＝0(3)當b同時a·b＝|a||b|；b向時a·b＝，a·a＝a，＝；a·b(4)cos＝；

a·b≤__.．平向量數(shù)量積滿足的運算律(1)a·b＝b·a交換律；

(2)(b＝()＝aλ)(為數(shù))；

＋)·ca·c＋11．面向量數(shù)量積有關性質的坐標表設向量＝(x，)，b(x，，則＝＋yy，此得到121212(1)若＝(x，y，a|＝＋y或a＝x＋.→(2)設(x，，B，)則、兩點間的距|＝AB＝x122(3)設兩個非零向量a，a＝(x，，＝x，，則a⊥?＋yy＝11112．向在平面幾何中的應用(1)用向量解決常見平面幾何問題技巧：問題類型線平行、點共線等問題垂直問題夾角問題長度問題

所用知識共線向量定理數(shù)量積的運算性質數(shù)量積的定義數(shù)量積的定義

公式表示∥?＝b?－xy＝，12其中＝(x，)，＝y(tǒng))112⊥?0?＋yy＝，12＝(x，)＝，y，其中，為零向量11acosθ(為量，的角)a＝a＝x＋，其中a＝x，y)《平面向量》單元測試卷一、選擇題：（本題共10小題，每小題4分，共40分）1．下列命題中的假命題是（）

aA、aA、B、C、B、C、D、設C、只有零向量的模等于零；

B、零向量與任何向量都共線；D、共線的單位向量都相等。2．

若a任一零向b單位量；|b|；②∥b；③||；④

|A、①④⑤

B、③

C、①②③⑤

D、②③⑤3．

設a，b，是任三個面向，命題甲：a；命乙：a，b，c首相接圍成一個三角形。則命題甲是命題乙的（）A、充分不必要條件C、充要條件4．下列式中能化為AD的是（（CD

）

B、必要不充分條件D、非充分也非必要條件AMMB（AC）

D、

OACD5．

設ab則

）A、

與共線且方向相反

B、

與共線且方向相同C、

與b不平行

D、

a是反向量6．如圖1，△ABC中，D、E、F分別是邊BC、CA和AB的中點，G是△ABC中的重心，則下列各等式中不成立的是（）

AFEGBD

Cí?1A、

BG

221DGDAFCBC3327．

1且a∥b，銳角4

）A、

4

B、

6

C、

3

D、

6

或

38．

若C所比為則A所成的是（

）A、

32

B、3C、

23

D、-2

若，則的夾范圍（

）A、

[0，)2

B、

[，2

C、

(，2

D、

(，210．

設a與都非零量，ab方的投ba方的投為4，則模與b的模之比值為（）A、

34

B、

43

C、

37

D、

47二、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）11．

若a與都位向量，則|ab取值范圍是。12．

△中，BD

1，則AAC表313．x=14．

設a(x，x3y，若a相等A、B點的標分為(12)和(32)，。設a與是共線向量則。三、解答題：本題共4小題，每題10分，共40分15．已知asin(

4

cosb(cos(

4

),23sin),

記f(x)（1）求f(x)的周期和最小值；（2）若f(x)按移得到2求向量m.16已知

a

、

是兩個不共線的向量，且

a

=cos

sin

,

=cos

sin

）Ⅰ求證b直；Ⅱ∈

4

），

4

，|a+b|=

，求sin

17．a(chǎn)17．a(chǎn)e2e2e中e且e1.1212121122（1）計|ab|值；）為何值時kab與a3b相垂直？

22222a＋b及|(1)求ab→→a＋b218．已知向量cos3xsin3)，cosx22222a＋b及|(1)求ab→→a＋b2→→→→

|；(2)若f()＝ab

－2λ|

→→

3|的最小值為－，求λ的值參考答案一、1．D2．B

3．B4．C

5．A6．B7．A8．A

9．D10．A二、11．［0，2］

12．

AD

23

AC3

13．-114．±15三、15．

2216．解：（1）∵

a

=（4cos

，3sin

），

=（3cos

，4sin

）∴|

a

|=|

|=1又∵a）·（=a2－2

a

2－|b|2

=0∴（

a

+

）⊥（

a

－

）（2）|

a

+

|=（

a

+

）2

=|

a

|2+|

|2+2

a

·

=2+2

a

·

=

165又

a

·

=（cos

cos

）=

35∴

35

∵

,)44

∴

2

＜0∴sin

）=

45

∴sin

sin[(=sincos(

=

2217．解：

22222222222222→→＝cos－sin＝cosa＋b→→－2λ|→→a＋bx221

e12

2ee12222eee112

ab20

b（kab

2

b

2

2

12

e1aee1（b5k19.18．解：(1)a·

3x3xxcosxsin22222

x|

|＝2＋22x2cosx(2)f(x)＝ab

→→

|＝2x4λ＝22x