平面向量的等和線、等差線、等積線、等商線等圖片版

平面向量基本定理系數(shù)的等值線法一、適用題型在平面向量基本定理的表達(dá)式中，若需研究?jī)上禂?shù)的和差積商、線性表達(dá)式及平方和時(shí)，可以用等值線法。二、基本理論(-)平面向量共線定理已知第二及赤十〃泥，若7十“二1,則4RC三點(diǎn)共線：反之亦然(二)等和線平面內(nèi)一組基底石，加及任一向量方，萬(wàn)二幾方+〃礪若點(diǎn)戶在直線月8上或在平行于月3的直線上，則2+“=*(定值)，反之也成立，我們把直線.46以及與直線,48平行的直線成為等和線。(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線,48時(shí)，才=1；(2)當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線川之間時(shí)，Ag(OJ)：(3)當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí)"w(I,十⑹； 乙o(4)當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時(shí)，A=0；(5)若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱，則定值K互為相反數(shù)；(6)定值“的變化與等和線到。點(diǎn)的距離成正比：(三)等差線平面內(nèi)一組基底萬(wàn)I麗及任一向量而，而=2勿+〃55(4〃wR),c為線段.43的中點(diǎn),若點(diǎn)P在直線OC上或在平行于。。的直線上，則幾-〃=依定值).反之也成記,我們把直線OC以及與直線OC平行的直線稱為等差線.(1)當(dāng)?shù)炔罹€恰為宜線時(shí)，k=o： .(2)當(dāng)?shù)炔罹€過N點(diǎn)時(shí)，A-=1； /Xrz(3)當(dāng)?shù)炔罹€在直線OC與點(diǎn)/之間時(shí)，〃￡(0,1)；(4)當(dāng)?shù)炔罹€與8/延長(zhǎng)線相交時(shí)，斤式1.+8卜 "S/ "(5)若兩等差線關(guān)于直線。C對(duì)稱，則兩定值A(chǔ)互為相反數(shù):

（四）等積線平面內(nèi)一組基底工I礪及任一向量而，而=2忘+〃而（4“e犬）,若點(diǎn)P在以直線0408為漸近線的雙曲線上，則由為定值左，反之也成立.我們把以直線OA.OB為漸近線的雙曲線稱為等積線（1）當(dāng)雙曲線有一支在403內(nèi)時(shí)，k>0；⑵當(dāng)雙曲線的兩支都不在4?！粌?nèi)時(shí),Jt<0：（3）特別的，若方=（%以。后=（出一方），點(diǎn)P在雙曲線X2X2/ 二 a2b2\(a>0,方>0)時(shí),（五）等商線平面內(nèi)一組基底而，礪及任一向量而，。聲=4石+〃加（2〃￡氏），若點(diǎn)尸在過。點(diǎn)（不與04重合）的直線上，則4=雙定值），反之也成立。我們把過點(diǎn)O的直線（除。/外）稱為等商線。（1）當(dāng)?shù)壬叹€過■中點(diǎn)時(shí)，k=\i（2）當(dāng)?shù)壬叹€與線段.4C（除端點(diǎn)）相交時(shí),4e（l,+Qo）：（3）當(dāng)?shù)惹€與線段8c（除端點(diǎn)）相交時(shí)，A-e（OJ）；（4）當(dāng)?shù)壬叹€即為08時(shí)，4:0:（5）當(dāng)?shù)壬叹€與線段3/延長(zhǎng)線相交時(shí)，A-e（-oo-l）：（6）當(dāng)?shù)惹€與線段43延長(zhǎng)線相交時(shí)，女￡-1.0）；（7）當(dāng)?shù)惹€與直線46平行時(shí)，#=一1:（六）等平方和線平面內(nèi)一組基底萬(wàn)I麗及任一向量。戶.而=北面十"畫L"ER）、且網(wǎng)二網(wǎng).若點(diǎn)P在以乙108角平分線為半長(zhǎng)軸的橢圓上,則胃+爐為定值￡.反之也成立，我們把以以乙408角平分線為半長(zhǎng)釉的輛圓稱為等平方和線。

特別的，若人=（。⑹而=（&町點(diǎn)尸在雙橢圓。片—）時(shí),k=-2三、解題步驟I、確定等值線為1的線：2、平移（旋轉(zhuǎn)或伸縮）該線.結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的可行域.分析何處取得最大值和最小值；3、從長(zhǎng)度比或者點(diǎn)的位置兩個(gè)角度，計(jì)算最大值和最小值：I、幾點(diǎn)補(bǔ)充1、平面向量共線定理的表達(dá)式中的三個(gè)向量的起點(diǎn)務(wù)必一致，若不一致.本著少數(shù)服從多數(shù)的原則，優(yōu)先平移固定的向量；2、若需要研究的是兩系數(shù)的線性關(guān)系，則需要通過變換基底向量，使得需要研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和或差；五，典型例題例1給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量為利”?營(yíng)］的歲為120。，如圖所示.點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧器上變動(dòng).若岳=?，刀+】‘命.其中-則x+y的最大值是.答案：2例2在正六邊形4B8EF中，尸是三角形。E內(nèi)（包括邊界》的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AP=x75+yAF，則r+y的取值范圍F0答案：［3,4］21

例3如圖，在平行四邊形ABCD中.M、N為CD邊的三等分點(diǎn),S為AM與BN的交點(diǎn)，P為邊AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，Q為△SMN內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若PQ=1而+y威則工?y的取值范圍是.例4梯形中，ADLAB,工D=DC=1.AB=31為三箱形BCD內(nèi)一點(diǎn)（包括邊界）,AP=xAB^yAD＞貝h個(gè)尸的取值范圍例5設(shè)分別是的邊"艮"上的點(diǎn)‘"總他8￡4加,若z）E=4而+4就（44為實(shí)數(shù)），則4+4的值為.（注：此題為13江蘇高考版第8題，但點(diǎn)￡為三等分的條件其實(shí)沒有必要，可舍）答案」2例6在正方形/中，E為8。中點(diǎn)?P為以KS為直徑的半圓弧上任意一點(diǎn),T&Je=j(7d+yAP,則2x+y的最小值為.例7在正方形.488中.E為48中點(diǎn).尸為以上為圓心,為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)AC=xDE+-yAPJTJx+j的最小值為的任意一點(diǎn)，設(shè)AC=xDE+-yAPJTJx+j的最小值為答案:5癡答案:5癡#13例8已知所卜網(wǎng)=1,而=麗+ydH（工,y為實(shí)數(shù)3若△尸MV是以M為宜角頂點(diǎn)的直角三角形,則x-y取值的集合為答案：{1}例9已知橢圓『二十二二］的上頂點(diǎn)為人直線y=-4交橢圓于仇C（B在10025C的左側(cè)），點(diǎn)尸在橢圓￡上,若〃尸=加8/+〃4c.求陽(yáng)+〃的最大值例10已知0為&46C的外心,若出0.0）出2,0）,,4。=1.4"二三且AO=AAB^pAC.則2+〃=答案:13答案:13fl.-VL!r:n==n例11已知O為a48c的外心，cosABAC=-.AC)=AAB+pAC?J”*〃L=答案：44例12平面內(nèi)有三個(gè)向量加、萬(wàn)、次，其中與濟(jì)與赤的夾角為120。,瓦i與玩的夾角為30°,且|濟(jì)|=|而|=1,|了|=2萬(wàn)，若n=加。5+〃。氏則m+“的值為 答案；6,0例13如國(guó)，4氏C是圓。上的三點(diǎn)，CO的延長(zhǎng)線與線段84的延長(zhǎng)線交于阿O外的點(diǎn)0,若反=/〃6J+刀無(wú)，則〃“〃的取值范圍為.答案：(-1,0)例14在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線「的中心在原點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(返0),頷二(2,1)、&=(2,-1)分別是兩條漸近線的方向向量。任取雙曲線「上的點(diǎn)P,若麗=蒜+痘(a"eR),則“、。滿足的一個(gè)等式是.答案：Aab=\例15已知網(wǎng)=1,同=JI萬(wàn)5?施=0,點(diǎn)CdZOB內(nèi)，且4℃=30”,設(shè)OC=mO4+I1OB,則—的值為.

例16如圖，傾斜角為e的宜線°尸與單位圓在第一象限的部分交于點(diǎn)尸,單位圓與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)4-LS,點(diǎn)8(071),周與＞'軸交于點(diǎn)N,與x軸交于點(diǎn)M,設(shè)= +y而(“”及),求x+y的最小值。答案：72例17如圖，在扇形OAB中，ZAOB=606,C為瓠AB上且不與A、B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OC=xOA^yOBT若＞0)存在最大值，則幺的取值范圍為.答案，(3)例